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Hallo,
ich habe die zwei Punkte [mm] p=\vektor{8 \\ 1} [/mm] und [mm] q=\vektor{2 \\ 4} [/mm] gegeben und soll die Parameterdarstellung und die Gleichungsdarstellung für die durch p und q bestimmte Gerade angeben.
Für die Parameterdarstellung benutze ich die Zwei-Punkte-Form und bekomme heraus:
[mm] g:x=\vektor{8 \\ 1}+ \lambda \vektor{-6 \\ 3}
[/mm]
Das müsste eigentlich stimmen.
Was aber ist eine Gleichungsdarstellung? Wie stellt man die auf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Di 04.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die gleichungsdarstellung ist z,B y=mx+b
Gruss leduart
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Für das Aufstellen der Gleichungsdarstellung brauche ich aber erst die Parameterform oder?
Habe ich das richtig gemacht?:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{8 \\ 1}+\lambda\vektor{-6 \\ 3}
[/mm]
I. [mm] x=8-6\lambda
[/mm]
II. [mm] y=1+3\lambda
[/mm]
Gl.II. mit 2 multiplizieren, dan beide addieren ergibt:
[mm] x+2y=8+2-6\lambda+6\lambda
[/mm]
x+2y=10
[mm] y=-\bruch{1}{2}x+5
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für das Aufstellen der Gleichungsdarstellung brauche ich
> aber erst die Parameterform oder?
nein, BRAUCHEN tust Du sie nicht - aber sie ist verwendbar. Um das
folgende zu bewerten, mache ich gleich eine Dir altbekannte Alternative.
> Habe ich das richtig gemacht?:
>
> [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{8 \\ 1}+\lambda\vektor{-6 \\ 3}[/mm]
>
> I. [mm]x=8-6\lambda[/mm]
> II. [mm]y=1+3\lambda[/mm]
>
> Gl.II. mit 2 multiplizieren, dan dann beide addieren ergibt:
[Einschub: Du willst also [mm] $\lambda$ [/mm] eliminieren!]
>
> [mm]x+2y=8+2-6\lambda+6\lambda[/mm]
> x+2y=10
> [mm]y=-\bruch{1}{2}x+5[/mm]
Das sieht jedenfalls schonmal sehr gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber rechnen wir mal mit alternativen Wegen:
Nun, es war [mm] $P=(8,1)^T$ [/mm] und [mm] $Q=(2,4)^T\,.$ [/mm] Wir suchen nun (in der
Hoffnung, dass das eine Gerade ist, die nicht parallel zur [mm] $y\,$-Achse
[/mm]
liegt - aber diese Hoffnung läßt sich auch schnell durch Angucken der
Punkte bestätigen: Warum?) eine Geradengleichung
[mm] $$y=mx+b\,,$$
[/mm]
so dass der Graph der zugehörigen Funktion eben [mm] $P\,$ [/mm] und [mm] $Q\,$ [/mm] enthält.
1. Möglichkeit:
Weil [mm] $P=(8,1)^T$ [/mm] "auf dieser Geraden" liegen soll:
Es muss
$$1=m*8+b$$
gelten.
Weil [mm] $Q=(2,4)^T$ [/mm] "auf dieser Geraden" liegen soll:
Es muss
$$4=m*2+b$$
gelten.
Daraus folgt: [mm] $\ldots$ [/mm] (das kannst Du sicher zu Ende denken).
2. Möglichkeit: Weil [mm] $P=(8,1)^T=(x_1,y_1)^T$ [/mm] und [mm] $Q=(2,4)^T=(x_2,y_2)^T$ [/mm]
"auf dieser Geraden" liegen soll, berechnet sich in [mm] $y=m*x+b\,$ [/mm] die
Steigung [mm] $m\,$ [/mm] zu:
[mm] $$m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=(4-1)/(2-8)=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\,.$$ [/mm]
Weil [mm] $P=(8,1)^T$ [/mm] "auf dieser Geraden" liegen soll, folgt
[mm] $$1=-\frac{1}{2}*8+b \gdw b=5\,,$$
[/mm]
insgesamt erhält man
[mm] $$y=-\frac{1}{2}*x+5\,.$$
[/mm]
Und wenn Du ein wenig ![[]](/images/popup.gif) hier (klick me!)
herumstöberst, kommt vielleicht alt vergangenes wieder frisch ins
Gedächtnis zurück! 
P.S. Eine Gerade etwa der Form
[mm] $$\vektor{x\\y}=\vektor{x_0\\y_0}+\lambda*\vektor{0\\1}$$
[/mm]
kann man "nicht mehr als Geradengleichung $y=m*x+b$" schreiben:
1. Warum nicht? (Welche Eigenschaften haben Funktionen? Woraus wäre
das auch algebraisch zu vermuten, wenn man wie oben vorgehen wollte?)
2. Man schreibt eine solche Gerade einfach in der Form [mm] $x=x_0\,,$ [/mm] auch,
wenn das dann keine Funktion in [mm] $x\,$ [/mm] mehr sein kann. Was meint man
denn eigentlich damit? (Also: welche Punktemenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] soll
dadurch beschrieben werden?)
Tipp: Genaugenommen ist ja nicht [mm] $y=m*x+b\,$ [/mm] "eine Gerade", sondern
das ist eine Gleichung, die eine Gerade repräsentiert. Die zugehörige
Gerade des [mm] $\IR^2$ [/mm] wäre
[mm] $$\left\{\vektor{x\\y}:\;\;y=m*x+b\right\}\,,$$
[/mm]
und das wäre eben der Graph der Funktion
$f: [mm] \IR \to \IR \text{ mit }f(x)=m*x+b\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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