Gleichungen mit Sinus etc. < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Di 24.04.2007 | | Autor: | tes0r |
| Aufgabe | Für welche Winkel x im Intervall -180° [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 270° gelten folgende Gleichungen?
a) sin x = 0
b) sin x = 1/2
c) sin x = 1
d) sin x = -1
e) cos x = 1
f) tan x = [mm] \wurzel{3} [/mm] |
Hallo!
Hier mein "Problem" mit der Aufgabe: Ich habe sie so weit verstanden (ist ja auch nicht sooo schwer ;) ), jedoch weiß ich nicht, ob man sie nur durch Probieren oder auch mit einer konkreten Rechenweise lösen kann.
Gibt es einen Term oder Ähnliches, mit dem ich die richtigen Ergebnisse bekomme, ohne jeden einzelnen Winkel einzusetzen?
Vielen, vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 24.04.2007 | | Autor: | anitram |
hallo tesor!
ich hoffe deine frage richtig verstanden zu haben!
am einfachsten geht es so:
nimm für dein erstes beispiel den [mm] sin^{-1}(0) [/mm] (also die umkehrung vom sinus). dann bekommst du den gesuchten winkel!
nun musst du nur noch statt der 0
1/2, 1, -1 einsetzen
mit dem cos und tan geht es genau so!
ich hoffe das reicht dir als antwort!
lg anitram
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Di 24.04.2007 | | Autor: | tes0r |
| Aufgabe | Für welche Winkel x im Intervall -180° $ [mm] \le [/mm] $ x $ [mm] \le [/mm] $ 270° gelten folgende Gleichungen?
a) sin x = 0
b) sin x = 1/2
c) sin x = 1
d) sin x = -1
e) cos x = 1
f) tan x = $ [mm] \wurzel{3} [/mm] $ |
Mh, ich glaube wir sprechen gerade ein wenig aneinander vorbei (kommt mir zumindest so vor), aber trotzdem danke ich dir schon mal für deine schnelle Hilfe.
Also, die Sache ist die:
bei sin x = 0 muss ja ein Winkel zwischen -180° und 270° angegeben werden, der für x eingesetzt 0 ergibt. Laut meinem Lösungsbuch sind die Lösungen -180°, 0°, 180° richtig. Aber es ist ja ziemlich zeitaufwendig, jeden einzelnen Winkel zwischen -180° und 270° einzugeben und auszurechnen, bis irgendwann mal 0 rauskommt. Deswegen war meine Frage, ob man auch anders auf das richtige Ergebnis kommt.
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Hallo,
hier musst du mit der Periodizität der trigonometrischen Funktionen arbeiten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie du der Zeichnung entnehmen kannst, fängt bei jeder der Funktionen immer nach [mm] 2\pi [/mm] der Kurvenverlauf neu an.... [mm] 2\pi [/mm] ist also die Periode.
sin(x)=0 sind die Nullstellen der sinus-Fkt.
[mm] \gdw x=arcsin(0)\red{+k\pi} [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] sind alle Nullstellen
... jetzt noch das Intervall für k beschränken...
[mm] \gdw x=\red{k\pi} [/mm] und [mm] k\in\IZ [/mm] und [mm] k\in[-1;1] [/mm] sind die Nullstellen im gesuchten Intervall, also 3 an der Zahl einmal mit k=-1, mit k=0 und mit k=1
Bei [mm] sin(x)=\bruch{1}{2} [/mm] ist das etwas schwieriger, du hast ja in jedem "Berg" der sin-Fkt. 2 Stellen wo gilt [mm] sin(x)=\bruch{1}{2} [/mm]
Für die jeweils "linken" Stellen in den "Bergen" gilt:
[mm] \gdw x=arcsin(\bruch{1}{2})\red{+k\pi} [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] sind alle diese "linken Stellen"
... jetzt noch das Intervall für k beschränken...
Diese Stellen kommen in Perioden von [mm] 2\pi [/mm] vor...
[mm] \gdw x=\bruch{\pi}{6}\red{+k*2\pi} [/mm] mit k=0 ist die "linke Stelle" im fraglichen Intervall
[mm] \gdw x=\bruch{\pi}{6}
[/mm]
Für die "rechten Stellen" im Berg gilt
[mm] \gdw x=\red{k\pi}-\bruch{\pi}{6} [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] sind alle diese "rechten Stellen"
...Intervall für k enschränken
[mm] \gdw x=\red{k\pi}-\bruch{\pi}{6} [/mm] mit k=1 ist diese "rechte Stelle"
Stellen, wo gilt: sin(x)=1 kommen in [mm] 2\pi-Abständen [/mm] vor
[mm] \gdw x=arcsin(1)\red{+k*2\pi} [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] sind alle diese Stellen
... Intervall für k beschränken...
[mm] \gdw x=arcsin(1)\red{+k*2\pi} [/mm] mit k=0
[mm] \gdw \gdw x=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Stellen, wo gilt: sin(x)=-1 kommen in [mm] 2\pi-Abständen [/mm] vor
[mm] \gdw x=arcsin(-1)\red{+k*2\pi} [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] sind alle diese Stellen
... Intervall für k beschränken...
[mm] \gdw x=\bruch{-\pi}{2}\red{+k*2\pi} [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] und [mm] k\in[0;1] [/mm] sind diese 2 Stellen
Stellen wo cos(x)=1
[mm] \gdw x=arccos(1)\red{+k*2\pi} [/mm] sind all die Stellen...Intervall für k einschränken
[mm] \gdw x=0\red{+k*2\pi} [/mm] mit k=0
[mm] \gdw [/mm] x=0 ist die gesuchte Stelle
Stellen wo [mm] tan(x)=\wurzel{3} [/mm] kommen in [mm] \pi-Abständen [/mm] vor
[mm] \x=arctan(\wurzel{3})\red{+k\pi} [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] sind alle Stellen...Intervall für k beschränken
[mm] \x=arctan(\wurzel{3})\red{+k\pi} [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] und [mm] k\in[-1;1] [/mm] sind die 3 Stellen im gefragten Intervall.
Liebe Grüße
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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