Gleichungssystem im Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Löse das folgende Gleichungssystem im Ring [mm] \IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ
[/mm]
[mm] x_1+[2]x_2+[3]x_3+[4]x_4= [/mm] [0]
[mm] x_2+x_3+x_4= [/mm] [3]
[mm] x_1+[3]x_2+[5]x_3+x_4= [/mm] [2]
[mm] x_1+[4]x_2+x_3+[2]x_4=[2] [/mm] |
Könnt ihr mir sagen beziehungsweise Tipps geben wie ich dieses Gleichungssystem berechnen kann? ich verstehe das mit dem Ring [mm] \IZ [/mm] / [mm] 6\IZ [/mm] nicht so richtig.
Wie muss ich hierbei vorgehen??
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 09.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Löse das folgende Gleichungssystem im Ring [mm]\IZ[/mm] / 6 [mm]\IZ[/mm]
>
> [mm]x_1+[2]x_2+[3]x_3+[4]x_4=[/mm] [0]
> [mm]x_2+x_3+x_4=[/mm] [3]
> [mm]x_1+[3]x_2+[5]x_3+x_4=[/mm] [2]
> [mm]x_1+[4]x_2+x_3+[2]x_4=[2][/mm]
> Könnt ihr mir sagen beziehungsweise Tipps geben wie ich
> dieses Gleichungssystem berechnen kann?
Ich wuerde es erstmal so versuchen zu loesen wie ein LGS ueber einem Koerper. Falls du an eine Stelle kommst, wo du durch eine Nicht-Einheit teilen musst, musst du etwas anders vorgehen.
Dann schaust du dir das LGS einmal modulo 2 und einmal modulo 3 an, und setzt das ganze mit dem chinesischen Restsatz wieder zusammen.
> ich verstehe das
> mit dem Ring [mm]\IZ[/mm] / [mm]6\IZ[/mm] nicht so richtig.
Was genau verstehst du denn da nicht so richtig? Du rechnest halt immer modulo 6. Und teilen tust du, in dem du das multiplikativ Inverse eines Elementes bestimmst. (Das geht hier am besten per Tabelle, die du schnell von Hand erstellen kannst. Den Euklidischen Algorithmus zu bemuehen ist hier etwas uebertrieben. Es gibt eh kaum Einheiten.)
LG Felix
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Das Problem ist, ich habe bisher nur LGS berechnet und bisher nie von Körpern! ich habe schon nach einem beispiel gesucht an dem ich mich orientieren kann und es verstehen kann.... denn damit komme ich leider überhaupt nicht zurecht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 09.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das Problem ist, ich habe bisher nur LGS berechnet und
> bisher nie von Körpern!
Doch doch, das hast du: du hst bisher immer über dem Köper [mm] $\IQ$ [/mm] oder über [mm] $\IR$ [/mm] gerechnet.
Da du hier einen Ring statt eines Körpers hast, kannst du ganz genauso addieren, subtrahieren und multiplizieren. Nur die Division geht nicht immer.
Zum Beispiel würde ich damit anfangen, die erste Zeile von der dritten und vierten abzuziehen. Dabei musst du nur die Rechenregeln im Ring [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] beachten, also alle Zahlen modulo 6 rechnen.
Z.B.: $[2]-[4]=[-2]=[4]$, da $-2+6=4$.
Wenn du also die erste Zeile von der dritten abziehst, hast du
[mm] x_2+[-2]x_3+[-3]x_4 = [2] \gdw x_2+[4]x_3+[3]x_4 = [2] [/mm] .
So machst du weiter, bis dein Gleichungssystem in Dreiecksform ist. In der letzten Zeile steht dann ja nur noch [mm] $x_4$. [/mm] Jetzt musst du durch den Vorfaktor von [mm] $x_4$ [/mm] teilen. Das geht aber nur dann, wenn der Vorfaktor eine Einheit ist. Im Ring [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] sind nur $[1]$ und $[5]$ Einheiten. $[5]*[5]=[25]=[1]$, daher ist die Division durch $[5]$ äquivalent zur Multiplikation mit $[5]$.
Du könntest natürlich auch einfach alle 6 Möglichkeiten für [mm] $x_4$ [/mm] durchprobieren. Im Allgemeinen ist das zu mühsam, deswegen Felix' Vorschlag, das Gleichungssystem einmal modulo 2 und einmal modulo 3 zu lösen (weil 2 und 3 Primzahlen sind, geht die Division immer) und das Ergebnis dann mit dem chinesischen Restsatz zu bestimmen.
Viele Grüße
Rainer
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Also muss ich quasi alle Zahlen "+6" rechnen oder nur die negativen? und nur die Zahlen in den Klammern oder auch die 1 vor z.B. der ersten gleichung [mm] x_1?
[/mm]
ich komme nicht auf deine umformungen wenn ich die erste von der dritten gleichung abziehe :(
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Also muss ich quasi alle Zahlen "+6" rechnen oder nur die
Es sind nur die negativen Zahlen der Addition von "+6" zu unterziehen.
> negativen? und nur die Zahlen in den Klammern oder auch die
> 1 vor z.B. der ersten gleichung [mm]x_1?[/mm]
>
> ich komme nicht auf deine umformungen wenn ich die erste
> von der dritten gleichung abziehe :(
>
Dann poste Deine bisherigen Umformungen.
>
> Mathegirl
>
Gruss
MathePower
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okay...dann komme ich auf die Basen:
(1,2,3,4,0)
(0,1,1,1,3)
(0,0,1,2,11)
(0,0,0,2,14)
Kann das stimmen?
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Hallo Mathegirl,
> okay...dann komme ich auf die Basen:
>
> (1,2,3,4,0)
> (0,1,1,1,3)
> (0,0,1,2,11)
> (0,0,0,2,14)
>
> Kann das stimmen?
Die letzte Zeile stimmt nicht:
[mm](0,0,0,\red{4},\red{4})[/mm]
Die 3. Zeile lautet modulo 6:
[mm](0,0,1,2,\blue{5})[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:29 Mo 10.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > (0,0,0,2,14)
> >
> > Kann das stimmen?
>
>
> Die letzte Zeile stimmt nicht:
>
> [mm](0,0,0,\red{4},\red{4})[/mm]
naja, $(0, 0, 0, 2, 14)$ und $(0, 0, 0, 4, 4)$ erzeugen den gleichen [mm] $\IZ/6\IZ$-Untermodul [/mm] von [mm] $(\IZ/6\IZ)^5$. [/mm] Insofern stimmt das schon.
Es ist allerdings kein freier Modul, insofern sollte man hier nicht von einer Basis sprechen. Der Vektor $(0, 0, 0, 4, 4)$ ist schliesslich linear abhaengig.
Der Loesungsraum umfasst uebrigens genau zwei Elemente.
LG Felix
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