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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Mi 16.07.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Löse das folgende Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ 8-2t & -3 \\ -3 & -2t }\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] |
als Lösungsweg ist vorgegeben, man solle zuerst [mm] det\pmat{ 8-2t & -3 \\ -3 & -2t }=0 [/mm] berechnen.
So erhält man dann [mm] t_{1}= [/mm] 9/2 und [mm] t_{2}= [/mm] -1/2. Und anschliessen so weiterrechnen.
Auf diese Weise erhalte ich auch das richtige Resultat. Aber ohne diesen Hinweis hätte ich einfach die beiden Matrizen mutlipliziert und dann mit den zwei Gleichungen weitergemacht.
Meine Frage: Weshalb funktioniert dieser Trick mit der Determinante? Kann man diesen immer auf diese Weise anwenden?
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Hallo Johnny,
> Löse das folgende Gleichungssystem:
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> [mm]\pmat{ 8-2t & -3 \\ -3 & -2t }\vektor{x \\ y}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
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> als Lösungsweg ist vorgegeben, man solle zuerst [mm]det\pmat{ 8-2t & -3 \\ -3 & -2t }=0[/mm]
> berechnen.
> So erhält man dann [mm]t_{1}=[/mm] 9/2 und [mm]t_{2}=[/mm] -1/2. Und
> anschliessen so weiterrechnen.
> Auf diese Weise erhalte ich auch das richtige Resultat.
> Aber ohne diesen Hinweis hätte ich einfach die beiden
> Matrizen mutlipliziert und dann mit den zwei Gleichungen
> weitergemacht.
> Meine Frage: Weshalb funktioniert dieser Trick mit der
> Determinante? Kann man diesen immer auf diese Weise
> anwenden?
Hier hast du ja den Fall, dass du ein homogenes LGS [mm] $A\cdot{}\vec{x}=\vec{0}$ [/mm] hast, das hat ja immer eine Lösung!
Wenn sie eindeutig ist, ist's die Nullösung, also [mm] $\vektor{x\\y}=\vektor{0\\0}$.
[/mm]
Das ist der Fall, wenn die Matrix A invertierbar ist, also wenn [mm] $det(A)\neq [/mm] 0$.
Dann kannst du nämlich die Inverse bilden und von links an die Gleichung multiplizieren und bekommst so die Nullösung.
Ist die Matrix A aber nicht invertierbar, also $det(A)= 0$, so klappt das nicht und du musst die (unendlich vielen) Lösungen mit Gauß bestimmen.
Du kannst natürlich auch den Parameter t bei den ganzen Rechnungen mit Gauß mitschleifen, dann wird's etwas unübersichtlicher und du musst aufpassen, dass die Umformungen erlaubt bleiben 
Wenn du aber vorher die kritischen Werte für t berechnest und die dann konkret in die Matrixgleichung einsetzt, dann geht's einfacher, schneller und weniger fehleranfällig
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Mi 16.07.2008 | | Autor: | johnny11 |
hallo schachuzipus,
vorerst mal vielen dank für die ausführliche antwort. 
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> Wenn du aber vorher die kritischen Werte für t berechnest
> und die dann konkret in die Matrixgleichung einsetzt, dann
> geht's einfacher, schneller und weniger fehleranfällig
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>
ich sehe einfach noch nicht genau, was das für kritische Punkte sind, welche man hier mit der Determinante ausrechnet...!
Was bedeuten diese kritischen Punkte hier denn genau? Ich sehe denn Sinn hier nicht genau...!
Bei Funktionskurven z.B. verstehe ich denn Sinn von kritischen Punkten. Aber hier...?
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Hallo nochmal,
> hallo schachuzipus,
> vorerst mal vielen dank für die ausführliche antwort.
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> > >
> > Wenn du aber vorher die kritischen Werte für t berechnest
> > und die dann konkret in die Matrixgleichung einsetzt, dann
> > geht's einfacher, schneller und weniger fehleranfällig
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> ich sehe einfach noch nicht genau, was das für kritische
> Punkte sind, welche man hier mit der Determinante
> ausrechnet...!
> Was bedeuten diese kritischen Punkte hier denn genau? Ich
> sehe denn Sinn hier nicht genau...!
> Bei Funktionskurven z.B. verstehe ich denn Sinn von
> kritischen Punkten. Aber hier...?
Na, das sind diejenigen t, für die die Determinante der Koeffizientenmatrix 0 wird, die hast du oben ja selber ausgerechnet, für alle anderen (unkritischen) t ist die Lösung deines obigen LGS eindeutig, nämlich [mm] $\vektor{x\\y}=\vektor{0\\0}$
[/mm]
Denn für die unkritischen t kannst du - wie oben erwähnt - mit der Inversen von links multiplizieren.
(wobei du hier im homogenen Fall schon vorab weißt, dass [mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] die eind. Lösung ist)
Bei den "kritischen" t ist die Det(A)=0, es gibt also keine Inverse, da muss Gauß herhalten...
LG
schachuzipus
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