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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 So 03.11.2013 | | Autor: | Lisaa25 |
Hallo liebe Mathe-Freunde,
ich habe bei einem Beweis von meiner Seminararbeit einen Schritt nicht vollständig nachvollziehen können. Vielleicht kann mir ja einer von Euch weiterhelfen.
Und zwar habe ich die Matrizen
[mm] A\in\IR^{n\times n}, A=A^T, A \mbox{ positiv definit und } A=B+HH^T, \mbox{ wobei } B\in\IR^{n\times n}, B=B^T \mbox{ und positiv definit}, H\in\IR^{n\times m}
[/mm] und die Spaltenvektoren von H sind linear unabhängig.
Das müssten soweit alle Eigenschaften sein, wobei ich mir nicht sicher bin ob sie alle für den Beweis benötigt werden.
Es wird behauptet, falls alle folgenden inverse Matrizen existieren, dann gilt:
[mm] (H^TA^{-1}H)^{-1}-E = (H^TB^{-1}H)^{-1}[/mm], wobei E die Einheitsmatrix im [mm]\IR^{n\times n}[/mm] sei.
Für den Fall [mm] m=n [/mm] ist dies ja ganz leicht nachzurechnen, aber für [mm]m\not=n[/mm] komme ich nicht darauf, wie man es zeigen soll.
Es wäre super, wenn Ihr mir weiterhelfen könntet!
Viele Grüße
Lisa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Ich habe mir es jetzt dreimal durchgelesen)
Man benötigt(DAS IST DER TIPP):
[mm](E+A^{-1})^{-1}=A(A+E)^{-1}[/mm] (*) und [mm]A-B=HH^T[/mm]
Beweis ist die (hoffentlich fehlerfreie) Rechnung
[mm]\qquad H^TB^{-1}H = H^TB^{-1}H[/mm]
[mm]\implies H^TB^{-1}H -H^TA^{-1}H+H^TA^{-1}H= H^TB^{-1}H[/mm] (intelligente Null)
[mm]\implies H^T\left( A^{-1}AB^{-1} - A^{-1}BB^{-1} \right)H+H^TA^{-1}H= H^TB^{-1}H[/mm] (Matrixmul. ist distrib. in H)
[mm]\implies H^TA^{-1}\left( A - B \right)B^{-1}H+H^TA^{-1}H= H^TB^{-1}H[/mm] (Matrixmul. ist distrib. in A,B)
[mm]\implies H^TA^{-1}\left( HH^T \right)B^{-1}H+H^TA^{-1}H= H^TB^{-1}H[/mm] (eine der benötigten Gleichungen)
[mm]\implies H^TA^{-1}HH^TB^{-1}H+H^TA^{-1}H= H^TB^{-1}H[/mm] (Matrixmul. ist assoz.)
[mm]\implies H^TA^{-1}H\left(H^TB^{-1}H+E\right)= H^TB^{-1}H[/mm] (wieder ausklammern)
[mm]\implies H^TA^{-1}H= H^TB^{-1}H\left(H^TB^{-1}H+E\right)^{-1}[/mm] (falls Inverse existiert!)
[mm]\implies H^TA^{-1}H= \left(H^TB^{-1}H\right)^{-1}+E[/mm] (nach obiger Gleichung *)
Falls die Inverse nicht existiert, kann man natürlich keine Aussage machen. Aber mit
> Es wird behauptet, falls alle folgenden inverse Matrizen existieren,
Hast du mir einen Freifahrtschein gemacht.
Interessant wäre es zu wissen, ob es eleganter geht, da die Form irgendwie der Woodbury matrix identity ähnelt (Bezug [mm] $A=B+HH^T$).
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:07 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Lisaa25 |
Hi wischoo :)
danke für deine Hilfe und den ausführlichen Beweis!
Das sieht alles sehr gut aus, nur woher kommt der Tipp (*) ?
Ist das eine allgemein gültige Formel?
Die Woodbury-Matrix-Identität war mir vorher auch noch nicht bekannt, ich werde es damit auch nochmal versuchen.
PS: In der letzten Zeile von deinem Beweis fehlt ein [mm] (...)^{-1}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Mo 04.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi wischoo :)
> danke für deine Hilfe und den ausführlichen Beweis!
> Das sieht alles sehr gut aus, nur woher kommt der Tipp (*)
> ?
> Ist das eine allgemein gültige Formel?
Ja, der Beweis ist sehr einfach
FRED
> Die Woodbury-Matrix-Identität war mir vorher auch noch
> nicht bekannt, ich werde es damit auch nochmal versuchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:31 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Lisaa25 |
Ok, hast recht. Dumme Frage...
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