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Eigentlich habe ich diese Aufgaben schon einmal gerechnet, aber irgendwie komme ich diesmal nicht weiter.....:
(1) [mm] n^{2} [/mm] < [mm] 2^{n}
[/mm]
sowie
(2) [mm] 2^{n} [/mm] < n!
Man soll für beide Ungleichungen die Mengen [mm] \IN [/mm] angeben, für die sie wahr sind. Mit Beweis natürlich. Die Mengen habe ich, allerdings komme ich bei den Beweisen nicht weiter.... Soweit ich mich erinnern kann, ging es doch über vollst. Induktion, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 07.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Becks!
> Soweit ich mich erinnern kann, ging es doch über vollst. Induktion, oder?
(EDIT: Der Kram mit der Umkehrung war völliger Mist)
Ja, das ist richtig. Du beweist die Behauptungen über vollständige Induktion für alle n, die größer einer bestimmten Zahl sind. Dazu musst du erstmal die kleinstmögliche Induktionsverankerung finden und dann die Induktion nach Schema F durchführen.
Versuch's mal.
Liebe Grüße und Viel Erfolg,
Hanno
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Hmm, also für die (1) hätte ich gesagt:
Gilt für alle n > 0 (soweit 0 [mm] \in \IN), [/mm] somit:
I.A. f. n = 0 oder n = 1:
[mm] 1^{2} [/mm] = [mm] 2^{1}
[/mm]
I.S. n->n+1
[mm] (n+1)^{2} [/mm] < [mm] 2^{n+1}
[/mm]
Und dann? Hier stehe ich auf dem Schlauch. Und bei (2):
Gilt für alle n>3, n [mm] \in \IN
[/mm]
(...) n->n+1
[mm] 2^{n+1} [/mm] < (n+1)!
(...?...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 So 07.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Becks!
> $ [mm] (n+1)^{2} [/mm] $ < $ [mm] 2^{n+1} [/mm] $
Dies ist nicht der richtige Induktionsschritt. Meistens arbeitest du mit der schon bewiesenen Ungleichung weiter, oder aber du schreibst eine Seite auf und formst sie so lange um, bis du die Verankerung auf sie anwenden kannst. Das, was du geschrieben hast, ist das, was zu zeigen ist, also noch nicht bewiesen ist.
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Die Induktion ist ein wenig tückisch. Wie du leicht prüfen kannst, gilt die Behauptung für n=1, nicht aber für n=2,3,4 - erst ab n=5 gilt sie für alle folgenden, größeren n. Wieso das so ist, sieht man an der Induktion. Nehmen wir an, die Behauptung gelte für ein beliebiges n, es gilt also:
[mm] $n^2n<2^n$
[/mm]
Dann können wir einfach ein wenig umformen und erhalten:
[mm] $\gdw 2n^2<2^{n+1}$
[/mm]
Können wir nun zeigen, dass [mm] $2n^2>n^2+2n+1$, [/mm] so folgte die Behauptung durch [mm] $n^2+2n+1=(n+1)^2<2n^2<2^{n+1}$. [/mm] Wir formen die neue Behauptung um und erhalten:
[mm] $2n^2>n^2+2n+1$
[/mm]
[mm] $\gdw n^2>2n+1$
[/mm]
[mm] $\gdw n^2-2n+1>2$
[/mm]
[mm] $\gdw (n-1)^2>2$. [/mm] Diese Behauptung ist für alle [mm] $n\geq [/mm] 3$ korrekt.
Unser Induktionsschritt funktioniert also erst für [mm] $n\geq [/mm] 3$. Daher können wir die Verankerung nicht auf n=1 legen, sondern müssen bei n=5 beginnen. Damit ist nun bewiesen, dass die Behauptung für [mm] $n\geq [/mm] 5$ und für $n=0,1$ gilt.
Nun zur zweiten Behauptung:
[mm] $2^n
Die Verankerung finden wir, wiedu schon richtig gesagt hast, bei n=4. Im Induktionsschritt nehmen wir also an, dass die Behauptung für n gilt und führen den Induktionsschritt nun so, wie ich es oben als weitere Möglichkeit angedacht habe, wir schreiben also die eine Seite der Ungleichung für n+1 auf und formen sie so um, dass wir die Induktionsverankerung auf sie anwenden können:
[mm] $2^{n+1}=2^{n}\cdot [/mm] 2$
Wegen [mm] $2^{n}
[mm] $
Nun musst du den Schnitt beider Lösungsmengen bilden und bist fertig.
Liebe Grüße,
Hanno
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Erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich muss aber leider nochmal rückfragen....
Wieso gilt bei der (2) am Ende deines Beweises:
2n!<(n+1)!
Und bei der (1) : Woher kommt das zusätzlich n auf der linken Seite?
[mm] n^2n<2^n
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 So 07.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Becks!
> Wieso gilt bei der (2) am Ende deines Beweises:
> 2n!<(n+1)!
Dies ist eine Behauptung, die für alle n>1 gilt und sie führt zu dem gewünschten Term (n+1)!, welcher ja kleiner als [mm] $2^{n+1}$ [/mm] sein soll. Ich weiß nicht recht, was ich da noch zu sagen soll - lies es dir evt. nochmals durch.
> Und bei der (1) : Woher kommt das zusätzlich n auf der linken Seite?
> $ [mm] n^2n<2^n [/mm] $
Das n ist ein Tipfehler, tut mit leid. Es soll natürlich [mm] $n^2<2^n$ [/mm] heißen, was ja die Induktionsverankerung bedeutet.
Liebe Grüße,
Hanno
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Ok, das passt dann. Nochmal vielen Dank für die Hilfe!
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