Gleichungen lösen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Ich hab hier 2 Gleichungen zu lösen,weiß aber nicht ob das so richtig ist ???
1) [mm] z^{4}+8z^{2}+16=0
[/mm]
Substitution: [mm] x=z^{2} [/mm] --> [mm] x^{2}+8x+16=0 [/mm] x=-4
Wenn ich jetzt einsetze in [mm] x=z^{2} [/mm] geht das doch gar nicht,es gibt doch keine Zahl bei der,wenn sie quadriert wird, eine negative Zahl raus kommt.
Ist diese Aufgabe dann schon hier gelöst???
2) [mm] a^{3}=3a-2
[/mm]
Bei dieser hab schon viel "rumexperimentiert",aber wegen der -2 komm ich auf kein Ergebniss.
Vielleicht kann mir jemand nen Tipp wegen,wie ich da vorgehen könnte?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Die Aufgabe ist hier zu Ende. Denn in [mm] $\IR$ [/mm] gibt es keine Lösung.
Gruß
Loddar
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Hallo Mandy_90,
> Hallo^^
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> Ich hab hier 2 Gleichungen zu lösen,weiß aber nicht ob das
> so richtig ist ???
> 2) [mm]a^{3}=3a-2[/mm]
>
> Bei dieser hab schon viel "rumexperimentiert",aber wegen
> der -2 komm ich auf kein Ergebniss.
> Vielleicht kann mir jemand nen Tipp wegen,wie ich da
> vorgehen könnte?
Eine Lösung dieser Gleichung sieht man sofort: a=1.
Um die anderen Lösungen zu ermitteln, kannst Du dann eine Polynomdivision durchführen.
[mm]\left(a^{3}-3a+2\right):\left(a-1\right)= \dots [/mm]
Für das Lösen von quadratischen Polynomen sind die einschlägigen Lösungsformeln (PQ-Formel, ABC-Formel) ja bekannt.
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Stimmt ja,ich bergess jedes mal dass es noch die Polynomdivision gibt.
Aber irgendwie ist das ein bischen komisch bei dieser Aufgabe.
Also...
[mm] (a^{3}-3a+2):(a-1)=a^{2}
[/mm]
[mm] -a^{3}-a^{2}
[/mm]
[mm] 3a+a^{2}
[/mm]
wie soll ich denn hier weiterrechen,wodurch soll ich denn hier dividieren???
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Hallo Mandy_90,
> Stimmt ja,ich bergess jedes mal dass es noch die
> Polynomdivision gibt.
>
> Aber irgendwie ist das ein bischen komisch bei dieser
> Aufgabe.
> Also...
>
> [mm](a^{3}-3a+2):(a-1)=a^{2}[/mm]
> [mm]-a^{3}-a^{2}[/mm]
> [mm]3a+a^{2}[/mm]
>
>
> wie soll ich denn hier weiterrechen,wodurch soll ich denn
> hier dividieren???
Zunächst einmal mußt Du rechnen:
[mm](a^{3}-3a+2):(a-1)=a^{2}+ \dots[/mm]
[mm]-\red{\left(}a^{3}-a^{2}\red{\right)}[/mm]
[mm]=a^{2}\red{-}3a[/mm]
Jetzt schaust Du wie oft [mm]\left(a-1\right)[/mm] in [mm]\left(a^{2}-3a\right)[/mm] geht. Dann bleibt wieder ein Rest übrig.
Dieser Rest ist wiederum ohne Rest durch [mm]\left(a-1\right)[/mm] teilbar.
Dann hast Du das quadratisches Polynom, deren Lösungen noch zu ermitteln sind.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 So 10.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay ich hab dann [mm] a^{2}+a-2 [/mm] raus.Und wenn ich das mit der pq-Formel berechne komme ich auf [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=-2
[/mm]
Stimmt das jetztz so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 So 10.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Wenn Du schreibst [mm] $\red{a}_1 [/mm] \ = \ 1$ und [mm] $\red{a}_2 [/mm] \ = \ -2$ , stimmt es.
Und nicht die dritte Lösung mit $a _3 \ = \ 1$ vergessen ($a \ = \ 1$ ist also doppelte Nullstelle).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 10.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hab nochmal ne Frage,wie kommst du auf a=21???
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Hallo!
Loddar hat sich sicher nur verschrieben, er meinte dass
a = 1 eine doppelte Nullstelle ist (weil [mm] a_{1} [/mm] = 1 und [mm] a_{3} [/mm] = 1 als Lösungen der Gleichung herausgekommen sind).
Stefan.
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Zu Aufgabe 1) :
Die Variable z deutet darauf hin, dass es sich
um eine Gleichung im Bereich der komplexen
Zahlen handeln könnte (habt ihr die behandelt ?).
Dann gibt es durchaus Lösungen, nämlich
[mm] z_1=2*i [/mm] und [mm] z_2=-2*i [/mm] !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 10.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Danke für den Hinweis,aber die komplexen Zahlen hatten wir noch nicht.
Was ist das denn und warum gibt es dann doch 2 Lösungen?
Das würde mich jetzt echt interessieren.
lg
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Hallo Mandy,
die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen.
Die hat man "ausgetüftelt", um auch Gleichungen der Art [mm] $x^2+1=0$, [/mm] also [mm] $x^2=-1$ [/mm] lösen zu können.
In [mm] $\IR$ [/mm] hat diese Gleichung ja keine Lösungen ...
Man führt zusätzlich die sog. imaginäre Einheit $i$ (manchmal auch mit $j$ bezeichnet) ein, die die Eigenschaft [mm] $i^2=-1$ [/mm] hat, so dass die obige Gleichung [mm] $x^2=-1=i^2$ [/mm] doch Lösungen hat, nämlich [mm] $x_1=+i, x_2=-i$ [/mm]
Wenn du an genaueren Details zu den komplexen Zahlen interessiert bist, schaue doch mal ![[]](/images/popup.gif) hier oder hier nach ...
Für deine resubstituierte Gleichung aus Aufgabe 1 (ganz am Schluss) heißt das:
[mm] $x^2=-4=i^2\cdot{}4=2^2\cdot{}i^2=(2i)^2 [/mm] \ \ [mm] \mid\sqrt{...}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x_{1,2}=\pm 2\cdot{}i$
[/mm]
LG
schachuzipus
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