Gleichung umstellen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Einen schönen guten Morgen euch allen!!!!!!!!!
Mein Frage resultiert aus einer anderen Frage, welche ich versucht habe zu beantworten!
Er findet sich hier.
Diese Gleichung nach [mm] x [/mm] umgestellt, ergab bei mir folgendes:
[mm] x=\left( \bruch{a-b}{a+b} \right) [/mm]
Sowohl Loddar als auch Beule-M haben gepostet es handele sich um eine quadratische Gleichung, die somit zwei Lösungen hat.
Warum bin ich nicht auf diese qudartische Gleichung gestoßen?
Hier meine Umstellschrtitte:
[mm] x-\bruch{a+b}{a-b}=\bruch{a-b}{a+b}-\left \bruch{1}{x} \right [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \left \bruch{x*(a-b)}{(a-b)} \right-\left \bruch{a+b}{a-b} \right=\left \bruch{a-b}{a+b} \right-\left \bruch{1}{x} \right [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \left \bruch{x*(a-b)}{(a-b} \right-\left \bruch{a+b}{a-b} \right=\left \bruch{a-b}{a+b} \right-\left \bruch{1}{x} \right [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \left \bruch{x*(a-b)-(a+b)}{a-b} \right=\left \bruch{a-b}{a+b} \right-\left \bruch{1}{x} \right [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \left \bruch{x*(a-b)-(a+b)}{a-b} \right=\left \bruch{a-b}{a+b} \right-\left \bruch{(a+b)}{x*(a+b)} \right [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \left \bruch{x*(a-b)-(a+b)}{a-b} \right=\left \bruch{x*(a-b)}{x*(a+b)} \right-\left \bruch{(a+b)}{x*(a+b)} \right [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \left \bruch{x*(a-b)-(a+b)}{a-b} \right=\left \bruch{x*(a-b)-(a+b)}{x*(a+b)} \right [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \left \bruch{1}{a-b} \right=\left \bruch{1}{x*(a+b)} \right [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \left \bruch{x*(a+b)}{a-b} \right=1 [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] x*(a+b)=a-b [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] x=\left \bruch{a-b}{a+b} \right [/mm]
So, dass ist mein Ergebnis. Warum komme ich nicht auf eine quadratische Gleichung mit der Variablen [mm] x [/mm]?
Sucht doch bitte mal nach Fehlern.
Danke im Vorraus!!!!!!!!!!!!!!
Mit den besten Grüßen
Goldener_Sch.
|
|
| |
|
Hallo Loddar!!!!!!
Danke für deine Antwort!!!!!!!!!!!!
Also, für [mm] x [/mm] muss gelten
[mm] x\not=\left \bruch{a+b}{a-b} \right [/mm]
damit man nicht durch [mm] 0 [/mm] teilt!
Was aber hilft dies nun konkret, ich sehe, es entspricht der anderen Lösung der Gleichung. Aber warum und was hat das mit der Lösung zu tun?
Die ist doch ledigleich der Ausdruck durch den ich teilen wollte, oder?
Ausserdem dürfte ich doch nicht durch
[mm] x\cdot{}(a-b)-(a+b) \ = \ 0 [/mm]
teilen, wenn für [mm] x [/mm] gelten würde:
[mm] x=\left \bruch{a+b}{a-b} \right [/mm]
Somit entfällt doch diese zweite Lösung viel mehr, als das sie eine ist, oder????
Möchtest du mir vielleicht damit mitteilen, dass bei diesem Umstellen zur lösungsfindung eine Lösung, nämlich
[mm] x=\left \bruch{a+b}{a-b} \right [/mm]
unterschalgen werden muss, da man sonst durch [mm] 0[/mm] teilen müsste???????
Mit freundlichen Grüßen
Goldener_Sch.
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Danke für deine Antwort!!!!!!!!!!!!
> Also, für [mm]x[/mm] muss gelten
> [mm]x\not=\left \bruch{a+b}{a-b} \right[/mm]
> damit man nicht durch
> [mm]0[/mm] teilt!
> Was aber hilft dies nun konkret, ich sehe, es entspricht
> der anderen Lösung der Gleichung. Aber warum und was hat
> das mit der Lösung zu tun?
> Die ist doch ledigleich der Ausdruck durch den ich teilen
> wollte, oder?
> Ausserdem dürfte ich doch nicht durch
> [mm]x\cdot{}(a-b)-(a+b) \ = \ 0[/mm]
> teilen, wenn für [mm]x[/mm] gelten
> würde:
> [mm]x=\left \bruch{a+b}{a-b} \right[/mm]
> Somit entfällt doch diese
> zweite Lösung viel mehr, als das sie eine ist, oder????
>
>
> Möchtest du mir vielleicht damit mitteilen, dass bei diesem
> Umstellen zur lösungsfindung eine Lösung, nämlich
> [mm]x=\left \bruch{a+b}{a-b} \right[/mm]
> unterschalgen werden muss, da man sonst durch [mm]0[/mm] teilen
> müsste???????
Mmh - so könnte man es vielleicht sogar ausdrücken. 
Nehmen wir mal ein anderes Beispiel:
x(x-2)=x
Wenn du nun einfach mathematisch vorgehst und durch x teilst, erhältst du:
x-2=1 [mm] \gdw [/mm] x=3
Dies ist offensichtlich eine Lösung obiger Gleichung. Wenn du dir aber obige Gleichung nochmal genau anschaust, siehst du hoffentlich folgendes:
x=0 ist auch eine Lösung obiger Gleichung. Da du aber durch x geteilt hast und nicht durch 0 teilen darfst, hast du diese Lösung nicht beachtet. Oder anders formuliert: angenommen, x wäre 0, so hättest du nicht durch 0 teilen können und hättest einen anderen Lösungsweg finden müssen.
Kurz gesagt: Man muss im Prinzip eine Fallunterscheidung machen, wenn man durch einen Wert teilt, der evtl. 0 sein könnte. Wenn man nämlich durch ihn teilt, dann darf er nicht 0 sein. Da 0 aber trotzdem eine Lösung der Gleichung sein könnte, muss man eben genau dies noch extra untersuchen.
So, ich hab jetzt mal mehrmals das gleiche gesagt, allerdings mit anderen Worten. Hat dir irgendwas davon geholfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane!!!!!
Das heißt, meine Antwort war gar nicht so falsch, oder?
Ich fasse mal zusammen:
Man muss manchmal mehrere Lösungswege gehen, um alle Lösungen von Gleichungen, Identitäten, was auch immer, zu finden!
Stimmt das so?
Mit den besten Grüßen
Goldener_Sch.
|
|
|
| |
|
Hallo Goldener_Sch.!
> Das heißt, meine Antwort war gar nicht so falsch, oder?
Hatte ich nicht geschrieben, dass man es so formulieren könnte, wie du es getan hast? War nur nicht so ganz die mathematischste Art.
> Ich fasse mal zusammen:
> Man muss manchmal mehrere Lösungswege gehen, um alle
> Lösungen von Gleichungen, Identitäten, was auch immer, zu
> finden!
> Stimmt das so?
Nein, man muss nicht unbedingt. Wie gesagt, eine "Fallunterscheidung" würde genügen. In meinem Beispiel reicht es also, wenn du an der Stelle, an der du durch x teilst, daneben schreibst: "für [mm] x\not=0" [/mm] und direkt dazu aber auch noch schreibst, das x auch eine Lösung dieser Gleichung ist (wie du in diesem Fall direkt siehst).
Mir fällt jetzt leider kein anderes Beispiel mehr ein, wo es etwas versteckter ist, aber eigentlich muss man dann immer nur, wenn man durch x teilt, untersuchen, ob x=0 auch eine Lösung wäre.
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
Hallo Goldener_Sch.,
Warum rechnest du eigentlich "so umständlich"? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> Hier meine Umstellschrtitte:
> [mm]x-\bruch{a+b}{a-b}=\bruch{a-b}{a+b}-\left \bruch{1}{x} \right[/mm]
>
Als erstes würde ich die Gleichung nach "mit" oder "ohne" x sortieren:
$x + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{a+b}{a-b} [/mm] + [mm] \bruch{a-b}{a+b}$
[/mm]
$x + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{(a+b)^2+ (a-b)^2}{(a+b)(a-b)}$
[/mm]
[mm] $\bruch{x^2+1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{2 a^2 + 2b^2}{a^2-b^2}$
[/mm]
Da von Anfang an x im Nenner stand, gilt wohl stillschweigend: $x [mm] \ne [/mm] 0$ und man kann damit die ganze Gleichung multiplizieren:
[mm] $x^2+1 [/mm] = [mm] \bruch{2 a^2 + 2b^2}{a^2-b^2}*x$
[/mm]
[mm] $x^2 [/mm] - [mm] \bruch{2 a^2 + 2b^2}{a^2-b^2}*x [/mm] +1 =0$ ist offenbar eine quadratische Gleichung, oder?
Hierauf kann man jetzt die  p-q-Formel anwenden...
mit $p = - [mm] \bruch{2 a^2 + 2b^2}{a^2-b^2}$ [/mm] und q = 1.
Probier's mal!
|
|
|
|
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Aber ...
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
??
