Gleichverteilung Anwendung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Do 11.07.2013 | | Autor: | mvoelkle |
| Aufgabe | Die Studenten A und B verabreden sich zwischen 20 und 21 Uhr in einer Kneipe. Sie erscheinen unabhängig voneinander, wober die Zeitpunkte ihres EIntreffens im verabredeten Zeitintervall durch unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen beschreiben lassen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass:
1.) beide vor 20:30Uhr eintreffen?
2.) A vor B eintrifft?
3.) A und B sich treffen, wenn A maximal 20 und B maximal 10 Minuten zu warten bereit sind? |
Koennt ihr mir bitte einen Tipp geben? Ich weiss, dass ich mit Dichten arbeiten muss, aber ich komm nicht richtig drauf.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Die Studenten A und B verabreden sich zwischen 20 und 21
> Uhr in einer Kneipe. Sie erscheinen unabhängig
> voneinander, wober die Zeitpunkte ihres EIntreffens im
> verabredeten Zeitintervall durch unabhängige
> gleichverteilte Zufallsvariablen beschreiben lassen. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass:
>
> 1.) beide vor 20:30Uhr eintreffen?
> 2.) A vor B eintrifft?
> 3.) A und B sich treffen, wenn A maximal 20 und B maximal
> 10 Minuten zu warten bereit sind?
> Koennt ihr mir bitte einen Tipp geben? Ich weiss, dass ich
> mit Dichten arbeiten muss, aber ich komm nicht richtig
> drauf.
Zunächst mal ist die Aufgabenstellung nicht ganz präzise. Das soll hier vermutlich eine stetige ZV sein, gehen wir also davon aus.
Die zugehörige Dichtefunktion lautet für X: Dauer des Eintreffens von A oder B in Minuten nach 20:00 schlicht und einfach
[mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{60}, & \textrm{für } 0\le{x}\le{60} \\ 0, & \textrm{sonst } \end{cases}[/mm]
Mit der kannst du also nicht so arg viel rechnen.
Aufgabe 1) löst man mit der zugehörigen Verteilungsfunktion. 2) ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit. 3) ebenso. Das ist etwas komplizierter, sollte aber mit den Erkenntnissen aus 2) auch gelingen. Auf jeden Fall benötigst du erst einmal die zugehörige Verteilungsfunktion.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Fr 12.07.2013 | | Autor: | mvoelkle |
Waere die Verteilungsfunktion
F(x) = x/60 korrekt?
Analog G(y) = y/60 fuer B?
Und dann waere die gesuchte Wahrscheinlichkeit
F(30) * G(30) = 1/2 * 1/2 = 0,25?
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Hallo,
> Waere die Verteilungsfunktion
>
> F(x) = x/60 korrekt?
zum Rechnen ja. Mathematisch gesehen (ggf. in einer Klausur): zu salopp. Besser:
[mm]P(T \leq x)=F(x)=\begin{cases} 0, & \textrm{für } x<0 \\ \frac{x}{60}, & \textrm{für } 0\le{x}\le{60}\\ 1, & \textrm{für } x>60 \end{cases}[/mm]
>
> Analog G(y) = y/60 fuer B?
Die Verteilungsfunktion für B ist die gleiche wie für A, das ist korrekt.
> Und dann waere die gesuchte Wahrscheinlichkeit
> F(30) * G(30) = 1/2 * 1/2 = 0,25?
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Fr 12.07.2013 | | Autor: | mvoelkle |
OK, danke schonmal.
Waere fuer den 2. Teil folgender Ansatz korrekt?
Sei Y die ZV fuer das Eintreffen von B, und X die ZV fuer das EIntreffen von A.
Gesucht: P( X < y| Y = y)??
Falls ja, weiss ich aber nicht so richtig, wie ich da jetzt vorgehen muss..
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Hallo mvoelkle,
ich habe über das Problem nochmal intensiver nachgedacht und muss jetzt doch meinen Tipp hinsichtlich der Aufgabenteile 2) und 3) revidieren, da er völlig in die falsche Richtung ging.
Eingefallen ist mir eine geometrische Vorgehensweise:
Zeichne ein zweiachsiges Koordinatensystem, dessen beide Achsen den Ankunftszeiten von A und B ab 20:00 entsprechen. Jeder Punkt in diesem System entspricht also einer Kombination von Ankunftszeiten für A und B.
Wählen wir mal als waagerechte Achse A, als senkrechte B. Man kann nun den Ursprung und den Punkt (60|60) als gegenüberleigende Eckpunkte eines Quadrats auffassen. Alles, was innerhalb das Quadrats liegt spielt sich dann für beide innerhalb der fraglichen Stunde ab. Zeichnet man nun zum Beispiel die Diagonale vom Ursprung aus und betrachtet das oberere Teildreieck, so enthält dieses alle Möglichkeiten, dass A vor B eintrifft und man kommt so sehr leicht auf die sowieso unmittelbar einleuchtende Lösung
[mm] P(X
Die Aufgabe 3) kann man ähnlich angehen. Dabei liegen alle möglichen Ankunftszeiten der beiden, die zu dem fraglichen Ereignis führen, auf einem schräg durch das Quadrat verlaufenden Flächenstreifen. Das Verhältnis des Inhalts dieses Streifens zum Inhalt des Quadrats ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Über eine formale Rechnung, die ohne diese 'geometrischen Stützräder' auskommt, muss ich noch nachdenken.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Fr 12.07.2013 | | Autor: | mvoelkle |
Vielen Dank schonmal! Das ist wirklich hilfreich und einleuchtend
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