Gleichungssystem aus Matrizen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich soll aus zwei Matrizen ein Gleichungssystenerstellen:
Also z.B. aus:
abc jkl
def mno
ghi pqr
Ist es so richtig?
a = j
b = k
l = c
d = m
e = n
f = o
g = p
h = q
i = r
Ich habe nämlich diverse Unbekannte und weiß beim besten Willen nicht, wie ich das jemals auflösen soll!!!
Ich frage, um sicher zu gehen, ob ich wenigstens damit richtig liege!
Vielen Dank!
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Hallo toxictype,
Um Mißverständnisse zu vermeiden schreib ich nochmal auf wie ich's verstanden habe.
[mm] \pmat{a & b& c\\ d&e&f\\g&h&i}=\pmat{j & k& l\\ m&n&o\\p&q&r}
[/mm]
Dann ist's so richtig.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo und danke für den Tipp!
Wenn ich das GS aus den beiden Matrizen erstelle, bekomme ich folgendes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe fast die ganze letzte Nacht damit verbracht wenigstens eine Unbekannte heraus zu bekommen! Negativ!
Könnt ihr mir eine kleine Hilfe geben?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Di 02.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
ich verstehe hier überhaupt nicht, was man hat und was man sucht. Und noch viel weniger sehe ich, wo deine Gleichungen jetzt herkommen. 2 Matrizen sind jedenfalls genau dann gleich, wenn alle entsprechenden Einträge gleich sind, und das würde 9 ganz einfache Gleichungen ergeben, über die man dann zunächst auch nicht mehr sagen kann.
Kann man das Ding so aufschreiben, daß die Buchstaben vorne aus dem Alphabet Parameter sind (beliebig, aber fest), und die gesuchten Größen mit x, y, z benamst werden?
Gruß aus HH-Harburg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Di 02.08.2005 | | Autor: | toxictype |
Ich habe das o.a. Gleichungssystem aus folgenden Matrizen erstellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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hallo toxic,
mal abgesehen davon, wo du die gleichungen her hast, kann man die schon relativ leicht auflösen.du suchst scheinbar irgendeine matrix, die mit einer anderen kommutiert, aber so ganz klar ist mir das auch nicht.
Also: die ersten beiden gleichungen ergeben leicht:
$3b +c =0$ sowie
$3b+2c=0$.
Siehst dus? $c$ muss also $0$ sein. es folgt auch $b=0$. Über $a$ kann man vorerst nix sagen, vermutlich bleibt es frei wählbar, also eine dimension des lösungsraumes. Mit diesen vorgaben würde icn mich jetzt an die mittleren drei gleichungen machen und weiter frickeln.
Viele Grüße
Matthias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Di 02.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
deinem Zusatz konnte ich nun entnehmen, dass du alle Matrizen [mm] $A=\pmat{a&b&c\\d&e&f\\g&h&i}$ [/mm] suchst, die mit der Matrix [mm] $B=\pmat{1&0&0\\3&4&0\\1&2&1}$ [/mm] kommutieren.
Dies hättest du ruhig irgendwo erwähnen können.
Jedenfalls sind dann deine Matrizen BA und AB richtig ausgerechnet und nun musst du komponentenweise vergleichen, wenn die Matrizen gleich sein sollen, d.h. du bekommst 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten.
Forme die Gleichungen noch um, so dass auf der rechten Seite immer 0 steht, dann musst du das homogene System lösen.
Zur Vereinfachung kannst du noch die Tricks anwenden, die hier schon erwähnt wurden - dann folgt b=c=f=0
(letzteres aus dem Vergleich an Position (2,3) und c=0 )
Also noch 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten lösen...
viel Spaß.
DaMenge
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Könnte letztendlich das hier heraus kommen:
1: 3b+c = 0
2: 3b+2c = 0
3: 0 = 0
4: 3a+3d-1f-3e = 0
5: 3b-2f = 0
6: 3c+3f = 0
7: 1a+2d-1i-3h = 0
8: 1b+2e-3h-2i = 0
9: 1c+2f = 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 02.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
ja, deine Umformungen sind soweit richtig. Aber warum machst du nicht gleich weiter, wie beschrieben?
Also wenn du das Teilssystem aus deinen ersten beiden Gleichungen löst, dann folgt eindeutig : b=0 und c=0
Dann folgt aus 5. oder 6. dass f=0
Diese drei Werte eingesetzt behält man das folgende Gleichungssystem über:
3a+3d-3e = 0
1a+2d-1i-3h = 0
2e-3h-2i = 0
Das entspricht dem System: [mm] $\pmat{3&3&-3&0&0\\1&2&0&-3&-1\\0&0&2&-3&-2}*\vektor{a\\d\\e\\h\\i}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Weißt du denn, wie man das jetzt löst?
Das ist natürlich unterbestimmt, d.h. du bekommst ein paar frei wählbare Parameter raus (d.h. der Lösungsraum ist höher-dimensional).
viele Grüße
DaMenge
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Ehrlich gesagt nein!
Ich bin der absolute Neuling auf dem Gebiet und muß mich komplett neu eindenken!
Dabei möchte ich euch erstmal danken! Durch euch wirde mir schnell einiges verständlicher!
Frage:
Reicht denn das jetzige GS für die unbekannten Matrixelemente nicht so aus wie es ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Di 02.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
dann solltest du dir mal den  Gauß-Algorithmus anschauen.
Das ganze ist auch nochmal ![[]](/images/popup.gif) HIER ganz gut erklärt.
An dem gegebenen Beispiel musst du nur die eine 1 unterhalb der Diagonale elemenieren, das machst du, indem du (2.Zeile minus [mm] $\bruch{1}{3}$*1.Zeile) [/mm] rechnest, dann ist die Matrix schon in oberer Dreiecksgestalt.
dann siehst du, dass in der letzten Zeile drei Einträge stehen, das heißt du kannst dir zwei beliebige Werte aussuchen und den dritten dann entsprechend anpassen, also : h=s und i=t beliebige Werte.
Dann kann man e jetzt aus der letzten Zeile eindeutig in Abhängigkeit von s und t schreiben.
Und weil die Matrix jetzt in Dreiecksgestalt ist, steht mit eine Zeile drüber nur höchstens eine Unbekannte mehr - alle anderen hast du schon berechnet (in Abhängigkeit von s und t) - also machst du dies auch mit der unbekannten in Zeile 2, und analog dann noch in Zeile 1.
Du erhälst dann einen Lösungsvektor, der so aussehen könnte
(ich habe es aber nicht berechnet, das sollst du ja machen)
a=3s+4t , d=2s , e=-t , h=s , i=t , also : [mm] $\vektor{3s+4t\\2s\\-t\\s\\t}=s*\vektor{3\\2\\0\\1\\0}+t*\vektor{4\\0\\-1\\0\\1}$
[/mm]
D.H dein Lösungsraum würde durch diese beiden Vektoren aufgespannt.
(und b=c=f=0 nicht vergessen)
Also hast du dann eine Vektormenge, die alle Lösungen repräsentieren.
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Mi 03.08.2005 | | Autor: | toxictype |
Hallo DaMenge,
der Link zum Gauß war anschaulich!
Ich habe ein paar Ansätze mit dem bestehenden GS gemacht, bekam aber nix dolles heraus! Vielen Dabk für Deine sehr ausführliche Beschreibung! Ich muß sie mir allerdings ein anderes Mal zu Gemüte führen.
Mein Kopf ist momentan voll!
Ich bin schon froh, dass ich nun weiß, wie ich von 2 Matrizen zu einem GS komme.
P.S.: Ich hoffe, es gibt nicht allzu viel Punkte für die Weiterberechnung! 
Danke!
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