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| Aufgabe | Es soll ein Gleichungssystem gelöst werden.
I. 0,9x+0,4y=x
II. 0,1x+0,6y=y |
Hallo allerseits,
im Grunde sieht das obige Gleichungssystem recht einfach aus, aber ich komme nicht auf die vorgegebene Lösung, die da lautet: x=0,8 und y=0,2.
Habe es mit dem Austauschverfahren versucht, kam da aber auf die Lösungen x=0,4 und y=1,6. Hab es sogar nochmal über Determinanten mit Cramer versucht, mit dem gleichen Ergebnis. Ich schätze mein Fehler in den Rechnungen war/ist, dass ich für die rechte Seite [mm] \underline{b} [/mm] jeweils den Wert 1, also [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{1\\ 1} [/mm] eingesetzt habe.
Kann mir jemand einen Hinweis geben, wo mein Fehler liegt?
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
Du musst doch erste in beiden Gleichungen beide Variablen jeweils zusammenfassen. Damit ergibt sich nämlich folgendes Gleichungssystem:
[mm] $$\begin{matrix}
I. & 0{,}9x+0{,}4y & = & x & | \ -x \\
II. & 0{,}1x+0{,}6y & =& y & | \ -y
\end{matrix}$$
[/mm]
[mm] $$\begin{matrix}
I. & -0{,}1x+0{,}4y & = & 0 & \\
II. & 0{,}1x-0{,}4y & =& 0 &
\end{matrix}$$
[/mm]
Allerdings komme ich damit auch nicht auf Deine Musterlösung ...
Gruß
Loddar
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Hallo loddar,
die Idee hatte ich am Anfang auch, also ganz einfach mit dem Additionsverfahren, allerdings stellt sich das Problem mit der Lösung.
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
Die Aufgabenstellung ist aber schon korrekt hier abgetippt?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 16.05.2010 | | Autor: | Hoffmann79 |
Ja, das Gleichungssystem ist korrekt, allerdings hängt da noch einiges dran und das wird wohl die Ursache sein.
Hier mal die komplette Aufgabe:
In einer Stadt gibt es eine Tageszeitung. 90% aller Zeitungskäufer kaufen die Zeitung auch am nächsten Tag. 40% der Nichtkäufer kaufen die Zeitung am nächsten Tag.
Am Tag 0 haben insgesamt 40% der Einwohner die Zeitung gekauft.
a) Wieviel Prozent der EW kaufen die Zeitung am Tag 2?
Mein Ansatz: [mm] x_{k}= [/mm] Zeitungsleser, [mm] y_{k}=1-x_{k} [/mm] = Nichtleser am Tag k
[mm] ->\pmat{ 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6}\vektor{x_{k }\\ y_{k}}=\vektor{x_{k+1} \\ y_{k+1}}
[/mm]
mit [mm] x_{0}=0,4-> [/mm] Tag 2: [mm] \pmat{ 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6}\pmat{ 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6}\vektor{0,4\\ 0,6}=\vektor{0,7\\ 0,3}, [/mm] dh. 70% lesen die Zeitung am Tag 2.
b) Für [mm] n->\infty [/mm] ergibt sich ein Gleichgewichtszustand zwischen Käufern und Nichtkäufern, der unabhängig von der Verteilung am Tag 0 ist. Wieviel Prozent der EW kaufen im Gleichgewichtszustand die Zeitung?
Für diese Aufgabe habe ich das Gleichungssystem aus meiner Ausgangsfrage aufgestellt. Ich ahne aber, dass es wohl auf eine Eigenwertaufgabe hinausläuft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Ja, das Gleichungssystem ist korrekt, allerdings hängt da
> noch einiges dran und das wird wohl die Ursache sein.
>
> Hier mal die komplette Aufgabe:
>
> In einer Stadt gibt es eine Tageszeitung. 90% aller
> Zeitungskäufer kaufen die Zeitung auch am nächsten Tag.
> 40% der Nichtkäufer kaufen die Zeitung am nächsten Tag.
> Am Tag 0 haben insgesamt 40% der Einwohner die Zeitung
> gekauft.
Daraus ergeben sich 36% Käufer für den ersten Tag (90% von 40%),
und von den 60% Nichtkäufern kaufen 40% am ersten Tag, das ergibt weitere 24% (40% von 60% sind 24%). Also hat man am ersten Tag (36+24)%=60% Käufer.
Zweiter Tag:
0,9*60%+0,4*40%= 70%
Gruß Abakus
>
> a) Wieviel Prozent der EW kaufen die Zeitung am Tag 2?
>
> Mein Ansatz: [mm]x_{k}=[/mm] Zeitungsleser, [mm]y_{k}=1-x_{k}[/mm] =
> Nichtleser am Tag k
>
> [mm]->\pmat{ 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6}\vektor{x_{k }\\ y_{k}}=\vektor{x_{k+1} \\ y_{k+1}}[/mm]
>
> mit [mm]x_{0}=0,4->[/mm] Tag 2: [mm]\pmat{ 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6}\pmat{ 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6}\vektor{0,4\\ 0,6}=\vektor{0,7\\ 0,3},[/mm]
> dh. 70% lesen die Zeitung am Tag 2.
>
> b) Für [mm]n->\infty[/mm] ergibt sich ein Gleichgewichtszustand
> zwischen Käufern und Nichtkäufern, der unabhängig von
> der Verteilung am Tag 0 ist. Wieviel Prozent der EW kaufen
> im Gleichgewichtszustand die Zeitung?
>
> Für diese Aufgabe habe ich das Gleichungssystem aus meiner
> Ausgangsfrage aufgestellt. Ich ahne aber, dass es wohl auf
> eine Eigenwertaufgabe hinausläuft.
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Hallo abakus,
die 70% hab ich ja mit meiner Lösung auch bekommen, steht ja im Text.
Interessant wäre die Aufgabe b) 
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> die 70% hab ich ja mit meiner Lösung auch bekommen, steht
> ja im Text.
>
> Interessant wäre die Aufgabe b)
>
> MfG
Sei [mm] k_n [/mm] der Käuferanteil am Tag n mit [mm] 0
Dann gilt [mm] k_{n+1}=0,9*k_n+0,4*(1-k_n).
[/mm]
Weise nach., dass diese Folge monoton und beschränkt ist, dann besitzt sie auch einen Grenzwert, der über den Ansatz [mm] k_{n+1}=k_n [/mm] ermittelt werden kann.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 18.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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