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| Aufgabe | (a) Für welche z [mm] \in \IC [/mm] ist zz* - 3iz*= 1+ 3i ?
(b) Für welche z [mm] \in \IC [/mm] ist [mm] z^{2} [/mm] + |z| = 0 ?
(c) Für welche z [mm] \in \IC [/mm] ist zz* = 4 und [mm] |z+1+\wurzel{3}i| [/mm] = 4 ? Bestimmen Sie dies auf rechnerischem und auf zeichnerischem Weg. |
Hallo, ich mal wieder ^^
aller Anfang ist schwer, und jedes neue Thema auf der Uni für einen Erstsemester leider noch schwerer.
z* ist z konjugiert.
Also, was ich weiß:
(a) zz*= [mm] a^{2}+b^{2} [/mm] und z* = a-bi wenn z=a+bi
wir suchen also ein z = a+bi mit a,b [mm] \in \IR
[/mm]
wenn ich versuche, das z alleine auf eine seite zu bringen, stört mich beim weiterrechnen stets das z* auf der anderen Seite.
(b) [mm] |z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] , |z|>0 => [mm] z^{2}<0 [/mm] und [mm] |z^{2}|=|z|
[/mm]
(c) [mm] zz\*=a^{2}+b^{2} [/mm] a und b könnten also [mm] \wurzel{1} [/mm] und [mm] \wurzel{3} [/mm] oder [mm] \wurzel{2} [/mm] sein
[mm] |z+1+\wurzel{3}i| [/mm] = 4 sagt mir leider garnichts.
Danke im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 So 10.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> (a) Für welche z [mm]\in \IC[/mm] ist zz* - 3iz*= 1+ 3i ?
> (b) Für welche z [mm]\in \IC[/mm] ist [mm]z^{2}[/mm] + |z| = 0 ?
> (c) Für welche z [mm]\in \IC[/mm] ist zz* = 4 und
> [mm]|z+1+\wurzel{3}i|[/mm] = 4 ? Bestimmen Sie dies auf
> rechnerischem und auf zeichnerischem Weg.
> Hallo, ich mal wieder ^^
>
> aller Anfang ist schwer, und jedes neue Thema auf der Uni
> für einen Erstsemester leider noch schwerer.
>
> z* ist z konjugiert.
> Also, was ich weiß:
>
> (a) zz*= [mm]a^{2}+b^{2}[/mm] und z* = a-bi wenn z=a+bi
> wir suchen also ein z = a+bi mit a,b [mm]\in \IR[/mm]
Das ist ein guter Ansatz
>
> wenn ich versuche, das z alleine auf eine seite zu bringen,
> stört mich beim weiterrechnen stets das z* auf der anderen
> Seite.
[mm] z^{\star}=a-bi, [/mm] das hattest du doch schon.
Also bekommst du:
[mm] $z\cdot z^{\star} [/mm] - [mm] 3i\cdot z^{\star}= [/mm] 1+ 3i$
[mm] $\Leftrightarrow(a+bi)\cdot(a-bi)-3i\cdot(a-bi)=1+3i$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-3ai-b=1+3i$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}-b)-3ai=1+3i$
[/mm]
Mache nun den Koeffizientenvergleich im Realteil und im Imaginärteil
>
> (b) [mm]|z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] , |z|>0 => [mm]z^{2}<0[/mm] und
> [mm]|z^{2}|=|z|[/mm]
[mm] z^{2}+|z|=0
[/mm]
wird also zu:
[mm] (a^{2}+b^{2})+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0
[/mm]
Klammere nun links die Wurzel aus, und beachte den Satz des Nullproduktes.
>
> (c) [mm]zz\*=a^{2}+b^{2}[/mm] a und b könnten also [mm]\wurzel{1}[/mm] und
> [mm]\wurzel{3}[/mm] oder [mm]\wurzel{2}[/mm] sein
Oder viele andere Werte.
>
> [mm]|z+1+\wurzel{3}i|[/mm] = 4 sagt mir leider garnichts.
Das wird doch dann zu:
[mm] $|a+bi+\sqrt{3}i|=4$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow|a+(\sqrt{3}+b)i|=4$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\sqrt{a^{2}+((\sqrt{3}+b)i)^{2}}=4$
[/mm]
Das und die Gleichung [mm] a^2+b^{2}=4 [/mm] führen zu einem Gleichungssystem, das du nun lösen musst.
Marius
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> Also bekommst du:
> [mm]z\cdot z^{\star} - 3i\cdot z^{\star}= 1+ 3i[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow(a+bi)\cdot(a-bi)-3i\cdot(a-bi)=1+3i[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-3ai-b=1+3i[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}-b)-3ai=1+3i[/mm]
>
> Mache nun den Koeffizientenvergleich im Realteil und im
> Imaginärteil
Ich weiß nicht genau was du damit meinst, aber ich vermute mal:
[mm] \underbrace{a^{2}+b^{2}-b}_{=Realteil} \underbrace{-3ai}_{=Imaginärteil} [/mm] = 1+3i
=> (I) [mm] a^{2}+b^{2}-b=1
[/mm]
(II) -3a=3
aus (II) folgt a=-1
aus (1) mit a=-1 folgt b=1
somit wäre z=1+i
richtig so?
>Klammere nun links die Wurzel aus, und beachte den Satz des Nullproduktes.
[mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}} \cdot (\wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] + 1 ) = 0
meinst du das? weiß hier nicht weiter
>>
>> (c) a und b könnten also und
>> oder
>Oder viele andere Werte.
heißt das a, b [mm] \in [/mm] eines bestimmten Intervalls? Bspw. eine Kreisfläche als skizzierte Menge
>Das und die Gleichung führen zu einem Gleichungssystem, das du nun lösen musst.
ich hab's versucht aber komme auf nichts brauchbares, gleichsetzen führt zu
[mm] \Leftrightarrow\sqrt{a^{2}+((\sqrt{3}+b)i)^{2}}=a^{2}+b^{2}
[/mm]
nach einer variable auflösen und in die andere gleichung einsetzen wird noch komplizierter.
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> > Also bekommst du:
> > [mm]z\cdot z^{\star} - 3i\cdot z^{\star}= 1+ 3i[/mm]
> >
> > [mm]\Leftrightarrow(a+bi)\cdot(a-bi)-3i\cdot(a-bi)=1+3i[/mm]
> > [mm]\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-3ai-b=1+3i[/mm]
> >
> [mm]\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}-b)-3ai=1+3i[/mm]
> >
> > Mache nun den Koeffizientenvergleich im Realteil und im
> > Imaginärteil
>
> Ich weiß nicht genau was du damit meinst, aber ich vermute
> mal:
>
> [mm]\underbrace{a^{2}+b^{2}-b}_{=Realteil} \underbrace{-3ai}_{=Imaginärteil}[/mm]
> = 1+3i
>
> => (I) [mm]a^{2}+b^{2}-b=1[/mm]
> (II) -3a=3
> aus (II) folgt a=-1
> aus (1) mit a=-1 folgt b=1
> somit wäre z=1+i
>
> richtig so?
Wie berechnest du denn die Nullstelle von [mm] $b^2-b=0$ [/mm] ???
Ich schlage dir entweder die abc-Formel vor, oder den Satz vom Nullprodukt.
> >Klammere nun links die Wurzel aus, und beachte den Satz
> des Nullproduktes.
>
> [mm]\wurzel{a^{2}+b^{2}} \cdot (\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] + 1 ) =
> 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> meinst du das? weiß hier nicht weiter
>
> >>
> >> (c) a und b könnten also und
> >> oder
> >Oder viele andere Werte.
>
> heißt das a, b [mm]\in[/mm] eines bestimmten Intervalls? Bspw. eine
> Kreisfläche als skizzierte Menge
>
> >Das und die Gleichung führen zu einem Gleichungssystem,
> das du nun lösen musst.
>
> ich hab's versucht aber komme auf nichts brauchbares,
> gleichsetzen führt zu
>
> [mm]\Leftrightarrow\sqrt{a^{2}+((\sqrt{3}+b)i)^{2}}=a^{2}+b^{2}[/mm]
>
> nach einer variable auflösen und in die andere gleichung
> einsetzen wird noch komplizierter.
>
Eliminiere doch lieber eine Unbekannte anstatt die Zahl vier.
>
>
>
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> Wie berechnest du denn die Nullstelle von [mm]b^2-b=0[/mm] ???
>
> Ich schlage dir entweder die abc-Formel vor, oder den Satz
> vom Nullprodukt.
b=0 und b=1, hat doch vorher gepasst? aber wie ist das jetzt mit b=0? dann fällt doch der imaginäre teil weg?
> > >Klammere nun links die Wurzel aus, und beachte den Satz
> > des Nullproduktes.
> >
> > [mm]\wurzel{a^{2}+b^{2}} \cdot (\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] + 1 )
> =
> > 0
>
>
okay und was sagt mir das?
> > meinst du das? weiß hier nicht weiter
> >
> > >>
> > >> (c) a und b könnten also und
> > >> oder
> > >Oder viele andere Werte.
> >
> > heißt das a, b [mm]\in[/mm] eines bestimmten Intervalls? Bspw.
> eine
> > Kreisfläche als skizzierte Menge
> >
> > >Das und die Gleichung führen zu einem
> Gleichungssystem,
> > das du nun lösen musst.
> >
> > ich hab's versucht aber komme auf nichts brauchbares,
> > gleichsetzen führt zu
> >
> >
> [mm]\Leftrightarrow\sqrt{a^{2}+((\sqrt{3}+b)i)^{2}}=a^{2}+b^{2}[/mm]
> >
> > nach einer variable auflösen und in die andere
> gleichung
> > einsetzen wird noch komplizierter.
> >
>
> Eliminiere doch lieber eine Unbekannte anstatt die Zahl
> vier.
>
habe ich versucht, aber konnte nicht weiter umformen, um die unbekannten rauszufinden :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 So 10.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Wie berechnest du denn die Nullstelle von [mm]b^2-b=0[/mm] ???
> >
> > Ich schlage dir entweder die abc-Formel vor, oder den Satz
> > vom Nullprodukt.
>
> b=0 und b=1, hat doch vorher gepasst? aber wie ist das
> jetzt mit b=0? dann fällt doch der imaginäre teil weg?
>
> > > >Klammere nun links die Wurzel aus, und beachte den Satz
> > > des Nullproduktes.
> > >
> > > [mm]\wurzel{a^{2}+b^{2}} \cdot (\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
+ 1
> )
> > =
> > > 0
> >
> >
>
> okay und was sagt mir das?
(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0
$ \Leftrightarrow\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+1)=0 $
Also muss entweder \sqrt{a^{2}+b^{2}}=0, das passiert nur dann, wenn a=b=0 oder \sqrt{a^{2}+b^{2}}+1=0, also \sqrt{a^{2}+b^{2}}=-1
Nun wieder du.
>
> > > meinst du das? weiß hier nicht weiter
> > >
> > > >>
> > > >> (c) a und b könnten also und
> > > >> oder
> > > >Oder viele andere Werte.
> > >
> > > heißt das a, b [mm]\in[/mm] eines bestimmten Intervalls?
> Bspw.
> > eine
> > > Kreisfläche als skizzierte Menge
> > >
> > > >Das und die Gleichung führen zu einem
> > Gleichungssystem,
> > > das du nun lösen musst.
> > >
> > > ich hab's versucht aber komme auf nichts
> brauchbares,
> > > gleichsetzen führt zu
> > >
> > >
> >
> [mm]\Leftrightarrow\sqrt{a^{2}+((\sqrt{3}+b)i)^{2}}=a^{2}+b^{2}[/mm]
Fasse doch erstmal in der Wurzel noch zusammen
$ [mm] \sqrt{a^{2}+((\sqrt{3}+b)i)^{2}}=4 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow\sqrt{a^{2}-(\sqrt{3}+b)^{2}}=4 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow\sqrt{a^{2}-(3+2\sqrt{3}b+b^{2})}=4 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow\sqrt{a^{2}-3-2\sqrt{3}b-b^{2}}=4 [/mm] $
Außerden hattest du: $ [mm] a^2+b^{2}=4\Leftrightarrow a^{2}=4-b^{2} [/mm] $, damit wird
[mm] \sqrt{a^{2}-3-2\sqrt{3}b-b^{2}}=4
[/mm]
zu
[mm] \sqrt{4-b^{2}-3-2\sqrt{3}b-b^{2}}=4
[/mm]
Aus dieser Gleichung kannst du nun b berechnen.
> > >
> > > nach einer variable auflösen und in die andere
> > gleichung
> > > einsetzen wird noch komplizierter.
> > >
> >
> > Eliminiere doch lieber eine Unbekannte anstatt die Zahl
> > vier.
> >
> habe ich versucht, aber konnte nicht weiter umformen, um
> die unbekannten rauszufinden :/
Was hast du denn versucht? $ [mm] a^2+b^{2}=4\Leftrightarrow a^{2}=4-b^{2} [/mm] $ ist doch mit simpelsten Mitteln zu lösen.
Diese Umformungen sind Stoff der 7 Klasse evtl 8 Klasse, die musst du im Studium aber hinbekommen.
Marius
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da a und b nicht 0 sein dürfen muss ich wohl mit der zweiten gleichung weitermachen, wie löst man diese aber mit 2 variablen?
[mm] \sqrt{a^{2}+b^{2}}=-1 [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 So 10.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> da a und b nicht 0 sein dürfen
Warum sollte das nicht sein dürfen?
> muss ich wohl mit der
> zweiten gleichung weitermachen, wie löst man diese aber
> mit 2 variablen?
>
> [mm]\sqrt{a^{2}+b^{2}}=-1[/mm] ?
Überlege mal, ob diese Gleichung überhaupt lösbar ist. Dieses ist eine Gleichung in [mm] \IR
[/mm]
Marius
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ich dachte anfangs auch die wurzel aus einer zahl kann nicht -1 sein, aber was passiert wenn ich beide seiten der gleichung quadriere? dann hab ich a quadrat + b quadrat = 1 oder nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 So 10.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> ich dachte anfangs auch die wurzel aus einer zahl kann
> nicht -1 sein,
Das stimmt auch.
> aber was passiert wenn ich beide seiten der
> gleichung quadriere? dann hab ich a quadrat + b quadrat = 1
> oder nicht
Auch das stimmt, aaaaber das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, du musst nach dem Lösen der Gleichung zwangsläufig die Probe machen, da das Quadrieren Scheinlösungen hinzufügen kann. Und genau das ist hier der Fall.
Marius
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aahh alles klar.
also wieder zurück zu a=b=0,
was bedeutet das nun? z=0+0i?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 So 10.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> aahh alles klar.
>
> also wieder zurück zu a=b=0,
>
> was bedeutet das nun? z=0+0i?
Ja.
Marius
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also ist die gleichung für keine komplexe zahl erfüllt, ist die antwort?
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> also ist die gleichung für keine komplexe zahl erfüllt, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> ist die antwort?
Falls z=0+0*i die Lösung war, so ist die Gleichung
für diese eine komplexe Zahl, nämlich eben die Null,
erfüllt !
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> >
> > [mm]|z+1+\wurzel{3}i|[/mm] = 4 sagt mir leider garnichts.
>
> Das wird doch dann zu:
>
> [mm]|a+bi+\sqrt{3}i|=4[/mm]
wohin verschwindet eigentlich die +1 bei [mm] |z+1+\wurzel{3}i [/mm] | ??
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Hallo,
> > > [mm]|z+1+\wurzel{3}i|[/mm] = 4 sagt mir leider garnichts.
> >
> > Das wird doch dann zu:
> >
> > [mm]|a+bi+\sqrt{3}i|=4[/mm]
>
> wohin verschwindet eigentlich die +1 bei [mm]|z+1+\wurzel{3}i[/mm]
> | ??
Hast Recht. Die +1 hat Marius versehentlich "geschlabbert". Da wirst Du die Folgerechnung nochmal verändern müssen.
Grüße
reverend
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alles klar, dann steht ab dieser zeile
[mm] |a+bi+1+\wurzel^{3}i|=4
[/mm]
[mm] |a+(\wurzel{3}+b)i+1|=4
[/mm]
nun kann ich aber nicht mehr real- und imaginäranteil unterscheiden.
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Hallo barischtoteles,
> alles klar, dann steht ab dieser zeile
> [mm]|a+bi+1+\wurzel^{3}i|=4[/mm]
> [mm]|a+(\wurzel{3}+b)i+1|=4[/mm]
>
> nun kann ich aber nicht mehr real- und imaginäranteil
> unterscheiden.
Wieso nicht? 1 ist eine reelle Zahl, gehört also zum Realteil.
Also [mm] $Re(\cdots)=a+1,\quad Im(\cdots)=\wurzel{3}+b$.
[/mm]
Grüße
reverend
NB: Wieso stehen Deine Fragen zur Rechnung mit komplexen Zahlen eigentlich im Forum "Funktionentheorie"? Wenns dafür keinen besonderen Grund gibt, würde ich sie mal verschieben - oder ein anderer Moderator.
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war wohl ein versehen mit dem forum sorry!
somit wäre die erste Gleichung [mm] \wurzel{(a+1)^{2}+(\wurzel{3}+b)i)^{2}} [/mm] = 4
und die 2. [mm] a^{2}+b^{2}=4
[/mm]
oder?
nun bitte ich auch noch um ein wenig hilfe beim lösen des gleichungssystems, das war noch nie meine stärke
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Kommt nicht bei der a) nicht
$ [mm] \Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})-3ai+3b=1+3i [/mm] $
statt
$ [mm] \Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}-b)-3ai=1+3i [/mm] $
raus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 10.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kaffeemaschine,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Kommt nicht bei der a) nicht
> [mm]\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})-3ai+3b=1+3i[/mm]
> statt [mm]\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}-b)-3ai=1+3i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
raus?
Weder noch. Es entsteht nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen:
$\left(a^2+b^2 \ \red{-3}*b}\right)-3a*i \ = \ 1+3i$
Gruß
Loddar
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Vielen Dank für die schnelle Auskunft.
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Guten Abend !
> > (b) Für welche z [mm]\in \IC[/mm] ist [mm]z^{2}[/mm] + |z| = 0 ?
> > [mm]|z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] , |z|>0 => $\ [mm] z^{2}<0$ [/mm] und $\ [mm] |z^{2}|=|z|$
[/mm]
Wer verlangt denn hier, dass |z|>0 sein soll ?
(|z| = 0 nicht vergessen !)
> [mm]z^{2}+|z|=0[/mm] wird also zu:
> [mm](a^{2}+b^{2})+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0[/mm]
(diese Gleichung würde mit reellen a und b nur
erfüllt, wenn a=b=0 ... doch dieser Fall wurde ja
oben eigentlich schon durch die allerdings fälschliche
Voraussetzung |z|>0 ausgeschlossen)
Ich denke, das sollte heißen:
$\ [mm] z^{2}+|z|\ [/mm] =\ [mm] -\,|z^{2}|+|z|\ [/mm] =\ 0$
also $\ [mm] -\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\ [/mm] =\ 0$
> Klammere nun links die Wurzel aus, und beachte den Satz des
> Nullproduktes.
(... und da wären wir dann nochmal bei der Möglichkeit
mit |z|=0 ...)
Gruß , Al
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