Gleichungssystem lösen (2) < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)Man gebe alle Lösungen des linearen Gleichungssystems
[mm] x_1+2x_2+4x_3+x_4=2
[/mm]
[mm] 2x_1+3x_2+x_3=1
[/mm]
[mm] 3x_1+5x_2+5x_3+x_4=3
[/mm]
[mm] x_1+x_2-3x_3-x_4=-1
[/mm]
an.
b) Man bestimme die Lösung, für die gilt [mm] x_1=0, x_2=0. [/mm] |
meine vorgehensweise:
zu a):
1 2 4 1 |2
2 3 1 0 |1 (-2*I)
3 5 5 1 |3 (-3*I)
1 1 -3 -1 |-1 (-I)
1 2 4 1 |2
0 -3 -7 -2 |-3
0 -1 -7 -2 |-3
0 -1 -7 -2 |-3 (-III)
1 2 4 1 |2
0 -3 -7 -2 |-3
0 -1 -7 -2 |-3 (3*III-II)
0 0 0 0 |0
1 2 4 1 |2
0 -3 -7 -2 |-3
0 0 -14 -4 |-6
0 0 0 0 |0
[mm] x_4=s\in\IR,beliebig
[/mm]
[mm] -14x_3-4s=-6
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{3}{7}-\bruch{2}{7}s
[/mm]
[mm] -3x_2-3=-3
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] x_1+2*0+a*(\bruch{3}{7}-\bruch{2}{7}s)+s=2
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{2}{7}+\bruch{1}{7}s
[/mm]
[mm] \vec{X}=\vektor{\bruch{2}{7} \\ 0 \\ \bruch{3}{7} \\ 0}+s*\vektor{\bruch{1}{7} \\ 0 \\ -\bruch{2}{7} \\ 1} [/mm]
zu b):
[mm] 4x_3+x_4=2
[/mm]
[mm] x_4=2-4x_3
[/mm]
[mm] x_3=1
[/mm]
also [mm] x_4=2-4=-2
[/mm]
also:
[mm] \vec{X}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \ -2}
[/mm]
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 So 03.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Vorgehensweise zu Aufgabe a) ist korrekt, und diene Rechnung auch.
Zu b) Hier suchst du das s für das gilt [mm] x_{1}=0, [/mm] also
[mm] \red{0}=\bruch{2}{7}+\bruch{1}{7}s
[/mm]
und da [mm] x_{2}\equiv0, [/mm] ist die zweite Bedingung logischerweise auch erfüllt.
Marius
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> Hallo
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> Deine Vorgehensweise zu Aufgabe a) ist korrekt, und diene
> Rechnung auch.
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> Zu b) Hier suchst du das s für das gilt [mm]x_{1}=0,[/mm] also
>
> [mm]\red{0}=\bruch{2}{7}+\bruch{1}{7}s[/mm]
> und da [mm]x_{2}\equiv0,[/mm] ist die zweite Bedingung
> logischerweise auch erfüllt.
>
> Marius
okay wenn ich das s nach deinem rechenweg ausrechne komm ich auf s=-2
und eingesetzt in die gleichung
[mm] \vec{x}=\vektor{\bruch{2}{7} \\ 0 \\ \bruch{3}{7} \\ 0} +s*\vektor{\bruch{1}{7} \\ 0 \\ -\bruch{2}{7} \\ 1} [/mm]
kommt heraus [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
was ich aber nicht ganz verstehe ist wie du auf die rot markierte null gekommen bist.
hast du da einfach [mm] x_1=x_2 [/mm] gesetzt also:
[mm] \bruch{2}{7}+s*\bruch{1}{7}=0 [/mm] ?
die linke seite stellt somit [mm] x_1 [/mm] dar und die rechte seite [mm] x_2 [/mm] und da [mm] x_1=x_2 [/mm] sein soll kommt man auf diese gleichung.
ist doch so oder?
wenn ich jetzt die frage richtig beantworten will(frage b)
was soll ich da jetzt genau aufschreiben?
[mm] \vec{x}=\vektor{\bruch{2}{7} \\ 0 \\ \bruch{3}{7} \\ 0} -2*\vektor{\bruch{1}{7} \\ 0 \\ -\bruch{2}{7} \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -2} [/mm] ...vielleicht so?
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Hallo, schau mal in die Aufgabenstellung bei b) Man bestimme die Lösung, für die gilt [mm] x_1=0, x_2=0. [/mm] ich denke, jetzt ist dir die Null klar, die Lösung hast du ja schon, Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 03.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ich seh schon den wald vor lauter bäumen nicht mehr ^^
thx ^^
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> Hallo
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> Deine Vorgehensweise zu Aufgabe a) ist korrekt, und diene
> Rechnung auch.
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> Zu b) Hier suchst du das s für das gilt [mm]x_{1}=0,[/mm] also
>
> [mm]\red{0}=\bruch{2}{7}+\bruch{1}{7}s[/mm]
> und da [mm]x_{2}\equiv0,[/mm] ist die zweite Bedingung
> logischerweise auch erfüllt.
>
> Marius
sagen wir mal es sollte sein [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_3=2
[/mm]
wie sollte ich dann rechnen?
ich habs versucht mit
[mm] \bruch{2}{7} [/mm] + [mm] \bruch{1}{7}s=3
[/mm]
und [mm] \bruch{3}{7} [/mm] - [mm] \bruch{2}{7}s=2
[/mm]
doch ich habe dann zwei gleichungen und eine unbekannte
und wenn ich die ersten gleichung nach s umstelle krieg ich 19 heraus und setz ich 19 in die zweite gleichung ein so stimmt das natürlich nicht mit dem ergebnis überein.
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Hallo!
Ohne jetzt alles gelesen zu haben: Du hattest ein Gleichungssystem mit vier unbekannten und vier Gleichungen. Du hast aber durch Umformen herausbekommen, dass die vierte Gleichung im Grunde "dasselbe" aussagt wie die ersten drei und konntest sie durch geeignete Verfahren zur Nullzeile machen.
Du konntest also eigentlich nur einen Parameter frei wählen, gibst aber mit [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] zwei beliebig gewählte Parameter an, obwohl zwischen diesen eine Beziehung herrscht (siehe dein Lösungsvektor). Das kann nur im Ausnahmefall gutgehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 So 03.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ah, ich glaube ich versteh das, danke.
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