Gleichung vielleicht taylorrei < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
seien [mm] b_{0},.....,b_{n} \in \IR [/mm] und sei c [mm] \in \IR [/mm] ne Lösung von f(x) = [mm] b_{n}x^{n} [/mm] + [mm] b_{n-1}x^{n-1} +......+b_{1}x [/mm] + [mm] b_{0} [/mm] = 0. Zeige, dass g(x)= [mm] e^{cx} [/mm] die Gleichung
[mm] b_{n}g^{(n)} [/mm] + [mm] b_{n-1}g^{(n-1)} [/mm] + .... + [mm] b_{1}g' [/mm] + [mm] b_{0}g [/mm] = 0 (1)
b)
ist c eine doppelte Nullstelle von f(x), so löst auch [mm] xe^{cx} [/mm] die Gleichung (1).
c)
ist c eine Nullstelle der Ordnung r, so lösen g(x) = [mm] x^{k}e^{cx} [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] r-1 die Gleichung (1). |
huhu
um ehrlich zu sein hab ich keine ahnung wie ich rangehen soll... in der Vorlesung nehmen (nahmen) wir grad die Taylorreihe durch, bin nicht sicher ob man die hier überhaupt anwenden soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi,
ich nehme mal an, dass dir bei f(x) am Schluß ein Tippfehler unterlaufen ist? [mm] a_1,a_0 [/mm] statt [mm] b_1,b_0 [/mm] ist doch nicht beabsichtigt, oder doch?
zur a) schreib dir doch mal die ersten paar Ableitungen von g(x) hin, dann siehst du wie es allgemein für [mm] g^{(n)} [/mm] aussieht. Dann bilde mal den Term, wie er bei (1) aussieht, dann müsstest du eigentlich schon was sehen (ausklammern).
LG walde
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okay ich hab erstmal ableitungen von g(x) gebildet:
[mm] g^{(1)} [/mm] = c [mm] \* e^{cx}
[/mm]
[mm] g^{(2)} [/mm] = c [mm] \* [/mm] c [mm] \* e^{cx}
[/mm]
.
.
.
[mm] g^{(n)} [/mm] = [mm] c^{n} \* e^{cx}
[/mm]
eingesetzt in (1):
[mm] b_{n}\*c^{n}\*e^{cx} [/mm] + ........ + [mm] b_{1}\*n\*e^{cx} [/mm] + [mm] b_{0}\*e^{cx}
[/mm]
[mm] g^{(1)}
[/mm]
dann hab ich [mm] e^{cx} [/mm] ausgeklammert:
[mm] e^{cx} \* (b_{n}\*c^{n} [/mm] + ...... + [mm] b_{1}\*n +b_{0}) [/mm] = 0
soweit sogut. [mm] e^{cx} [/mm] muss irgendwie 0 sein um die Gleichung zu lösen, oder die Klammer.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> okay ich hab erstmal ableitungen von g(x) gebildet:
>
>
> [mm]g^{(1)}[/mm] = c [mm]\* e^{cx}[/mm]
>
> [mm]g^{(2)}[/mm] = c [mm]\*[/mm] c [mm]\* e^{cx}[/mm]
> .
> .
> .
>
> [mm]g^{(n)}[/mm] = [mm]c^{n} \* e^{cx}[/mm]
>
>
> eingesetzt in (1):
>
> [mm]b_{n}\*c^{n}\*e^{cx}[/mm] + ........ + [mm]b_{1}\*n\*e^{cx}[/mm] +
> [mm]b_{0}\*e^{cx}[/mm]
> [mm]g^{(1)}[/mm]
> dann hab ich [mm]e^{cx}[/mm] ausgeklammert:
>
>
> [mm]e^{cx} \* (b_{n}\*c^{n}[/mm] + ...... + [mm]b_{1}\*n +b_{0})[/mm] = 0
>
> soweit sogut. [mm]e^{cx}[/mm] muss irgendwie 0 sein um die Gleichung
> zu lösen, oder die Klammer.
...... und da stets [mm]e^{cx} \ne 0[/mm] ist, muß die Klammer =0 sein ....
Bingo! Damit hast Du es doch. Siehst Du das nicht ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Di 17.01.2012 | | Autor: | Walde |
> okay ich hab erstmal ableitungen von g(x) gebildet:
>
>
> [mm]g^{(1)}[/mm] = c [mm]\* e^{cx}[/mm]
>
> [mm]g^{(2)}[/mm] = c [mm]\*[/mm] c [mm]\* e^{cx}[/mm]
> .
> .
> .
>
> [mm]g^{(n)}[/mm] = [mm]c^{n} \* e^{cx}[/mm]
>
>
> eingesetzt in (1):
>
> [mm]b_{n}\*c^{n}\*e^{cx}[/mm] + ........ + [mm]b_{1}\*n\*e^{cx}[/mm] +
> [mm]b_{0}\*e^{cx}[/mm]
Im vorletzten Glied hast du einen entscheidenden (Tipp-) Fehler...
> [mm]g^{(1)}[/mm]
> dann hab ich [mm]e^{cx}[/mm] ausgeklammert:
>
>
> [mm]e^{cx} \* (b_{n}\*c^{n}[/mm] + ...... + [mm]b_{1}\*n +b_{0})[/mm] = 0
>
> soweit sogut. [mm]e^{cx}[/mm] muss irgendwie 0 sein um die Gleichung
> zu lösen, oder die Klammer.
Dann die Vorraussetzung benutzen.
Lg walde
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okay dann zu b)
wie genau meinen die das mit "doppelte" Nullstelle ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
f hat in c eine doppelte Nullstelle [mm] \gdw [/mm] es ex. ein Polynom [mm] f_1 [/mm] mit:
[mm] f(x)=(x-c)^2f_1(x) [/mm] und [mm] f_1(c) \ne [/mm] 0
FRED
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prinzipiell ist das doch genauso wie bei a, also eingesetzt und ausgeklammert:
[mm] x\* e^{cx} \* (b_{n}\*c^{n} [/mm] + ..... + [mm] b_{1}\*c [/mm] + [mm] b_{0}) [/mm] = 0
wie krieg ich das auf deine Formel mit der [mm] (..)^{2} [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Di 17.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi,
> prinzipiell ist das doch genauso wie bei a, also eingesetzt
> und ausgeklammert:
>
>
> [mm]x\* e^{cx} \* (b_{n}\*c^{n}[/mm] + ..... + [mm]b_{1}\*c[/mm] + [mm]b_{0})[/mm] =
> 0
Vorsicht, deine Ableitungen sind falsch. Da kommt nicht einfach ein x dran, du brauchst doch die Produktregel beim Ableiten.
>
> wie krieg ich das auf deine Formel mit der [mm](..)^{2}[/mm] ?
LG walde
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ohh! so vieleicht? :
f(x) = [mm] xe^{cx}
[/mm]
[mm] f^{(1)} [/mm] = [mm] e^{cx} [/mm] + x [mm] e^{cx}
[/mm]
.
.
.
[mm] f^{(n)} [/mm] = [mm] e^{cx} \* [/mm] n + [mm] xe^{cx}
[/mm]
also n mal [mm] e^{cx} [/mm] addiert + [mm] xe^{cx} [/mm] ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Di 17.01.2012 | | Autor: | Walde |
> ohh! so vieleicht? :
>
> f(x) = [mm]xe^{cx}[/mm]
>
> [mm]f^{(1)}[/mm] = [mm]e^{cx}[/mm] + x [mm]e^{cx}[/mm]
Nicht ganz:
[mm] f^{(1)} =e^{cx}+x*\red{c}*e^{cx}
[/mm]
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argh...
k also n-te ableitung :
[mm] e^{cx} \* [/mm] n + [mm] c^{n} \* [/mm] x [mm] \* e^{cx}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Walde |
Morgen Evelyn,
> argh...
>
> k also n-te ableitung :
>
> [mm]e^{cx} \*[/mm] n + [mm]c^{n} \*[/mm] x [mm]\* e^{cx}[/mm]
Nein, tut mir leid, ist nicht richtig. Darfst nicht so hektisch sein.Du vergißt mal wieder ein c, beim Ableiten von [mm] e^{cx}.
[/mm]
[mm] g^{(2)}(x)=\red{c}*e^{cx}+c*(e^{cx}+x*c*e^{cx})=2c*e^{cx}+c^2*xe^{cx}
[/mm]
Du kannst auch erstmal ausklammern bevor du ableitest, dann siehst du es evtl. besser:
[mm] g'(x)=e^{cx}+x*c*e^{cx}=e^{cx}(1+xc)
[/mm]
[mm] g^{(2)}(x)=c*e^{cx}(1+xc)+c*e^{cx}=c*e^{cx}(2+xc)
[/mm]
Mach auch nochmal die 3.Ableitung, dann sieht man den "Trend".
Lg walde
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hey,^^
ich bin definitiv kein trendsetter^^
also so hab ichs dann oder?
[mm] g^{(3)} [/mm] = [mm] c^{2} \* e^{cx} \* [/mm] (3+cx)
[mm] g^{(n)} [/mm] = [mm] c^{n} \* e^{cx} \* [/mm] (n+cx)
ist das richtig? wie setzte ich es sinnvoll in meine Gleichung ein?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> hey,^^
>
> ich bin definitiv kein trendsetter^^
>
> also so hab ichs dann oder?
>
> [mm]g^{(3)}[/mm] = [mm]c^{2} \* e^{cx} \*[/mm] (3+cx)
>
> [mm]g^{(n)}[/mm] = [mm]c^{n} \* e^{cx} \*[/mm] (n+cx)
Nein.
Es ist
[mm]g^{(n)}[/mm] = [mm]c^{n-1} \* e^{cx} \*[/mm] (n+cx)
Beweise das mit Induktion.
FRED
>
>
> ist das richtig? wie setzte ich es sinnvoll in meine
> Gleichung ein?
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so in etwa:
I. A. n = 1:
g'(x) = [mm] c^{(1-1)} \* e^{cx} \* [/mm] (xc) = xc [mm] \* e^{cx}
[/mm]
IV: [mm] g^{(n)} [/mm] (x) = [mm] c^{(n-1)} \* [/mm] (n+xc) gelte für ein n [mm] \in \IN
[/mm]
I.S. z.z.
[mm] g^{(n+1)} [/mm] = [mm] c^{(n)} \* [/mm] (n+1+xc)
[mm] (g^{(n)})' [/mm] = [mm] ((c^{(n-1)})' \* [/mm] (n+1+xc)
mithilfe meiner IV:
[mm] (g^{(n)})' [/mm] = [mm] g^{(n)} \* e^{cx} \* [/mm] (n+cx)
[mm] (g^{(n)})' =(g^{(n)})'
[/mm]
ja passt, aber brauche ich diesen Inuktionsbeweis für die Aufgabe ?
oder sollte ich nur das nachweisen?
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oder dient es nur dem Beweis dieser algmeinen formel, die ich dann einsetzten muss in meine gleichung dir frage ist nur wie ich das klammere ;/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi,
also da sind einige Schusselfehler drin, wo du mal ein [mm] e^{cx} [/mm] vergisst usw.
Was die eigentlich Aufgabe angeht, kannst du benutzen, dass eine doppelte Nullstelle von f auch eine einfache für f' ist. Schreib dir mal aus, was das heißt. Dann bilde wieder den Term (1) mit den [mm] g^{(n)} [/mm] und Teile die Summe (nach ausklammern von [mm] e^{cx}) [/mm] geeignet auf, so dass du die beiden Vorraussetzungen benutzen kannst.
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 19.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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