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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Freaky |
| Aufgabe | Sei U gleichförmig verteilt auf [0,1], d.h. P(Y [mm] \in [/mm] (a,b]) = b-a für alle a, b [mm] \in[0,1] [/mm] mit a<= b. Sei p [mm] \in [/mm] (0,1).
Defi niere Y = [log(U)/log(p)]
Hier bezeichnet [] die gewöhnliche Gaussklammer.
Zeige, dass P(Y = k) = (1 - [mm] p)p^k. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich verstehe die obige Aufgabe überhaupt nicht. Zum einen ist mir nicht klar, wie ich vorgehen soll bzw. wo ich ansetzen kann und zum anderen weiß ich auch nicht, wie ich das definierte Y mit P(Y=k) in Verbindung bringen kann.
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Liebe Grüße,
Freaky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Erstmal kleiner Schreibfehler... das erste mal $Y$ müsste $U$ heißen.
Und jetzt noch eine kleine Frage: Wie interpretiert ihr die eckigen Klammern? Ich verstehe darunter die Abrundungsfunktion, also ist z.B.
$[6.8]=6$. Man könnte darunter aber auch die Rundungsfunktion sehen, die jedem Wert die naheste ganze Zahl zuordnet, also
$[6,4]=6$ und $[6.7]=7$. Aber diese Interpretation schließe ich mal aus. Ich verwende ab sofort die Abrundungsfunktion. Der Andere Fall geht fast analog, es kommt jedoch was anderes heraus ;)
Und jetzt zum Verständnis: $U$ ist eine Verteilungsfunktion, die wegen der Gleichverteilung nie Null ist. Also kann man für [mm] $p\in\(0,1)$ [/mm] überhaupt die Funktion
[mm] $Y=[\frac{log U}{log p}]$
[/mm]
definieren. Was ist nun dieses $P(Y=k)$?
Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Funktion $Y$ den Wert $k$ annimmt.
Wann nimmt die Funktion $Y$ den Wert $k$ an? Genau dann, wenn das Argument in den Gaußklammern zwischen $k$ und $k+1$ liegt,
also
[mm] $k\leq \frac{log U}{log p}
gilt. Multipliziere nun mit dem Nenner durch (Aufpassen: Nenner ist negativ) und versuche nun nach und nach $U$ zu isolieren.
Irgendwann steht dann da: [mm] $x_1\geq [/mm] U [mm] >x_2$ [/mm] mit Werten [mm] $x_1,x_2$, [/mm] die ich nicht verrate 
Nun ist die Gleichverteilung von $U$ wichtig. Die Wahrscheinlichkeit, dass $U$ zwischen diesen Schranken ist, ist die Differenz der Schranken. Danach ein wenig auflösen, und die Behauptung steht da.
Gruß, Harris
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Guten Abend,
> Wann nimmt die Funktion [mm]Y[/mm] den Wert [mm]k[/mm] an? Genau dann, wenn
> das Argument in den Gaußklammern zwischen [mm]k[/mm] und [mm]k+1[/mm]
> liegt,
> also
> [mm]k\leq \frac{log U}{log p}
>
> gilt. Multipliziere nun mit dem Nenner durch (Aufpassen:
> Nenner ist negativ) und versuche nun nach und nach [mm]U[/mm] zu
> isolieren.
ich habe dann:
$ k [mm] \le \bruch{ln(U)}{ln(p)} [/mm] < k+1 [mm] \Rightarrow [/mm] $
$ k [mm] \cdot [/mm] ln(p) [mm] \ge [/mm] ln(U) > (k+1) [mm] \cdot [/mm] ln(p) [mm] \Rightarrow [/mm] $
$ [mm] e^k \cdot [/mm] p [mm] \ge [/mm] U > [mm] e^{k+1} \cdot [/mm] p $
Stimmt das soweit? Ich glaube nämlich nicht
(ich hab statt log den natürlichen Logarithmus genommen. Ist das ok?)
>
> Irgendwann steht dann da: [mm]x_1\geq U >x_2[/mm] mit Werten
> [mm]x_1,x_2[/mm], die ich nicht verrate
>
> Nun ist die Gleichverteilung von [mm]U[/mm] wichtig. Die
> Wahrscheinlichkeit, dass [mm]U[/mm] zwischen diesen Schranken ist,
> ist die Differenz der Schranken. Danach ein wenig
> auflösen, und die Behauptung steht da.
>
> Gruß, Harris
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Do 03.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] k*lnp=lnp^k
[/mm]
2. [mm] e^{k*lnp}\ne e^{k+lnp}=e^k*p
[/mm]
Log und Potenzgesetze beachten!
Gruss leduart
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> Hallo
> 1. [mm]k*lnp=lnp^k[/mm]
> 2. [mm]e^{k*lnp}\ne e^{k+lnp}=e^k*p[/mm]
> Log und Potenzgesetze
> beachten!
> Gruss leduart
>
Ja, da hast du natürlich recht. Danke leduart.
Dann habe ich da am Schluss stehen: $ [mm] p^k \cdot [/mm] (1-p) [mm] \ge [/mm] U > 0 $
Ist das das, was ich zeigen sollte?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Do 03.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst doch P(Y=k) ausrechnen, also überleg jetzt, warum du das fast hast!
Gruss leduart
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