Gleichungen in Z/7Z < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Mo 08.11.2010 | | Autor: | void. |
| Aufgabe | Löse in Z/7Z die Gleichungen:
a)[2]x+[3] = [5]
c) x²+[5]x+6 = [0] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
für die a) wäre doch die Lösung [1] wenn ich das richtig verstanden hab.
da [2]*[1] + [3] mod7 = [5]
Das scheint mir aber zu leicht :o, und ob ich mit den Äq-Klassen wie mit normalen Zahlen rechnen kann bin ich mir au net sicher ...
wenn das für die a) geht wie beschrieben, dann kann ich bei der c) einfach die pq formel anwenden oder?
danke schonmal für antworten
|
|
| |
|
Hallo void, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Für Aufgabe a) ist [1] eine richtige Lösung. Kannst Du sicherstellen, dass es die einzige ist? (Was weißt Du dazu zu [mm] \IZ/7\IZ [/mm] ?)
Zu Aufgabe c) kannst Du zwar die pq-Formel anwenden, aber sowohl die Division als auch das Wurzelziehen sind in der Äquivalenzklassenrechnung nicht so selbstverständlich...
Dir fehlt da übrigens noch ein []-Klammernpaar um die [6].
Einfacher zu lösen ist vielleicht folgende Faktorisierung:
[mm] x^2+[5]x+[6]=(x+[2])(x+[3])=0
[/mm]
Das Quadrat schreibt man unter TeX übrigens so: x^2 ergibt [mm] x^2.
[/mm]
Wenn der Exponent mehr als ein Zeichen umfasst, müssen geschweifte Klammern drum: a^{-1} ergibt [mm] a^{-1}.
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mo 08.11.2010 | | Autor: | void. |
danke für die schnelle antwort.
hm mit [1] ist doch die Klasse von 1 gemeint, also {1,1 [mm] \pm [/mm] 7 ,1 [mm] \pm14 [/mm] ,....}.
Ansonsten wüsste ich net wie ich beweisen soll das [0],[2],[3],[4]...[7] die Gleichung nicht lösen. (Ausser einsezten....aber das müsste ich nicht hinschreiben oder?)
Außerdem is der Exp von x ja 1 [mm] \Rightarrow [/mm] nur eine Lsg?
zu b)
wäre jetz ohne pq formel net auf die lin faktoren gekommen :o
aber jetz kann man ja die klassen, die das lösen direkt ablesen mit [5] und [4].
Ich weiß aber net wie ich das hinschreiben soll .....das is bei mir nur eine Zeile pro aufg. ..sieht so mager aus im vergl zu andern aufgaben :D
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> hm mit [1] ist doch die Klasse von 1 gemeint, also $ [mm] \{1,1\pm7,1\pm14,....\} [/mm] $.
Ja, klar.
> Ansonsten wüsste ich net wie ich beweisen soll das
> [0],[2],[3],[4]...[7] die Gleichung nicht lösen. (Ausser
> einsezten....aber das müsste ich nicht hinschreiben
> oder?)
> Außerdem is der Exp von x ja 1 [mm]\Rightarrow[/mm] nur eine Lsg?
Das ist hier zwar wahr, liegt aber an einer besonderen Eigenschaft von [mm] \IZ/7\IZ, [/mm] die z.B. [mm] \IZ/6\IZ [/mm] nicht hat: die Multiplikation hat ein eindeutiges Inverses (natürlich außer der Multiplikation mit [0]). Darum ist die Division definierbar. Was weißt Du über Gruppen, Körper, Ringe etc.?
> zu b)
>
> wäre jetz ohne pq formel net auf die lin faktoren gekommen
> :o
ok, aber dann hilft ja leduarts Tipp auch weiter. Natürlich kannst Du auch erstmal "normal" rechnen, um die Faktorisierung zu finden, jedenfalls hier (gleicher Grund wie oben...).
> aber jetz kann man ja die klassen, die das lösen direkt
> ablesen mit [5] und [4].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich weiß aber net wie ich das hinschreiben soll .....das
> is bei mir nur eine Zeile pro aufg. ..sieht so mager aus im
> vergl zu andern aufgaben :D
Ist aber ok. Nicht jede Lösung muss lang sein.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mo 08.11.2010 | | Autor: | void. |
Danke für die Antworten.
> > Ansonsten wüsste ich net wie ich beweisen soll das
> > [0],[2],[3],[4]...[7] die Gleichung nicht lösen. (Ausser
> > einsezten....aber das müsste ich nicht hinschreiben
> > oder?)
> > Außerdem is der Exp von x ja 1 [mm]\Rightarrow[/mm] nur eine
> Lsg?
>
> Das ist hier zwar wahr, liegt aber an einer besonderen
> Eigenschaft von [mm]\IZ/7\IZ,[/mm] die z.B. [mm]\IZ/6\IZ[/mm] nicht hat: die
> Multiplikation hat ein eindeutiges Inverses (natürlich
> außer der Multiplikation mit [0]). Darum ist die Division
> definierbar. Was weißt Du über Gruppen, Körper, Ringe
> etc.?
aso....gar net dran gedacht danke^^ also nur weils ne primzahl is gibts immer nen inv el da Z/pZ wenn p prim ist nen körper bildet.
Schreib ich sicherheitshalber ma zur Lösung ..kann ja net schaden
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Mo 08.11.2010 | | Autor: | reverend |
Nö, schadet bestimmt nicht, ist nämlich für die Lösung der Aufgabe zwingend notwendig.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mo 08.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich schreib die Zahlen ohne die Klammern und alles gilt mod 7
also
a)[2]x+[3] = [5]
2*x+3=5 |+(-3) du addierst das additive Inverse von 3,
also 4 denn 3+4=0
2x+0=5+4
2x=2 [mm] |*2^{-1} [/mm] mit dem multiplikativen inversen von 2 mult
das ist 4, denn 2*4=8=1
also x=1
so bist du mit allem in Z7 geblieben
c) x²+[5]x+6 = [0]
[mm] x^2+5*x+6=0
[/mm]
quadratische Ergänzung:
[mm] x^2+2*(5*2^{-1})*x+(5*2^{-1})^2 -(5*2^{-1})^2+6=0
[/mm]
Nebenrechnung [mm] (5*2^{-1})=5*4=20=6=-1
[/mm]
[mm] (x-1)^2+5=0 [/mm] |+-5(=2)
[mm] (x-1)^2=2
[/mm]
gesucht Zahl mit [mm] a^2=2 [/mm] (a= [mm] \wurzel{2}) [/mm] zusehen [mm] 3^2=9=2 [/mm] und [mm] 4^2=16=2
[/mm]
also x-1=4 und x-1=3
daraus x=5 und x=4
du siehst, man rechnet wie mit "normalen Zahlen, nur statt "teilen“ eben mit dem inversen mult. statt subtrahieren das inverse addieren, (beides tut man ja auch normalerweise, nur sagt man durch 2 teilen, wenn man mit dem Inversen von 2 also 1/2 mult)
Du kannst mit den Inversen auch ne pq -Formel aufstellen. nur existieren nicht alle Wurzeln mod 7 etwa gibts keine Zahl a mit [mm] a^2=3
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
|
