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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe eine Frage bzgl. einer "Rückrechnung" sozusagen zur Probe. Es geht um die Berechnung eines Gesamt-Value at Risk (VaR, Risikomaßzahl) auf Basis von Korrelationen. Eigentlich ganz einfach:
(1)
Es gibt 3 Aktien mit unterschiedlichen stand alone VaR:
A: 1000 EUR
B: 2000 EUR
C: 3000 EUR
Die Korrelation zwischen den Aktien:
A B C
A 1 0,8 0,7
B 0,8 1 -0,2
C 0,7 -0,2 1
(2)
Berechnet wird das ganze nun so:
[mm] \wurzel{\pmat{ 1000 & 2000 & 3000 } \* \pmat{ 1 & 0,8 & 0,7 \\ 0,8 & 1 & -0,2 \\ 0,7 & -0,2 & 1 } \* \pmat{ 1000 \\ 2000 \\ 3000 }}
[/mm]
Da kommt nun ein Wert von 4358,89 EUR heraus. Durch die Korrelation ist also das aufsummierte Risiko der 3 Aktien gesunken von (1000+2000+3000)=6000 EUR auf 4358,89 EUR.
So nun ist das also eine Reduktion des Risikos auf (4358,89/6000) = 72,64% des ursprünglichen Risikos (6000 EUR).
(3)
Nun rechne ich also mit Hilfe der %-Zahl die "neuen" angepassten Risikowerte der Aktien aus:
A: 1000 * 72,64% = 726,48 EUR
B: 2000 * 72,64% = 1452,97 EUR
C: 2000 * 72,64% = 2179,45 EUR
So fertig. Nun das eigentliche Problem: Wie komme ich von den Ergebnissen aus (3) wieder auf die Ausgangswerte 1000,2000 und 3000? Ich bin echt am verzweifeln. Anbei auch noch ein Excel-Dokument zur Berechnung.
Ich hoffe ihr könnt mir Helfen.
Viele Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xlsx) [nicht öffentlich]
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Hat keiner einen Tipp für mich? Ist eine Lösung überhaupt möglich?
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Hallo R.L.D.
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
obwohl mir das Thema vom finanzwirtschaftlichen Aspekt
her unbekannt ist, habe ich mal versucht, die mathema-
tische Essenz der Rechnung zu kapieren.
> ich habe eine Frage bzgl. einer "Rückrechnung" sozusagen
> zur Probe. Es geht um die Berechnung eines Gesamt-Value at
> Risk (VaR, Risikomaßzahl) auf Basis von Korrelationen.
> Eigentlich ganz einfach:
>
> (1)
>
> Es gibt 3 Aktien mit unterschiedlichen stand alone VaR:
> A: 1000 EUR
> B: 2000 EUR
> C: 3000 EUR
>
> Die Korrelation zwischen den Aktien:
> A B C
> A 1 0,8 0,7
> B 0,8 1 -0,2
> C 0,7 -0,2 1
>
> (2)
>
> Berechnet wird das ganze nun so:
> [mm]\wurzel{\pmat{ 1000 & 2000 & 3000 } \* \pmat{ 1 & 0,8 & 0,7 \\ 0,8 & 1 & -0,2 \\ 0,7 & -0,2 & 1 } \* \pmat{ 1000 \\ 2000 \\ 3000 }}[/mm]
Mathematisch gesehen ist dies eine Art Betrags-
berechnung mittels eines verallgemeinerten
Skalarprodukts. Wenn wir den (Spalten-) Vektor
der Aktienwerte mit v und die Korrelationsmatrix
mit K bezeichnen, kann man obige Rechnung
kurz so notieren:
[mm] $\wurzel{v^T \ * K \ * v }$
[/mm]
[mm] (v^T [/mm] ist dabei der zu v "transponierte" Zeilenvektor)
Nennen wir das Ergebnis dieser Rechnung B , also
$\ B\ =\ [mm] \wurzel{v^T \ * K \ * v }$
[/mm]
Dies ist eine positive Zahl, eben eine verallgemeinerte
Art von "Betrag" des Vektors v.
> Da kommt nun ein Wert von 4358,89 EUR heraus.
> Durch die Korrelation ist also das aufsummierte
> Risiko der 3 Aktien gesunken von
> (1000+2000+3000)=6000 EUR auf 4358,89 EUR. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dies habe ich nachgerechnet. Stimmt.
(was diese Rechnung mit Aktienrisiko zu tun hat,
ist mir zwar nicht bekannt, aber für die mathematische
Frage ist dies hier ohne Belang)
> So nun ist das also eine Reduktion des Risikos auf
> (4358,89/6000) = 72,64% des ursprünglichen Risikos (6000
> EUR).
>
> (3)
>
> Nun rechne ich also mit Hilfe der %-Zahl die "neuen"
> angepassten Risikowerte der Aktien aus:
>
> A: 1000 * 72,64% = 726,48 EUR
> B: 2000 * 72,64% = 1452,97 EUR
> C: 3000 * 72,64% = 2179,45 EUR
Im Prinzip wurde hier also aus dem ursprünglichen
Vektor v ein neuer Vektor w berechnet mittels der einfachen
Formel
$\ w:=\ [mm] \frac{1}{B}*v$
[/mm]
> So fertig. Nun das eigentliche Problem: Wie komme ich von
> den Ergebnissen aus (3) wieder auf die Ausgangswerte
> 1000,2000 und 3000?
Also, was wäre nun die genaue Frage ?
Falls ich richtig verstanden habe:
Die Korrelationsmatrix K ist (nach wie vor) bekannt.
Der Vektor w ist bekannt.
Aus diesen Daten möchtest du den ursprünglichen
Vektor v rekonstruieren.
Bevor wir weiter rechnen, möchte ich mich bei dir
vergewissern, ob ich die Situation nun richtig
interpretiert habe ?
(Jetzt möchte ich zuerst gucken, wie sich Wawrinka
gegen Djoković schlägt ... )
LG , Al-Chw.
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Hallo,
ja du hast die Frage richtig verstanden. Nur der letzte Schritt soll eigentlich so sein:
w := v * (B / ( [mm] v^{T} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1}))
[/mm]
also erst den Faktor berechnen (Portfoliowert B / Einfache Summe). Danach den Vektor v (Ausgangswerte) damit multiplizieren.
Danke für deine Hilf. Ist wirklich sehr Übersichtlich wenn du das mathematisch darstellst. Guter Tipp ;)
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Hallo,
ich habe mir das Thema noch einmal angeschaut und versucht, die Gleichung zu lösen.
Ich habe folgende Ausgangsgleichung und würde die gern nach v umstellen. Leider scheint das echt schwieirg zu sein :(
w = v * ( [mm] \bruch{ \wurzel{ v^{T} * K * v } }{ v^{T} * \vektor{1\\1} } [/mm] )
Kann mir einer helfen, dass ganze nach v umzustellen?
w, v und K sind Vektoren mit:
w = [mm] \vektor{85,63\\171,27}
[/mm]
K = [mm] \pmat{1&0,4\\0,4&1}
[/mm]
Der Lösungsvektor v sollte sein: v = [mm] \vektor{100\\200}
[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe mir das Thema noch einmal angeschaut und versucht,
> die Gleichung zu lösen.
>
> Ich habe folgende Ausgangsgleichung und würde die gern
> nach v umstellen. Leider scheint das echt schwieirg zu sein
> :(
>
> w = v * ( [mm]\bruch{ \wurzel{ v^{T} * K * v } }{ v^{T} * \vektor{1\\1} }[/mm]
> )
>
> Kann mir einer helfen, dass ganze nach v umzustellen?
>
> w, v und K sind Vektoren mit:
>
>
> w = [mm]\vektor{85,63\\171,27}[/mm]
>
> K = [mm]\pmat{1&0,4\\0,4&1}[/mm]
>
> Der Lösungsvektor v sollte sein: v = [mm]\vektor{100\\200}[/mm]
Guten Abend RedLightDistrict,
im Gegensatz zu deinem ersten Beispiel hast du hier
Vektoren mit nur 2 Komponenten. Mein Vorschlag:
schreibe einmal mittels $\ v\ =\ [mm] \pmat{x\\y}$ [/mm] und demzufolge
$\ [mm] v^T\ [/mm] =\ [mm] \pmat{x&y}$ [/mm] alles komplett aus. Man kann dann
z.B. leicht sehen, dass [mm] $\frac{y}{x}\ [/mm] =\ [mm] \frac{171.27}{85.63}\ \approx\ [/mm] 2$
(und möglicherweise exakt gleich 2) sein muss. Setzt du
dann y:=2x ein, erhältst du eine recht einfache
Gleichung für den Wert von x !
LG , Al-Chw.
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Hallo,
leider ist s nicht exakt 2. Das liegt nur daran, dass 100/200 = 2 ist. Die Korrelationsmatrix senkt das dann auf 1,9... oder so. Aber wenn die Werte der Korrelationsmatrix anders gewählt werden wird daraus auch schnell mal 1,5... oder so. Wenn ich mir dann das Beispiel mit den 3 Elementem im Vektor (1000,2000,3000) anschaue klappt das leider erst recht nicht.
Meine Frage: Kann man die Gleichung überhaupt lösen? Gibt es Gleichungen, die man nicht lösen kann? Ich habe ja eigentlich zwei Variablen und nur eine Gleichung oder? Wenn ich jedoch die ganzen Matrizen ausmultipliziere habe ich viel mehr Gleichungen als Variablen weshalb ich denke, dass es doch eine Lösung geben müsste. Kennt einer ein kostenloses Tool um so eine Gleichung zu lösen?
VG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Fr 22.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du dem Vorschlag von Al-Chwarizmi folgst kommst Du auf folgende Gleichungen
(1) [mm] w_1+w_2=\wurzel{v^T*K*v} [/mm] und
(2) [mm] \bruch{w_1}{w_2}=\bruch{v_1}{v_2}
[/mm]
Gleichung (2) lässt sich leicht nach [mm] v_1 [/mm] auflösen und das Ergebnis setzt Du in (1) ein. Dann hast Du nur noch eine Gleichung für [mm] v_2.
[/mm]
Es gilt [mm] v^T*K*v=\summe_{i,j=1}^{n}v_i*v_j*K_{i,j}
[/mm]
und für [mm] v_2 [/mm] erhält man
[mm] v_2=\bruch{w_1+w_2}{\wurzel{ \bruch{w_1^2}{w_2^2}K_{1,1}+\bruch{w_1}{w_2}K_{1,2}+\bruch{w_1}{w_2}K_{2,1}+K_{2,2}}}
[/mm]
Damit sollte das Problem für n=2 gelöst sein.
Und für allgemeines n gilt mit den gleichen Methoden
[mm] v_n=\bruch{w_n}{\wurzel{w^T*K*w}}\summe_{i=1}^{n}w_i
[/mm]
[mm] v_i=\bruch{w_i}{w_n}v_n [/mm] für i=1, ... , n-1 falls [mm] w_n\ne0
[/mm]
Sollte [mm] w_n=0 [/mm] sein, nimmt man ein k mit [mm] w_k\ne0 [/mm] und dann berechnet man [mm] v_i [/mm] wie folgt
[mm] v_i=\bruch{w_i}{w_k}v_k [/mm] für i=1, ... , n-1
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