Gleichung und Punktmenge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung [mm] (\underline{z}-1)²=i
[/mm]
Bestimmen Sie die Punktmenge M= [mm] (\underline{z}=a+jb\in\IC| |\underline{z}+i|²=2*Im{\underline(z)}+5 [/mm] ) |
Hallo,
ich bin so vorgegangen:
[mm] (\underline{z}-1)²=i
[/mm]
(a+ib-1)²=i
(a-1+ib)²=i
[mm] \underbrace{a-1}_{=Re}+\underbrace{ib}_{=Im}=\underbrace{\wurzel{i}}_{=Im}
[/mm]
a-1=0 [mm] \gdw [/mm] a=1
[mm] ib=\wurzel{i}
[/mm]
Das stimmt bestimmt so nicht.
Bei Punkt 2:
[mm] |\underline{z}+i|²=2*Im (\underline{z})+5
[/mm]
[mm] |x+ib+i|²=2*Im(\underline{z})+5
[/mm]
[mm] \wurzel{x²+((y+1)i)²}=2*yi+5
[/mm]
Wie sollte man hier weitermachen?
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Hallo Owen,
> Lösen Sie die Gleichung [mm](\underline{z}-1)²=i[/mm]
> Bestimmen Sie die Punktmenge M= [mm](\underline{z}=a+jb\in\IC| |\underline{z}+i|²=2*Im{\underline(z)}+5[/mm]
> )
> Hallo,
> ich bin so vorgegangen:
> [mm](\underline{z}-1)²=i[/mm]
> (a+ib-1)²=i
> (a-1+ib)²=i
>
> [mm]\underbrace{a-1}_{=Re}+\underbrace{ib}_{=Im}=\underbrace{\wurzel{i}}_{=Im}[/mm]
> a-1=0 [mm]\gdw[/mm] a=1
> [mm]ib=\wurzel{i}[/mm]
>
> Das stimmt bestimmt so nicht.
Leider stimmt das nicht.
>
> Bei Punkt 2:
> [mm]|\underline{z}+i|²=2*Im (\underline{z})+5[/mm]
>
> [mm]|x+ib+i|²=2*Im(\un uderline{z})+5[/mm]
> [mm]\wurzel{x²+((y+1)i)²}=2*yi+5[/mm]
>
> Wie sollte man hier weitermachen?
Für beide Aufgaben ist es besser, wenn die entsprechenden Gleichungen im quadrierten belassen werden. Hier Real- und Imaginärteil vergleichen und Lösungsmenge bestimmen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo MathePower,
ich weiß leider nicht ganz wie du das meinst. Soll ich das Ganze bei
(a-1+ib)²=i lassen? Wie soll ich denn dann weiter vorgehen? Und wo liegt der Fehler in meiner Vision?
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Hallo Eugen,
in deiner Version ist - abgesehen davon, dass du beim Ziehen der Wurzel eine der 2 Lösungen unterschlagen hast, die Schreibweise "kritisch"
Was ist denn [mm] $\sqrt{i}$ [/mm] (resp. [mm] $-\sqrt{i}$) [/mm] ?
Das musst du dir klarmachen!
Der Schluss $a-1=0$ und [mm] $ib=\sqrt{i}$ [/mm] ist falsch
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:03 So 08.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Schachuzipus,
also ich habe dann mal probiert die Wurzel zu ziehen, hoffentlich richtig:
[mm] (\underline{z}-1)²=i
[/mm]
[mm] |\underline{z}-1|=|i|=1 \Rightarrow \alpha=90°
[/mm]
[mm] \alpha_{0}=\bruch{\alpha}{2}=45°
[/mm]
[mm] \alpha_{1}=\bruch{\alpha}{2}+\bruch{360°}{2}=225°
[/mm]
[mm] \underline{w}_{0}=cos(45°)+i*sin(45°)=\wurzel{0,5}+\wurzel{0,5}i
[/mm]
[mm] \underline{w}_{1}=cos(225°)+i*sin(225°)=-\wurzel{0,5}-\wurzel{0,5}i
[/mm]
Nun addiere ich noch die 1 hinzu und bekomme dann:
[mm] \underline{z}_{0}=1+\wurzel{0,5}+\wurzel{0,5}i
[/mm]
[mm] \underline{z}_{1}=1-\wurzel{0,5}-\wurzel{0,5}i
[/mm]
Zu Punkt 2:
x²+(y+1)²=2y+5
x²+y²+2y+1=2y+5
x²+y²+1=5
x²+y²=4=2²
Das sieht mir nach einem Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius 2 aus. Ist das soweit alles korrekt? Ich hätte da noch eine kleine allgemeine Frage zur Bestimmung der Punktmenge. Wüsste ich von vornherein, dass es sich um einen Kreis handeln muss, so würde ich darauf hinarbeiten.Bei der Bestimmung der Punktmenge kommen jedoch sicherlich nicht immer nur Kreisformeln heraus. Gibt es da vielleicht einen Trick, wie man erkennt, wie die Punktmenge aussehen muss? Bzw. welche Formen oder Formeln stehen für was?
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Hallo nochmal zu später (oder früher?) Stunde 
> s.oben
> Hallo Schachuzipus,
> also ich habe dann mal probiert die Wurzel zu ziehen,
> hoffentlich richtig:
> [mm](\underline{z}-1)²=i[/mm]
> [mm]|\underline{z}-1|=|i|=1 \Rightarrow \alpha=90°[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\alpha_{0}=\bruch{\alpha}{2}=45°[/mm]
> [mm]\alpha_{1}=\bruch{\alpha}{2}+\bruch{360°}{2}=225°[/mm]
>
> [mm]\underline{w}_{0}=cos(45°)+i*sin(45°)=\wurzel{0,5}+\wurzel{0,5}i[/mm]
>
> [mm]\underline{w}_{1}=cos(225°)+i*sin(225°)=-\wurzel{0,5}-\wurzel{0,5}i[/mm]
>
> Nun addiere ich noch die 1 hinzu und bekomme dann:
> [mm]\underline{z}_{0}=1+\wurzel{0,5}+\wurzel{0,5}i[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> [mm]\underline{z}_{1}=1-\wurzel{0,5}-\wurzel{0,5}i[/mm]
sehr gut so!
>
> Zu Punkt 2:
> x²+(y+1)²=2y+5
> x²+y²+2y+1=2y+5
> x²+y²+1=5
> x²+y²=4=2²
>
> Das sieht mir nach einem Kreis mit dem Mittelpunkt im
> Ursprung und dem Radius 2 aus.
Mir auch
> Ist das soweit alles korrekt?
Ja, alles bestens, gut gemacht!
> Ich hätte da noch eine kleine allgemeine Frage zur
> Bestimmung der Punktmenge. Wüsste ich von vornherein, dass
> es sich um einen Kreis handeln muss, so würde ich darauf
> hinarbeiten.Bei der Bestimmung der Punktmenge kommen jedoch
> sicherlich nicht immer nur Kreisformeln heraus. Gibt es da
> vielleicht einen Trick, wie man erkennt, wie die Punktmenge
> aussehen muss? Bzw. welche Formen oder Formeln stehen für
> was?
Puh, ich habe dazu gerade ein paar Sachen in nem Funktionentheoriebuch gefunden, aber das kennt kein Mensch auswendig.
Wichtig zu merken und was du immer brauchst sind mMn zum einen
ein Kreis um [mm] $z_0\in\IC$ [/mm] mit Radius $r$: [mm] $K=\{z\in\IC\mid |z-z_0|=r\}$
[/mm]
bzw. die offene (abgeschlossene) Kreisscheibe um [mm] $z_0$ [/mm] mit Radius $r$: [mm] $KS=\{z\in\IC\mid |z-z_0|< (\le) r\}$
[/mm]
Zum anderen vllt. noch ein Kreisring: (hier mit Rändern)
[mm] $KR=\{z\in\IC\mid r\le |z-z_0|\le R\}$
[/mm]
Ansonsten würde ich sagen, dass du beim Berechnen solcher Punktmengen wie in der Aufgabe nicht jedes Binom direkt ausmultiplizieren solltest, sondern schauen, dass du durch die Anwendung von irgendwelchen Definitionen (Beträge o.ä.) dir ne Menge Arbeit sparen kannst.
Aber ein richtiges Patentrezept gibt's da meines Wissens nicht :(
Nun denn
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:50 So 08.06.2008 | | Autor: | Owen |
Achso, danke für die Info und gute Nacht 
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
