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| Aufgabe | Schätzen Sie den relativen Rundungsfehler für folgende Berechnungen mit Gleitkommazahlen x und y ab, wobei x,y [mm] \in M_{\beta}(t, [/mm] [L,U]):
a) [mm] R_{1}:= [/mm] rd(x²-y²),
b) [mm] R_{2}:= [/mm] rd((x-y)(x+y)) |
Hallo an Alle und danke für eure Hilfe 
Also, mein Versuch bei dieser Aufgabe
Bei A)
Es gibt hier 3 Rundungen x², y² und bei der Subtraktion
rd(x²) = [mm] x²(1+\epsilon_{1}), \epsilon_{1} \le \bruch{1}{2}\beta^{1-t} [/mm] oder ist [mm] \epsilon_{1} \le 5\beta^{-t}
[/mm]
rd(y²) = [mm] y²(1+\epsilon_{2}), \epsilon_{2} \le \bruch{1}{2}\beta^{1-t}
[/mm]
rd( x² - y²) = [mm] (x²(1+\epsilon_{1}) [/mm] - y²(1 + [mm] \epsilon_{2})(1+\epsilon_{3}), \epsilon_{3} \le \bruch{1}{2}\beta^{1-t}
[/mm]
Bei B )
Wo ist hier der Unterschied zu A
x²-y² = (x+y)(x-y)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Do 24.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo sgriesser!
> Schätzen Sie den relativen Rundungsfehler für folgende
> Berechnungen mit Gleitkommazahlen x und y ab, wobei x,y [mm]\in M_{\beta}(t,[/mm]
> [L,U]):
>
> a) [mm]R_{1}:=[/mm] rd(x²-y²),
> b) [mm]R_{2}:=[/mm] rd((x-y)(x+y))
> Hallo an Alle und danke für eure Hilfe
>
> Also, mein Versuch bei dieser Aufgabe
> Bei A)
> Es gibt hier 3 Rundungen x², y² und bei der Subtraktion
>
> rd(x²) = [mm]x²(1+\epsilon_{1}), \epsilon_{1} \le \bruch{1}{2}\beta^{1-t}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder ist [mm]\epsilon_{1} \le 5\beta^{-t}[/mm]
Diese Vereinfachung gilt nur für [mm] $\beta=10$, [/mm] denn da hat man [mm] $\bruch{1}{2}\beta^{1-t}=\bruch{1}{2}*10*10^{-t}=5*10^{-t}$
[/mm]
> rd(y²) =
> [mm]y²(1+\epsilon_{2}), \epsilon_{2} \le \bruch{1}{2}\beta^{1-t}[/mm]
>
> rd( x² - y²) = [mm](x²(1+\epsilon_{1})[/mm] - y²(1 +
> [mm]\epsilon_{2})(1+\epsilon_{3}), \epsilon_{3} \le \bruch{1}{2}\beta^{1-t}[/mm]
Das ist bis hierhin nur eine Abschätzung der auftretenden absoluten Fehler. Damit muss nun eine Abschätzung der relativen Fehler bzw. des relativen Fehlers des Endresultats gewonnen werden... Also all' das muss noch in die Formel für die Fehleranalyse der Grundoperationen eingesetzt werden.
> Bei B )
> Wo ist hier der Unterschied zu A
> x²-y² = (x+y)(x-y)
In A braucht man 2 Multiplikationen und 1 Addition/Subtraktion, während in B 2 Additionen/Subtraktionen und 1 Multiplikation benötigt werden. Außerdem hast Du ja das Distributiv- und auch Assoziativgesetz angewendet, das bei den Gleitkomma-Operationen nicht gilt.
to be continued...
Viele Grüße,
Marc
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