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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Erstmal ein paar Verständnisfragen:
Folgende Sätze habe ich hier stehen:
Der Lösungsraum des linearen Gleichungssystems A*x=b ist genau dann nicht leer, wenn rang A = rang(A,b).
Für [mm] A\in M(m\times [/mm] n; K) und [mm] b\in K^m [/mm] sind folgende Bedingungen gleichwertig:
i) Das lineare Gleichungssystem A*x=b ist eindeutig lösbar.
ii) rang A = rang (A,b) = n
Nun ist der Rang ja die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten bzw. Zeilen. Kann der Rang von (A,b) größer sein als der Rang von A? Wenn der Rang von A maximal ist, geht das ja nicht. Denn ich füge ja quasi nur eine Spalte hinzu, aber da Spaltenrang=Zeilenrang können ja nicht plötzlich mehr Zeilen da sein... Aber wenn der Rang nicht maximal war?
So, nun noch folgende Aufgabe:
Gegeben seien die Matrizen
[mm] A=\pmat{3&5&7\\4&6&8\\1&3&4}, B=\pmat{3&2&6&3\\2&1&3&2\\2&3&1&4}.
[/mm]
Untersuchen Sie die folgenden Gleichungssysteme darauf, ob sie eindeutig lösbar sind:
[mm] Ax=\vektor{2\\4\\9}, Bx=\vektor{4\\1\\7}
[/mm]
Da Rang(A)=3 der maximale Rang ist, ist dieses Gleichungssystem eindeutig lösbar (nach meiner Erklärung oben), oder nicht?
Rang(B)=3 - ist das der maximale Rang? Also, nach dem Satz oben müsste Rang(B)=4 sein, damit das LGS eindeutig lösbar ist. Aber das geht ja gar nicht, da die Matrix nur drei Zeilen hat. Wie ist denn der maximale Rang eigentlich definiert?
Mmh, ich weiß gar nicht, eine richtige Frage habe ich glaube ich gar nicht gestellt. Aber vielleicht könnte ja mal jemand sagen, ob das hier alles so richtig ist, wie ich es geschrieben habe...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Der Lösungsraum des linearen Gleichungssystems A*x=b ist
> genau dann nicht leer, wenn rang A = rang(A,b).
>
> Für [mm]A\in M(m\times[/mm] n; K) und [mm]b\in K^m[/mm] sind folgende
> Bedingungen gleichwertig:
> i) Das lineare Gleichungssystem A*x=b ist eindeutig
> lösbar.
> ii) rang A = rang (A,b) = n
>
> Nun ist der Rang ja die maximale Anzahl linear unabhängiger
> Spalten bzw. Zeilen. Kann der Rang von (A,b) größer sein
> als der Rang von A?
Ja.
> Wenn der Rang von A maximal ist, geht
> das ja nicht.
Wenn $A$ quadratisch ist oder mehr Spalten als Zeilen hat, dann nicht. Denn dann ist ja der Rang, wenn er maximal ist, gleich der Anzahl der Zeilen. Und diese wird nicht erhöht, wenn ich eine Spalte dranklatsche.
Aber betrachte mal das Beispiel
$A= [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1}$.
[/mm]
Dann ist der Rang ja auch maximal, nämlich $2$ (er kann ja maximal $2$ sein, da es genau zwei Spalten gibt. Aber wenn ich jetzt $b = [mm] \pmat{0 \\ 0\\ 1}$ [/mm] hinzunehme, dann hat die erweiterte Matrix den Rang $3$!
> Denn ich füge ja quasi nur eine Spalte hinzu,
> aber da Spaltenrang=Zeilenrang können ja nicht plötzlich
> mehr Zeilen da sein... Aber wenn der Rang nicht maximal
> war?
Dann geht es sowieso...
> So, nun noch folgende Aufgabe:
>
> Gegeben seien die Matrizen
>
> [mm]A=\pmat{3&5&7\\4&6&8\\1&3&4}, B=\pmat{3&2&6&3\\2&1&3&2\\2&3&1&4}.[/mm]
>
> Untersuchen Sie die folgenden Gleichungssysteme darauf, ob
> sie eindeutig lösbar sind:
>
> [mm]Ax=\vektor{2\\4\\9}, Bx=\vektor{4\\1\\7}[/mm]
>
> Da Rang(A)=3 der maximale Rang ist, ist dieses
> Gleichungssystem eindeutig lösbar (nach meiner Erklärung
> oben), oder nicht?
Richtig! Denn hier tritt ja der Fall ein, dass der Rang der erweiterten Matrix höchstens $3$ sein kann, da die erweiterte Matrix nur aus drei Zeilen besteht. Schon vorher war aber der Rang von $A$ gleich $3$, und er kann sich ja nicht erniedrigen, wenn man eine Spalte hinzufügt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Rang(B)=3 - ist das der maximale Rang?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also, nach dem Satz
> oben müsste Rang(B)=4 sein, damit das LGS eindeutig lösbar
> ist. Aber das geht ja gar nicht, da die Matrix nur drei
> Zeilen hat.
Genau!
> Wie ist denn der maximale Rang eigentlich
> definiert?
Ist $A$ eine $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix, dass ist $Rang(A)$ maximal, wenn $Rang(A) = [mm] \min(m,n)$ [/mm] gilt.
Aber vorsicht: Oben im Satz lautet es etwas anders: Es existiert genau dann eine eindeutige Lösung des LGS $Ax=b$, wenn der Rang von $A$ gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist und wenn diese Zahl dann mit der Spaltenzahl von $A$ übereinstimmt.
Kein Wunder: Wenn $Rang(A)=n$ ist und $A$ beschreibt eine Abbildung von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^m$, [/mm] dann gilt mit der Dimensionsformel wegen $Rang(A) = [mm] \dim(Bild(A))$:
[/mm]
[mm] $\dim(Kern(A)) [/mm] = n - [mm] \dim(Bild(A)) [/mm] = n - Rang(A) = n-n =0$,
d.h. $A$ ist injektiv.
Die Bedingung $Rang(A) = Rang(A|b)$ bedeutet, dass $b$ im Bild von $A$ liegt, d.h. dass es ein $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] gibt mit $Ax=b$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke schon mal für deine Antwort. Ich glaube, ich habe das jetzt alles verstanden. Aber ich komme da immer so schnell wieder durcheinander, deswegen will ich es jetzt mal alles aufschreiben, was ich mir merken will: (lass dir ruhig Zeit mit dem Drüberlesen, ist doch leider wesentlich mehr geworden, als ich gedacht hatte... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")  )
(Ich gehe jeweils davon aus, dass A meine Matrix ist, und dass Ax=b mein Gleichungssystem ist.)
Ist A quadratisch (also [mm] n\times [/mm] n), so ist das LGS eindeutig lösbar genau dann, wenn Rang(A)=n.
Ansonsten kann es (nicht eindeutig) lösbar sein, oder gar keine Lösung haben.
Stimmt das so? Für den "ansonsten"-Fall habe ich folgendes klitzekleines Beispiel genommen:
[mm] A=\pmat{1&2\\1&2}
[/mm]
Rang(A)=1 - maximal könnte der Rang aber 2 sein. Wenn nun [mm] b=\vektor{1\\2} [/mm] ist, dann gibt es keine Lösung (denn dann wäre ja auch [mm] Rang(A,b)=2\not=1). [/mm] Wenn aber [mm] b=\vektor{1\\1}, [/mm] dann gibt es unendlich viele Lösungen (denn dann ist ja Rang(A,b)=1=Rang(A) - also ist die Lösungsmenge nicht leer). 
Das stimmt doch so, oder?
So, nun zum Fall, dass A nicht quadratisch ist, also eine [mm] n\times [/mm] m-Matrix mit [mm] n\not= [/mm] m.
Fall a):
n<m (mehr Spalten als Zeilen)
Wenn Rang(A)=n, so gibt es auf jeden Fall eine eindeutige Lösung!
Beispiel:
[mm] A=\pmat{1&2&3&4\\1&3&2&4\\1&4&2&3}
[/mm]
Rang(A)=3 (maximal)
Rang(A,b)=3 [mm] \forall b\in\IR^3
[/mm]
Wenn [mm] Rang(A)\not= [/mm] n, so gibt es keine Lösung, falls [mm] Rang(A,b)\not= [/mm] Rang(A) bzw. unendlich viele Lösungen, wenn Rang(A,b)=Rang(A).
Beispiel:
[mm] A=\pmat{1&2&3&4\\1&3&2&4\\2&4&6&8}
[/mm]
Rang(A)=2 (nicht maximal!)
Für [mm] b=\vektor{1\\2\\3} [/mm] ist [mm] Rang(A,b)=3\not=Rang(A), [/mm] also gibt es keine Lösung.
Für [mm] b=\vektor{1\\1\\3} [/mm] ist Rang(A,b)=2=Rang(A), es gibt mindestens eine Lösung. Da aber der Rang nicht maximal ist, gibt es keine eindeutige Lösung, also gibt es unendliche viele Lösungen.
Fall b):
n>m (mehr Zeilen als Spalten)
Ist Rang(A)=m (also maximal!), so gibt es entweder eine eindeutige Lösung (falls Rang(A,b)=Rang(A)) oder gar keine Lösung (falls [mm] Rang(A,b)\not= [/mm] Rang(A).
Beispiel: (ich nehme deins nochmal )
[mm] \pmat{1&0&1\\0&1&1}
[/mm]
Rang(A)=2 (maximal)
Für [mm] b=\vektor{0\\0\\1} [/mm] ist [mm] Rang(A,b)=3\not= [/mm] 2. Also gibt es keine Lösung!
Für [mm] b=\vektor{1\\0\\1} [/mm] ist Rang(A,b)=2=Rang(A). Also gibt es eine eindeutige Lösung (da 2 der maximale Rang ist).
Ist [mm] Rang(A)\not= [/mm] m (also nicht maximal), dann gibt es entweder eine unendliche viele Lösungen (falls Rang(A,b)=Rang(A) oder gar keine Lösung (falls [mm] Rang(A,b)\not= [/mm] Rang(A)).
Beispiel:
[mm] \pmat{1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\\2&1&3}
[/mm]
Rang(A)=2 (nicht maximal)
Für [mm] b=\vektor{1\\1\\1\\2} [/mm] ist Rang(A,b)=2=Rang(A), also gibt es mindestens eine Lösung. Da der Rang aber nicht maximal ist, gibt es keine eindeutige Lösung, also gibt es unendlich viele Lösungen.
Für [mm] b=\vektor{1\\2\\3\\4} [/mm] ist [mm] Rang(A,b)=4\not= [/mm] Rang(A), also gibt es keine Lösung.
So, ich hoffe, das stimmt jetzt so alles. Ich glaube allerdings, man hätte es auf ein paar weniger Fälle beschränken können, wenn ich damit angefanen hätte zu gucken, ob Rang(A)=Rang(A,b). Denn dann ist es ja teilweise egal, ob ich mehr Zeilen oder mehr Spalten habe.
Viele Grüße und danke für deine Antwort
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
P.S.: So, jetzt nochmal die Kurzfassung:
Rang(A)=Rang(A,b)=m (also maximal) [mm] \gdw [/mm] LGS eindeutig lösbar
[mm] Rang(A)=Rang(A,b)\not= [/mm] m (nicht maximal) [mm] \gdw \exists [/mm] unendliche viele Lösungen
[mm] Rang(A)\not=Rang(A,b) \gdw \exists [/mm] keine Lösung
Ich hoffe, hier stimmt auch der Äquivalenzpfeil? [mm] \Rightarrow [/mm] stimmt auf jeden Fall (hoffe ich...).
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Hallo Bastiane,
> P.S.: So, jetzt nochmal die Kurzfassung:
>
> Rang(A)=Rang(A,b)=m (also maximal) [mm]\gdw[/mm] LGS eindeutig
> lösbar
> [mm]Rang(A)=Rang(A,b)\not=[/mm] m (nicht maximal) [mm]\gdw \exists[/mm]
> unendliche viele Lösungen
Genau genommen muß hier stehen:
[mm]Rang(A)=Rang(A,b)\;<\;m[/mm]
> [mm]Rang(A)\not=Rang(A,b) \gdw \exists[/mm] keine Lösung
>
> Ich hoffe, hier stimmt auch der Äquivalenzpfeil?
> [mm]\Rightarrow[/mm] stimmt auf jeden Fall (hoffe ich...).
Ja.
Gruss
MathePower
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