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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Sa 10.12.2005 | | Autor: | steph |
Hallo zusammen,
hätte eine wichtige Frage, wir haben zurzeit an der Schule "Aufstellen von Funktionsgleichungen".
Das Aufstellen also z.B. f(8)=0 etc...ist ja noch einfach, aber das lösen...hier komme ich einfach nicht weiter.
Wenn ich z.B. habe:
1) -a+b-c+d=0
2) 6a+2b=0
3) 3a+2b+c=1,5
4) a+b+c+d=1
dann würde ich so rechnen:
Ich fasse die erste und die dritte zusammen um c zu eleminieren, dann verbleibt
2a+3b+d=-1,5
und dann fasse ich die 3. und 4. zusammen, dann kommt raus
2a+b+d=-2,5
Wenn ich nun diese beiden addiere verbleibt b und b = 0,5
Aber das kann nicht stimmen, weil als lösung rauskommen muss f(x)= [mm] 1/2x^3-3,5x^2+2
[/mm]
Wer kann mir allgemeine Tipps zum Lösen solcher Systeme geben und sagen, wo hier mein Fehler liegt....
Besten Dank für Eure baldige Hilfe !!!!
gruss
steph
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:21 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Steph!
Ich versuche mal, dir einen systematischen Lösungsweg zu geben.
Das Ziel davon ist, in deinen Gleichungen gezielt Nullen zu produzieren. Und zwar unterhalb der Diagonalen, die du von links oben nach rechts unten in dein GS einzeichnen kannst.
> 1) -a + b - c + d = 0
> 2) 6a + 2b = 0
> 3) 3a + 2b + c = 1,5
> 4) a + b + c + d = 1
Wir wollen jetzt also zuerst einmal Nullen in der ersten Spalte produzieren, bis auf die oberste Ziffer. Dazumachen wir drei Rechenschritte: als erstes addieren wir zu der zweiten Gleichung 6 mal die erste.
1) -a + b - c + d = 0
2) 0a + 8b -6c + 6d = 0
3) 3a + 2b + c = 1,5
4) a + b + c + d = 1
Nun addieren wir zur 3. Zeile 3 mal die erste:
1) -a + b - c + d = 0
2) 0a + 8b - 6c + 6d = 0
3) 0a + 5b - 2c + 3d = 1,5
4) a + b + c + d = 1
Als letztes addieren wir die erste Zeile zu der letzten:
1) -a + b - c + d = 0
2) 0a + 8b - 6c + 6d = 0
3) 0a + 5b - 2c + 3d = 1,5
4) 0a + 2b + 0c + 2d = 1
So, jetzt machen wir in der 2. Spalten unterhalb der Diagonalen auch Nullen, also in den unteren beiden Zeilen. Dazu multiplizieren wir die dritte Zeile mit -8:
1) -a + b - c + d = 0
2) 0a + 8b - 6c + 6d = 0
3) 0a - 40b + 16c - 24d = -12
4) 0a + 2b + 0c + 2d = 1
So, nun addieren wir zur dritten Zeile das 5-fache der zweiten hinzu:
1) -a + b - c + d = 0
2) 0a + 8b - 6c + 6d = 0
3) 0a - 0b - 14c + 6d = -12
4) 0a + 2b + 0c + 2d = 1
Jetzt multiplizieren wir die letzte Zeile mit -4:
1) -a + b - c + d = 0
2) 0a + 8b - 6c + 6d = 0
3) 0a - 0b - 14c + 6d = -12
4) 0a - 8b + 0c - 8d = -4
Jetzt addieren wir zur letzten Zeile die zweite:
1) -a + b - c + d = 0
2) 0a + 8b - 6c + 6d = 0
3) 0a - 0b - 14c + 6d = -12
4) 0a + 0b - 6c - 2d = -4
Jetzt kommen die Nullen in der 3. Spalte. Dazu multiplizieren die letzte Spalte mit -7:
1) -a + b - c + d = 0
2) 0a + 8b - 6c + 6d = 0
3) 0a - 0b - 22c + 1d = -12
4) 0a + 0b + 42c + 14d = 28
Und jetzt addieren wir dreimal die dritte Zeile zur letzten:
1) -a + b - c + d = 0
2) 0a + 8b - 6c + 6d = 0
3) 0a - 0b - 22c + 1d = -12
4) 0a + 0b + 0c + 32d = -8
So, wenn du dir das mal genau anschaust, dann siehst du vielleicht, dass wir das ganze jetzt von oben nach unten lösen können. Wenn du jetzt die letzte Zeile durch 32 teilst, erhälst du das Ergebnis für d:
4) 0a + 0b + 0c + d = - [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Das können wir jetzt in die dritte Zeile einsetzen und können c ausrechnen:
3) 0a - 0b - 22c + 1 + (- [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] = -12 [mm] \gdw [/mm] c = [mm] \bruch{24}{11}
[/mm]
Das können wir jetzt in die zweite Zeile einsetzen und können b ausrechnen:
2) 0a + 8b - 6 + [mm] \bruch{24}{11} [/mm] + 6 + (- [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] c = [mm] \bruch{321}{176}
[/mm]
Das können wir jetzt alles in die erste Zeile einsetzen und können a ausrechnen:
1) -a + [mm] \bruch{321}{176} [/mm] - [mm] \bruch{24}{11} [/mm] + (- [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] a = - [mm] \bruch{107}{176}
[/mm]
Hmm, also ich glaube, ich hab mich irgendwo verrechnet. ICh guck nochmal in Ruhe drüber und meld ich dann noch mal. Aber ich hoffe, dass ich dir so einigermaßen das ausrechnen solcher GS näher bringen konnte.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Sa 10.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo steph
Du gehst schon richtig vor, hast aber einen Rechenfehler gemacht:
> Wenn ich z.B. habe:
>
> 1) -a+b-c+d=0
> 2) 6a+2b=0
> 3) 3a+2b+c=1,5
> 4) a+b+c+d=1
>
> dann würde ich so rechnen:
>
> Ich fasse die erste und die dritte zusammen um c zu
> eleminieren, dann verbleibt
> 2a+3b+d=-1,5
richtig , du hast 1)+3) gerechnet.
> und dann fasse ich die 3. und 4. zusammen, dann kommt raus
> 2a+b+d=-2,5
da hast du dich verrechnet. damit c wegfällt musst du 3)+ (-1)*4) rechnen
dann hast du 2a+b-d=0,5
wenn du damit weitermachst und noch 2) verwendest kommst du sicher durch!
Im übrigen helfen dir auch Nadins Tips, aber wenn die Gl. besonders einfach sind, ist es manchmal schneller, so wie du zu rechnen, und die Gl. so zu verwenden, dass man zuerst die Größe (hier c und dann d) eliminiert, die am einfachsten ist.
Nur sollte man sich doch die Arbeit machen, die 2 Gl. die man gerade verwurstet untereinander zu schreiben, oder so wie ich aufzuschreiben , was man tun will. Sonst passieren zu leicht Leichtsinnsfehler.
Gruss leduart
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