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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | Gesucht sind die Extremwerte der Funktion f(x,y) = x²+y²-2y+1 auf [mm] C_{1} \cap C_{2}, [/mm] wobei C1 und C2 zwei Kreise mit Zentrum P1(-1,0) und P2(1,0) sind. |
Hallo alle zusammen!
Nun von der Aufgabenstelung her kein Problem, die Kreisgleichungen:
(x+1)² + y² = 4
(x-1)²+y²=4
Das ganze mit Lagrange:
x²+y²-2y+1 + l * ((x+1)² + y² - 4) + u * ((x-1)²+y²-4)
Partielle Abelitungen (dx,dy,dl,du):
dx: 2x*(1+l+u) + 2l + 2u = 0
dy: 2y*(1+l+u) - 2 = 0
dl: (x+1)²+y²-4 = 0
du: (x-1)²+y²-4 = 0
So, jetzt gehts ans eingemacht und an mein Problem:
Ich betrachte mir jetzt dx und dy:
dx: 2x*(1+l+u) + 2l + 2u = 0
dy: 2y*(1+l+u) - 2 = 0
Hier gehts los, löse ich dx nach x auf, so kann ich es in dl einsetzen, was meiner Meinung nach eine Katastrophe wird, wenn man das alles quadrieren muss.
Löse ich dy nach y auf, bekomme ich: [mm] \bruch{2}{1+l+u} [/mm] heraus, eingesetzt in dl:
(x+1)²+ ( [mm] \bruch{2}{1+l+u} [/mm] )²-4 = 0
in du das Selbe:
(x-1)²+ ( [mm] \bruch{2}{1+l+u} [/mm] )²-4 = 0
Kann ich jetzt ganz frech hergehen und sagen, gut ich wende das Additionsverfahren an:
(x+1)²+ ( [mm] \bruch{2}{1+l+u} [/mm] )²-4 = 0
-
(x-1)²+ ( [mm] \bruch{2}{1+l+u} [/mm] )²-4 = 0
Wäre dann ja: (x+1)² -(x-1)² = 0
=> x=0
Dann nehme ich x=0 (FRAGE: Kann ich jetzt x=0 und jede der 4 Gleichungen einsetzen (auch denn das Einsetzen in dx / dy nichts bringt) oder muss ich das ganze jetzt über meinen Rechenweg rückwärts lösen?)
Ich setze zB in dl ein und bekomme heraus: 1 + y² -4= 0
y= + / - Wurzel(3)
Ist somit meine ganze Aufgabe gelöst? Einmal alle Konstanten mit einbezogen über einen Weg, ergibt das immer das richtige Ergebnis, oder könnte es sein, dass ich durch das Lösen auf einen anderen Weg noch weitere Ergebnisse finde?
Danke
lg
Zuggel
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> Gesucht sind die Extremwerte der Funktion f(x,y) =
> x²+y²-2y+1 auf [mm]C_{1} \cap C_{2},[/mm] wobei C1 und C2 zwei
> Kreise mit Zentrum P1(-1,0) und P2(1,0) sind.
> Hallo alle zusammen!
>
> Nun von der Aufgabenstelung her kein Problem, die
> Kreisgleichungen:
>
> (x+1)² + y² = 4
> (x-1)²+y²=4
Hallo,
dem entnehme ich, daß es sich um Kreise mit dem Radius 2 handelt.
Ich nehme mal an, daß Du die Extrema im Schnitt der Kreisscheiben untersuchen sollst, der Schnitt der Kreisränder wäre ja sehr dürftig...
Mal grundsätzlich: diese Lagrangegeschichte ist für den Rand des zu untersuchenden Gebietes.
Du untersuchst damit den Rand der "Schnittmandel" - mit Ausnahme von Stellen, an denen der Rand "geknickt" ist.
Der Ablaufplan für solche Extremwertaufgaben:
1. lokale Extrema der Funktion f berechnen auf dem gesamten Definitionsbereich und dann schauen, welche davon innerhalb des zu betrachtenden Gebietes liegen. (partielle Ableitungen usw.)
2. Extrema auf dem Rand bestimmen (Lagrangeansatz)
3. Funktionswerte an den "Knicken" berechnen
4. Der Vergleich der Funktionswerte sagt einem dann, wo die absoluten Extremwerte liegen.
Du bist also noch nicht fertig, um diese Frage vorweg zu beantworten.
Zur Lösung des Gleichungssystems:
da die Gleichungen, die bei solchen Extremwertaufgaben auftreten können, sehr verschiedenartig sind, läßt sich kein allgemeiner Fahrplan aufstellen. Man tut das, was erstens bequem und zweitens richtig ist. Die Werte von l und u interessieren im Grunde überhaupt nicht, es sind reine Hilfsvariable.
Der von Dir eingeschlagene Weg, zunächst mit den beiden letzten Gleichungen zu arbeiten, ist völlig in Ordnung.
Das Ergebnis, welches Du errechnet hast, sind die Schnittpunkte der beiden Kreise, war Dir das klar?
>
> Das ganze mit Lagrange:
>
> x²+y²-2y+1 + l * ((x+1)² + y² - 4) + u * ((x-1)²+y²-4)
>
> Partielle Abelitungen (dx,dy,dl,du):
>
> dx: 2x*(1+l+u) + 2l + 2u = 0
> dy: 2y*(1+l+u) - 2 = 0
> dl: (x+1)²+y²-4 = 0
> du: (x-1)²+y²-4 = 0
>
> So, jetzt gehts ans eingemacht und an mein Problem:
>
> Ich betrachte mir jetzt dx und dy:
>
> dx: 2x*(1+l+u) + 2l + 2u = 0
> dy: 2y*(1+l+u) - 2 = 0
>
> Kann ich jetzt ganz frech hergehen und sagen, gut ich wende
> das Additionsverfahren an:
>
> (x+1)²+ ( [mm]\bruch{2}{1+l+u}[/mm] )²-4 = 0
> -
> (x-1)²+ ( [mm]\bruch{2}{1+l+u}[/mm] )²-4 = 0
>
> Wäre dann ja: (x+1)² -(x-1)² = 0
>
> => x=0
>
> Dann nehme ich x=0 (FRAGE: Kann ich jetzt x=0 und jede der
> 4 Gleichungen einsetzen (auch denn das Einsetzen in dx / dy
> nichts bringt) oder muss ich das ganze jetzt über meinen
> Rechenweg rückwärts lösen?)
>
> Ich setze zB in dl ein und bekomme heraus: 1 + y² -4= 0
> y= + / - Wurzel(3)
Und nun passiert etwas gar Schröckliches: setzt Du diese Punkte in die oberen Gleichungen ein, erhältst Du
l+u=0 , und hieraus dann [mm] \pm\wurzel{3}-2=0.
[/mm]
Widerspruch, also hat das GS keine Lösung.
Was hat es mit Deinen errechneten Punkten auf sich? Es sind Knickstellen, welche Du mit Lagrange überhaupt nicht untersuchst.
Du hast nun 2) abgearbeitet.
Punkt 3) ist ein Klacks.
Nun mußt Du Dich über Punkt 1) hermachen. Ohne Lagrange, mit part. Ableitungen und ggf. Hessematrix - es sei denn, Du siehst ohne großartige Rechnung sofort, was herauskommt.
Hierzu ist es nützlich, f ein wenig umzuformen: [mm] f(x,y)=x^2+(y-1)^2.
[/mm]
Danach dann Punkt 4)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Gesucht sind die Extremwerte der Funktion f(x,y) =
> > x²+y²-2y+1 auf [mm]C_{1} \cap C_{2},[/mm] wobei C1 und C2 zwei
> > Kreise mit Zentrum P1(-1,0) und P2(1,0) sind.
> > Hallo alle zusammen!
> >
> > Nun von der Aufgabenstelung her kein Problem, die
> > Kreisgleichungen:
> >
> > (x+1)² + y² = 4
> > (x-1)²+y²=4
>
> Hallo,
>
> dem entnehme ich, daß es sich um Kreise mit dem Radius 2
> handelt.
>
> Ich nehme mal an, daß Du die Extrema im Schnitt der
> Kreisscheiben untersuchen sollst, der Schnitt der
> Kreisränder wäre ja sehr dürftig...
>
> Mal grundsätzlich: diese Lagrangegeschichte ist für den
> Rand des zu untersuchenden Gebietes.
> Du untersuchst damit den Rand der "Schnittmandel" - mit
> Ausnahme von Stellen, an denen der Rand "geknickt" ist.
Definiere bitte etwas genauer "geknickt" - meinst du damit die Schnittpunkte der beiden Kreise, also die obere und untere Spitze?
>
> Der Ablaufplan für solche Extremwertaufgaben:
>
> 1. lokale Extrema der Funktion f berechnen auf dem gesamten
> Definitionsbereich und dann schauen, welche davon innerhalb
> des zu betrachtenden Gebietes liegen. (partielle
> Ableitungen usw.)
Das war mir schon klar (wir hatten ja damals unser Gesprächsthema über den Garten und den Zaun ;) )
>
> 2. Extrema auf dem Rand bestimmen (Lagrangeansatz)
Jup
>
> 3. Funktionswerte an den "Knicken" berechnen
Ich denke das wird mir klar werden, wenn du mir das "geknickt" oben etwas erklärt hast
>
> 4. Der Vergleich der Funktionswerte sagt einem dann, wo die
> absoluten Extremwerte liegen.
>
>
> Du bist also noch nicht fertig, um diese Frage vorweg zu
> beantworten.
>
>
> Zur Lösung des Gleichungssystems:
>
> da die Gleichungen, die bei solchen Extremwertaufgaben
> auftreten können, sehr verschiedenartig sind, läßt sich
> kein allgemeiner Fahrplan aufstellen. Man tut das, was
> erstens bequem und zweitens richtig ist. Die Werte von l
> und u interessieren im Grunde überhaupt nicht, es sind
> reine Hilfsvariable.
>
> Der von Dir eingeschlagene Weg, zunächst mit den beiden
> letzten Gleichungen zu arbeiten, ist völlig in Ordnung.
> Das Ergebnis, welches Du errechnet hast, sind die
> Schnittpunkte der beiden Kreise, war Dir das klar?
>
> >
> > Das ganze mit Lagrange:
> >
> > x²+y²-2y+1 + l * ((x+1)² + y² - 4) + u * ((x-1)²+y²-4)
> >
> > Partielle Abelitungen (dx,dy,dl,du):
> >
> > dx: 2x*(1+l+u) + 2l + 2u = 0
> > dy: 2y*(1+l+u) - 2 = 0
> > dl: (x+1)²+y²-4 = 0
> > du: (x-1)²+y²-4 = 0
> >
> > So, jetzt gehts ans eingemacht und an mein Problem:
> >
> > Ich betrachte mir jetzt dx und dy:
> >
> > dx: 2x*(1+l+u) + 2l + 2u = 0
> > dy: 2y*(1+l+u) - 2 = 0
> >
>
> > Kann ich jetzt ganz frech hergehen und sagen, gut ich wende
> > das Additionsverfahren an:
> >
> > (x+1)²+ ( [mm]\bruch{2}{1+l+u}[/mm] )²-4 = 0
> > -
> > (x-1)²+ ( [mm]\bruch{2}{1+l+u}[/mm] )²-4 = 0
> >
> > Wäre dann ja: (x+1)² -(x-1)² = 0
> >
> > => x=0
> >
> > Dann nehme ich x=0 (FRAGE: Kann ich jetzt x=0 und jede der
> > 4 Gleichungen einsetzen (auch denn das Einsetzen in dx / dy
> > nichts bringt) oder muss ich das ganze jetzt über meinen
> > Rechenweg rückwärts lösen?)
> >
> > Ich setze zB in dl ein und bekomme heraus: 1 + y² -4= 0
> > y= + / - Wurzel(3)
>
> Und nun passiert etwas gar Schröckliches: setzt Du diese
> Punkte in die oberen Gleichungen ein, erhältst Du
>
> l+u=0 , und hieraus dann [mm]\pm\wurzel{3}-2=0.[/mm]
>
> Widerspruch, also hat das GS keine Lösung.
Das ist in der Tat ein Shock. Sozusagen sind diese beiden Punkte für nichts zu gerbauchen? Ich hätte hier eben ohne skrupel weitergerechnet, da ich die beiden Variabeln als nicht von Interesse abgestempelt hatte.
Habs jetzt mit Derive nachgerechnet, dieser kommt auf das selbe Ergebnis und zwar bekommt er für l= u= 1/6 * (Wurzel(3) -3) heraus.
>
>
> Was hat es mit Deinen errechneten Punkten auf sich? Es sind
> Knickstellen, welche Du mit Lagrange überhaupt nicht
> untersuchst.
>
> Du hast nun 2) abgearbeitet.
>
> Punkt 3) ist ein Klacks.
>
> Nun mußt Du Dich über Punkt 1) hermachen. Ohne Lagrange,
> mit part. Ableitungen und ggf. Hessematrix - es sei denn,
> Du siehst ohne großartige Rechnung sofort, was
> herauskommt.
> Hierzu ist es nützlich, f ein wenig umzuformen:
> [mm]f(x,y)=x^2+(y-1)^2.[/mm]
>
> Danach dann Punkt 4)
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
lg
Zuggel
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> Definiere bitte etwas genauer "geknickt" - meinst du damit
> die Schnittpunkte der beiden Kreise, also die obere und
> untere Spitze?
Hallo,
ja, konkret die meinte ich hier.
Oder bei anderen Gebieten, wie bei Quadraten, die Ecken.
Die Stellen die nicht "glatt" sind, nimmt man gelegentlich mit Gewinn nochmal unter die Lupe.
> > > Das ganze mit Lagrange:
> > >
> > > x²+y²-2y+1 + l * ((x+1)² + y² - 4) + u * ((x-1)²+y²-4)
> > >
> > > Partielle Abelitungen (dx,dy,dl,du):
> > >
> > > dx: 2x*(1+l+u) + 2l + 2u = 0
> > > dy: 2y*(1+l+u) - 2 = 0
> > > dl: (x+1)²+y²-4 = 0
> > > du: (x-1)²+y²-4 = 0
> Habs jetzt mit Derive nachgerechnet, dieser kommt auf das
> selbe Ergebnis und zwar bekommt er für l= u= 1/6 *
> (Wurzel(3) -3) heraus.
Ja, ich hab' nun Deine partiellen Ableitungen nachgerechnet bzw. nachgeschaut.
Deine erste Ableitung stimmt nicht, und wenn Du sie richtig hast, löst sich das Problem in Wohlgefallen auf: dann bekommst Du Deine beiden Punkte und ein lösbares Gleichungssystem.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Do 08.05.2008 | | Autor: | Zuggel |
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> > Definiere bitte etwas genauer "geknickt" - meinst du damit
> > die Schnittpunkte der beiden Kreise, also die obere und
> > untere Spitze?
>
> Hallo,
>
> ja, konkret die meinte ich hier.
> Oder bei anderen Gebieten, wie bei Quadraten, die Ecken.
> Die Stellen die nicht "glatt" sind, nimmt man gelegentlich
> mit Gewinn nochmal unter die Lupe.
>
>
> > > > Das ganze mit Lagrange:
> > > >
> > > > x²+y²-2y+1 + l * ((x+1)² + y² - 4) + u * ((x-1)²+y²-4)
> > > >
> > > > Partielle Abelitungen (dx,dy,dl,du):
> > > >
> > > > dx: 2x*(1+l+u) + 2l + 2u = 0
> > > > dy: 2y*(1+l+u) - 2 = 0
> > > > dl: (x+1)²+y²-4 = 0
> > > > du: (x-1)²+y²-4 = 0
>
> > Habs jetzt mit Derive nachgerechnet, dieser kommt auf das
> > selbe Ergebnis und zwar bekommt er für l= u= 1/6 *
> > (Wurzel(3) -3) heraus.
>
> Ja, ich hab' nun Deine partiellen Ableitungen nachgerechnet
> bzw. nachgeschaut.
> Deine erste Ableitung stimmt nicht, und wenn Du sie
> richtig hast, löst sich das Problem in Wohlgefallen auf:
> dann bekommst Du Deine beiden Punkte und ein lösbares
> Gleichungssystem.
>
Ich habe gerade nachgeschaut, ich hatte auch mit (bei dx) 2l+2u gerechnet, habs nur falsch abgetippt, habe ich gemerkt.
Nun, um zurück zu kommen auf die Knicke, nehmen wir an wir haben ein Rechteck und unsere Funktion, das Rechteck ist definiert durch:
x= 1
y=2
Auf diesem Rechteck gilt es nun unsere Funktion zu untersuchen:
Für die Extremwerte auf der Fläche:
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] und [mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = 0 setzen und schauen ob sie im Gebiet enthalten sind.
(Kurze Frage an dieser Stelle, welches noch unser Beispiel betrifft. Nehmen wir an wir haben diese beiden Kreise und eine Funktion welche innerhalb dieser Kreismandel einen Extremwert hat, nehmen wir der Einfachheit halber den Punkt (1,1) her. Wie weiß ich, dass dieser Punkt noch innerhalb meiner beiden Kreise ligt?
Meine Vermutung für 1 Kreis: Einsetzen in die Kreisgleichung und schauen ob das Ergebnis kleiner als das Quadrat der Radiuses ist. Nur bei 2 Kreisen?! )
Dann das Untersuchen mit Lagrange würde so aussehen:
f(x,y) + [mm] \lambda [/mm] * (x-1) + [mm] \mu [/mm] * (y-2)
Stimmt das so? So untersuche ich jedoch nur die beiden nicht auf den Achsen x,y liegenden Strecken. Wie kann ich jetzt schauen, ob auf den beiden Rändern welche durch x,y definiert werden, auch Extremwerte liegen?
Und jetzt in den Knicken:
Setze ich einfach den Punkt in die Funktion ein und vergleiche das Ergebnis mit den anderen gefundenen Extremwerten?
Dankesehr
lg
Zuggel
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> nehmen wir an wir
> haben ein Rechteck und unsere Funktion, das Rechteck ist
> definiert durch:
>
> x= 1
> y=2
>
Hallo,
das ist kein Rechteck.
Das sind zwei Geraden, die im rechten Winkel verlaufen.
Ich nehme mal an, daß Du Dich für das Rechteck mit den Eckpunkten (0/0), (1/0), (0/2) und (1/2) interessierst.
> Auf diesem Rechteck gilt es nun unsere Funktion zu
> untersuchen:
>
> Für die Extremwerte auf der Fläche:
>
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] und [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = 0 setzen und schauen ob
> sie im Gebiet enthalten sind.
>
> (Kurze Frage an dieser Stelle, welches noch unser Beispiel
> betrifft. Nehmen wir an wir haben diese beiden Kreise und
> eine Funktion welche innerhalb dieser Kreismandel einen
> Extremwert hat, nehmen wir der Einfachheit halber den Punkt
> (1,1) her. Wie weiß ich, dass dieser Punkt noch innerhalb
> meiner beiden Kreise ligt?
> Meine Vermutung für 1 Kreis: Einsetzen in die
> Kreisgleichung und schauen ob das Ergebnis kleiner als das
> Quadrat der Radiuses ist. Nur bei 2 Kreisen?! )
Du schaust nach, der Punkt beide Kreisgleichungen erfüllt. Wenn ja, liegt er im Schnitt.
>
> Dann das Untersuchen mit Lagrange würde so aussehen:
>
> f(x,y) + [mm]\lambda[/mm] * (x-1) + [mm]\mu[/mm] * (y-2)
>
> Stimmt das so? So untersuche ich jedoch nur die beiden
> nicht auf den Achsen x,y liegenden Strecken.
So untersuchst Du die beiden entsprechenden Geraden (!), also x=1 und y=2.
Wenn Du hier interessante Punkte findest, mußt Du nachschauen, ob sie auf den Dich interessierenden Strecken liegen.
Du kannst dann so weitermachen, daß Du als nächstes die beiden Achsen untersuchst. Schau wieder nach, welche der errrechneten Punkte in den Abschnittenliegen, die Dich interesseren.
Zum Schluß schau dann noch die vier Schnittpunkte an, die Ecken des Rechteckes:
> Und jetzt in den Knicken:
>
> Setze ich einfach den Punkt in die Funktion ein und
> vergleiche das Ergebnis mit den anderen gefundenen
> Extremwerten?
Ja.
Gruß v. Angela
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