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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgendes Problem:
Angabe:
Bestimmen Sie k so, dass das Gleichungssystem lösbar ist und geben Sie alle Lösungen an!
2x+y+3z=1
4x+3y+7z=k
-8x+6y-9z=8
Ich bin mir nicht sicher, wie ich vorgehen soll. Ich habe das Gleichungssystem in Matrixform angeschrieben und begonnen mir mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren x,y,z auszudrücken - doch das scheint mir nicht als die korrekte Antwort:
Erweiterte Koeffizientenmatrix (obere Dreiecksmatrix wurde gebildet):
1 0,5 1,5 0,5
0 1 1 k-2
0 0 1 (8+k)/7
d.h. dass z = (8+k)/7
Wenn ich weiter einsetze bekomme ich für x = (8k+1)/14 und y = (6k-22)/7
Wie würdet ihr vorgehen?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich habe folgendes Problem:
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> Angabe:
> Bestimmen Sie k so, dass das Gleichungssystem lösbar ist
> und geben Sie alle Lösungen an!
>
> 2x+y+3z=1
> 4x+3y+7z=k
> -8x+6y-9z=8
>
> Ich bin mir nicht sicher, wie ich vorgehen soll. Ich habe
> das Gleichungssystem in Matrixform angeschrieben und
> begonnen mir mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren
> x,y,z auszudrücken - doch das scheint mir nicht als die
> korrekte Antwort:
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> Erweiterte Koeffizientenmatrix (obere Dreiecksmatrix wurde
> gebildet):
>
> 1 0,5 1,5 0,5
> 0 1 1 k-2
> 0 0 1 (8+k)/7
>
> d.h. dass z = (8+k)/7
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Prinzipiell tust Du das Richtige.
Bei mir sieht die letzte Zeile der Matrix anders aus.
Prüf das nochmal.
Gruß v. Angela
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> Wenn ich weiter einsetze bekomme ich für x = (8k+1)/14 und
> y = (6k-22)/7
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> Wie würdet ihr vorgehen?
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Ich habe es noch einmal durchgerechnet und habe den Rechenfehler behoben.
Letzte Matrix:
1 0,5 1,5 0,5
0 1 1 k-2
0 0 1 (-32-10k)/7
d.h. dass z = (-32-10k)/7
Für y bekomme ich (18+17k)/7
und für x = (85-13k)/14
Stimmt das Ergebnis in der Form oder habe ich noch einen Fehler gemacht?
Eine Frage habe ich jetzt noch: Ist das Beispiel nun gelöst, nachdem ich die Ergebnisse für x,y,z berechnet habe oder muss ich noch weitere Schritte machen, weil laut Angabe soll ich alle Lösungen angeben! Oder bedeutet das, dass ich die Werte nur in die Lösungsmenge aufnehmen muss?
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Hallo, du hast immer noch einen Vorzeichenfehler, in der letzten Zeile
0 0 7 10k-32
Steffi
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Danke erst einmal für die schnellen Antworten!
Zum Beispiel:
Die letzte Matrix lautet nun:
1 0,5 1,5 0,5
0 1 1 k-2
0 0 1 (10k-32)/7
d.h. z = (10k-32)/7
und für y = (-3k+18)/7
und für x = (27k+85)/14
Müsste jetzt passen; d.h. die Lösung sieht folgendermaßen aus!?
L = [mm] \{(x,y,z)| x = (27k+85)/14;y = (-3k+18/7;z = (10k-32)/7\}
[/mm]
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Hallo, deine Matrix ist korrekt, z und y sind korrekt, bei x steht im Zähler -27k+85, Steffi
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Und wenn ich jetzt diese Lösungen habe, kann ich mir dann irgendwie das k berechnen, welches in der Matrix aus der Angabe steht? Indem ich etwa x,y und z in diese zweite Zeile der Matrix einsetze? (das habe ich bereits versucht und das Ergebnis lautet 0 = 0)
Kann ich also dieses k berechnen, sodass eine Zahl dafür herauskommt? Oder besteht die Lösung einfach nur aus den drei Werten für x,y und z?
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> Und wenn ich jetzt diese Lösungen habe, kann ich mir dann
> irgendwie das k berechnen, welches in der Matrix aus der
> Angabe steht?
Hallo,
laß uns die Fragestellung anschauen, damit wir nicht vergessen, was zu tun ist:
Für welches k ist das Gleichungssystem lösbar?
Hast Du irgendeinen Hinderungsgrund für Lösbarkeit entdeckt? Ich nicht...
Unlösbar ist ein LGS, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix ungleich dem der erweiterten Koeffizientenmatrix ist.
Beispiel:
Die ZSF lautet
[mm] \pmat{1&0&2&|&1\\0&1&2&|&1-k\\0&0&0&|&k-5}
[/mm]
Für [mm] k\not=5 [/mm] ist hier der Rang der erweiterten Matrix =3, der der Koeffizientenmatrix =2, also nicht lösbar. (Letzte Zeile: 0*z= 123-7 wird in den reellen Zahlen nicht klappen).
Für k=5 stimmen die Ränge überein ==> lösbar.
Bei Deiner Matrix ist ja der Rang der 3x3-Koeffizientenmatrix =3, sie ist invertierbar, also ist das System eindeutig lösbar durch den ausgerechneten Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{...\\...\\...}, [/mm] welcher natürlich von dem k abhängt.
> Kann ich also dieses k berechnen, sodass eine Zahl dafür
> herauskommt? Oder besteht die Lösung einfach nur aus den
> drei Werten für x,y und z?
Ja.
Es gibt aber auch Gleichungssysteme, die Parameter enthalten, und wo je nach Wahl des Parameters das System keine, unendlich viel, genau eine Lösung hat.
Gruß v. Angela
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Danke nochmals für die raschen antworten;
dennoch habe ich noch eine Frage:
Heißt das nun, dass ich für k irgendwelche reellen Zahlen einsetzen kann und das beispiel gelöst ist oder dass ich k berechnen muss?
Denn das k zu berechnen fällt mir schwer, da ich die Ergebnisse für x,y und z nachher in die zweite Zeile eingesetzt habe:
(4*(-27k+85/14) + 3*(-3k+18/7) + 7*(10k-32/7) = k)
Dabei erhalte ich 0 = 0. Was bedeutet dieses Ergebnis? (Ich dachte, dass ich in die zweite Zeile bzw. Gleichung einsetzen muss, um für k einen wert zu erhalten!?)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Fr 30.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Hast du die letzte Zeile selbst nachgerechnet, oder einfach übernommen? Rechne Ergebnisse immer nach!
Aber falls jetzt alles richtig ist ist deine Antwort: Das Gleichungssystem ist für alle k lösbar.
Und die Lösungen gibst du so allgemein an.
(Ich hoff du hast das System richtig abgeschrieben, weil das selten rauskommt)
Gruss leduart
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Im Klartext heißt das, dass ich für k keinen wert berechnen kann, wenn ich die obigen Ergebnisse für x,y und z in die zweite zeile einsetze?!
Die Lösung des Gleichungssystems lautet damit einfach, dass das Gleichungssystem für k lösbar ist, oder wie verstehe ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Fr 30.10.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
übersetzen wir das Gleichungssystem mal in die analytische Geometrie.
Alle drei Gleichungen beschreiben Ebenen.
Die zweite Gleuichung beschreibt dabei eine Schar paralleler Ebenen (der Normalenvektor ist unabhängig von k, k ist ledglich dafür verantwortlich, wie weit und "auf welcher Seite" die Ebene am Koordinatenursprung vorbeiläuft).
Die erste und dritte Ebene sind nicht parallel, schneiden sich also in einer Geraden.
Diese Schnittgerade hat nur zwei Möglichkeiten:
a) sie schneidet eine (und damit alle) Ebene(n) die durch die zweite Gleichung beschrieben wird (werden).
b) sie verläuft parallel zu diesen Ebenen (und würde nur für ein bestimmtes k komplett in der zweiten Ebene liegen).
Letzteres schein nach dem Verlauf des Threads nicht der Fall zu sein.
Gruß Abakus
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Hallo!
Ich verstehe immer noch nicht, was das für meine aufgabe bedeutet?! Kann ich mir aufgrund der ergebnisse für x,y,z berechnen?
Wenn nicht, wie lautet dann die lösung (z.b. lösungsmenge angeben)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
> Ich verstehe immer noch nicht, was das für meine aufgabe
> bedeutet?!
Das bedeutet, dass es tatsächlich für jedes k eine Lösung gibt.
Ich war mal faul und habe mir die Lösung online berechnen lassen. Sie lautet
x = 85/14-(27 k)/14, y = 18/7-(3 k)/7, z = (10 k)/7-32/7
Siehe:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%2By%2B3z%3D1%2C4x%2B3y%2B7z%3Dk%2C-8x%2B6y-9z%3D8
Gruß Abakus
> Kann ich mir aufgrund der ergebnisse für x,y,z
> berechnen?
> Wenn nicht, wie lautet dann die lösung (z.b.
> lösungsmenge angeben)?
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Hallo Luxinho1333,
> Wenn nicht, wie lautet dann die lösung (z.b.
> lösungsmenge angeben)?
Du hast die Lösungsmenge doch bereits bis auf einen Vorzeichenfehler in einem deiner Artikel angegeben:
[mm]\left\{\left.\left(\frac{85}{14}-\frac{27k}{14},\frac{18}{7}-\frac{3k}{7},\frac{10k}{7}-\frac{32}{7}\right)^T\right|k\in\mathbb{R}\right\}[/mm]
Bestimme doch mal zur Übung, ob folgendes LGS lösbar ist:
[mm]\left(\begin{array}{cc|c}1&2&1\\3&6&1\end{array}\right)[/mm]
Viele Grüße
Karl
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