Gleichung zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Mi 21.07.2010 | | Autor: | nooschi |
| Aufgabe | Es sei $g: [mm] [0,\infty)\times \IR\rightarrow\IR^2, (r,\phi)\mapsto(r\cos(\phi),r\sin(\phi))$, [/mm] $H:= [mm] (-\IR^+)\times\{0\}$ [/mm] Verifiziere:
Sind [mm]X[/mm] offen in [mm]\IR^2\backslash H[/mm] und [mm] $f\in C^2(X,\IR), [/mm] so gilt: [mm] $$(\Delta f)\circ g=\frac{\partial^2(f\circ g)}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial (f\circ g)}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 (f\circ g)}{\partial\phi^2}$$ [/mm] auf [mm] $g^{-1}(X)$ [/mm] |
Hallo zusammen.
Wir haben zu dieser Aufgabe Musterlösungen bekommen, nur verstehe ich die nicht so ganz. Es geht jetzt erstmal nur um die Umformung von [mm] $\frac{\partial^2(f\circ g)}{\partial r^2}$.
[/mm]
ich verwende eine etwas andere Notation, weil ich die besser verstehe: [mm] $D_1$ [/mm] ist bei mir die Ableitung nach der ersten Variablen, [mm] $D_2$ [/mm] die Ableitung nach der zweiten Variablen, [mm] e_i [/mm] der i-te Einheitsvektor. Meine Rechnung wäre dann (ich weiss, viel zu ausführlich, aber sonst kapier ichs nicht :D):
[mm] \frac{\partial^2(f\circ g)}{\partial r^2}(r,\phi)
[/mm]
[mm] =D_1D_1(f\circ g)(r,\phi)
[/mm]
[mm] =DD(f\circ g)(r,\phi)e_1e_1
[/mm]
[mm] =D(Df\circ g(r,\phi)\circ Dg(r,\phi))e_1e_1
[/mm]
[mm] =D(Df\circ g(r,\phi)\circ D_1g(r,\phi))e_1
[/mm]
[mm] =D(Df\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ \sin\phi})e_1
[/mm]
[mm] =D(Df\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ 0}+Df\circ g(r,\phi)\circ \vektor{0\\ \sin\phi})e_1
[/mm]
[mm] =D(\cos\phi\cdot D_1f\circ g(r,\phi)+\sin\phi\cdot D_2f\circ g(r,\phi))e_1
[/mm]
[mm] =\cos\phi\cdot D(D_1f\circ g)(r,\phi)e_1+\sin\phi\cdot D(D_2f\circ g)(r,\phi)e_1
[/mm]
[mm] =\cos\phi\cdot DD_1f\circ g(r,\phi)\circ Dg(r,\phi) e_1+\sin\phi\cdot DD_2f\circ g(r,\phi)\circ Dg(r,\phi)e_1
[/mm]
[mm] =\cos\phi\cdot DD_1f\circ g(r,\phi)\circ D_1g(r,\phi)+\sin\phi\cdot DD_2f\circ g(r,\phi)\circ D_1g(r,\phi)
[/mm]
[mm] =\cos\phi\cdot DD_1f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ \sin\phi}+\sin\phi\cdot DD_2f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ \sin\phi}
[/mm]
[mm] =\cos\phi\cdot DD_1f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ 0}+\cos\phi\cdot DD_1f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{0\\ \sin\phi}+\sin\phi\cdot DD_2f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ 0}+\sin\phi\cdot DD_2f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{0\\ \sin\phi}
[/mm]
[mm] =(\cos\phi)^2\cdot D_1D_1f\circ g(r,\phi)+\cos\phi\sin\phi\cdot D_2D_1f\circ g(r,\phi) +\cos\sin\phi\cdot D_1D_2f\circ g(r,\phi)+(\sin\phi)^2\cdot D_2D_2f\circ g(r,\phi)
[/mm]
[mm] =(\cos\phi)^2\cdot D_1D_1f\circ g(r,\phi)+2\cos\phi\sin\phi\cdot D_2D_1f\circ g(r,\phi) +(\sin\phi)^2\cdot D_2D_2f\circ g(r,\phi)
[/mm]
oke und jetzt muss hier irgendwo ein grober Denkfehler drin sein, weil in den Musterlösungen steht:
[mm] $\partial_r^2(f\circ g)=(\partial_x [/mm] ^2 [mm] f)\circ [/mm] g [mm] \cos^2\phi +(\partial_y [/mm] ^2 [mm] f)\circ [/mm] g [mm] \sin^2 \phi [/mm] + [mm] 2(\partial_x f)\circ g(\partial_y f)\circ [/mm] g [mm] \sin\phi\cos\phi$
[/mm]
und ich bin der Meinung, dass
[mm] $(\partial_x f)\circ g(\partial_y f)\circ [/mm] g [mm] \not= D_2D_1f\circ [/mm] g$
ich gebe zu, das ist ne lange hässliche Rechnung, aber vielleicht erbarmt sich ja trotzdem jemand meiner Dummheit ;)
edit: ääähm ja, ich bin auch noch zu doof das ganze im richtigen Forumsteil zu posten :D sry, weiss nicht wie ich das jetzt noch verschieben kann.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 21.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]g: [0,\infty)\times \IR\rightarrow\IR^2, (r,\phi)\mapsto(r\cos(\phi),r\sin(\phi))[/mm],
> [mm]H:= (-\IR^+)\times\{0\}[/mm] Verifiziere:
> Sind [mm]X[/mm] offen in [mm]\IR^2\backslash H[/mm] und [mm]$f\in C^2(X,\IR),[/mm] so
> gilt: [mm](\Delta f)\circ g=\frac{\partial^2(f\circ g)}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial (f\circ g)}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 (f\circ g)}{\partial\phi^2}[/mm]
> auf [mm]$g^{-1}(X)$[/mm]
> Hallo zusammen.
>
> Wir haben zu dieser Aufgabe Musterlösungen bekommen, nur
> verstehe ich die nicht so ganz. Es geht jetzt erstmal nur
> um die Umformung von [mm]\frac{\partial^2(f\circ g)}{\partial r^2}[/mm].
>
> ich verwende eine etwas andere Notation, weil ich die
> besser verstehe: [mm]D_1[/mm] ist bei mir die Ableitung nach der
> ersten Variablen, [mm]D_2[/mm] die Ableitung nach der zweiten
> Variablen, [mm]e_i[/mm] der i-te Einheitsvektor. Meine Rechnung
> wäre dann (ich weiss, viel zu ausführlich, aber sonst
> kapier ichs nicht :D):
> [mm]\frac{\partial^2(f\circ g)}{\partial r^2}(r,\phi)[/mm]
>
> [mm]=D_1D_1(f\circ g)(r,\phi)[/mm]
> [mm]=DD(f\circ g)(r,\phi)e_1e_1[/mm]
>
> [mm]=D(Df\circ g(r,\phi)\circ Dg(r,\phi))e_1e_1[/mm]
> [mm]=D(Df\circ g(r,\phi)\circ D_1g(r,\phi))e_1[/mm]
>
> [mm]=D(Df\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ \sin\phi})e_1[/mm]
>
> [mm]=D(Df\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ 0}+Df\circ g(r,\phi)\circ \vektor{0\\ \sin\phi})e_1[/mm]
>
> [mm]=D(\cos\phi\cdot D_1f\circ g(r,\phi)+\sin\phi\cdot D_2f\circ g(r,\phi))e_1[/mm]
>
> [mm]=\cos\phi\cdot D(D_1f\circ g)(r,\phi)e_1+\sin\phi\cdot D(D_2f\circ g)(r,\phi)e_1[/mm]
>
> [mm]=\cos\phi\cdot DD_1f\circ g(r,\phi)\circ Dg(r,\phi) e_1+\sin\phi\cdot DD_2f\circ g(r,\phi)\circ Dg(r,\phi)e_1[/mm]
>
> [mm]=\cos\phi\cdot DD_1f\circ g(r,\phi)\circ D_1g(r,\phi)+\sin\phi\cdot DD_2f\circ g(r,\phi)\circ D_1g(r,\phi)[/mm]
>
> [mm]=\cos\phi\cdot DD_1f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ \sin\phi}+\sin\phi\cdot DD_2f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ \sin\phi}[/mm]
>
> [mm]=\cos\phi\cdot DD_1f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ 0}+\cos\phi\cdot DD_1f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{0\\ \sin\phi}+\sin\phi\cdot DD_2f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{\cos\phi\\ 0}+\sin\phi\cdot DD_2f\circ g(r,\phi)\circ \vektor{0\\ \sin\phi}[/mm]
>
> [mm]=(\cos\phi)^2\cdot D_1D_1f\circ g(r,\phi)+\cos\phi\sin\phi\cdot D_2D_1f\circ g(r,\phi) +\cos\sin\phi\cdot D_1D_2f\circ g(r,\phi)+(\sin\phi)^2\cdot D_2D_2f\circ g(r,\phi)[/mm]
>
> [mm]=(\cos\phi)^2\cdot D_1D_1f\circ g(r,\phi)+2\cos\phi\sin\phi\cdot D_2D_1f\circ g(r,\phi) +(\sin\phi)^2\cdot D_2D_2f\circ g(r,\phi)[/mm]
Deine Notation verstehe ich nicht. Was ist $D$?
> oke und jetzt muss hier irgendwo ein grober Denkfehler drin
> sein, weil in den Musterlösungen steht:
> [mm]\partial_r^2(f\circ g)=(\partial_x ^2 f)\circ g \cos^2\phi +(\partial_y ^2 f)\circ g \sin^2 \phi + 2(\partial_x f)\circ g(\partial_y f)\circ g \sin\phi\cos\phi[/mm]
Das ist falsch. Im letzten Term steht ein Produkt zweier Ableitungen von f; das kann nicht sein. Es muss heißen
[mm]\partial_r^2(f\circ g)=(\partial_x ^2 f)\circ g \cos^2\phi +(\partial_y ^2 f)\circ g \sin^2 \phi + 2(\partial_x\partial_y f)\circ g \sin\phi\cos\phi[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Mi 21.07.2010 | | Autor: | nooschi |
vielen Dank! (was D und so sein soll, habe ich weiter oben geschrieben, aber ist egal, meine Lösung stimmt mit Deiner überrein. dann sind wohl die Musterlösungen nicht so ganz korrekt  )
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