Gleichung nach r auflösen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Sa 24.12.2005 | | Autor: | m66-99 |
| Aufgabe | V = [mm] \bruch{r^2bhl}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r^3bhc}{3s^3} [/mm]
=> r = ...
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Ich zerbreche mir schon seit Tagen den Kopf wie ich obige Formel nach r auflösen kann
(r = ...)
Kann mir jemand helfen? Herzlichen Dank dafür!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 So 25.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo m66-99,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") und Frohes Fest!
Ich halte diese Gleichung nicht für geschlossen nach $r_$ auflösbar. Da musst Du wohl doch auf numerische (Näherungs-)Verfahren zurückgreifen.
Wofür bzw. in welchem Zusammenhang benötigst Du denn diese Formel / Umstellung?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 So 25.12.2005 | | Autor: | m66-99 |
| Aufgabe | Die Größen V, b, c, h, l und s sind gegeben, so daß sich im Prinzip die Gleichung
V = [mm] \bruch{r^2bhl}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r^3bhc}{3s^3} [/mm]
auch so formulieren liesse:
V = ar² - br³
=> r = ... |
Recht schönen Dank für die Antwort; wünsche ebenfalls schöne Feiertage!
Es handelt sich hier um das Volumen des in dem Anhang skizzierten Körpers, welches ich hoffe richtig ausgerechnet zu haben.(?) Die Skizze habe ich zur Ergänzung noch hochgeladen. Der besseren Schreibweise wegen habe ich in der Formel "s1" durch "r" ersetzt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die eigentliche Aufgabe lautete:
"Wie lang ist die an der Schräge liegende Strecke s1 bei gegebenem Volumen?"
Die Größen b, c, h, l und s sind ebenfalls gegeben, so daß sich im Prinzip die Gleichung auch so formulieren liesse:
V = ar² - br³
wobei a und b Konstanten sind.
Bezugnehmend auf Deine Antwort wird das wohl eine Auflösung aber auch nicht ermöglichen???
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 25.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
also ob die Formel stimmt habe ich jetzt mal nicht nachgerechnet, aber im Gegensatz zu Loddar halte ich die Gleichung durchaus für auflösbar - ist doch eine einfache kubische Gleichung in r (oder habe ich noch was übersehen???), und für die gibt's mit den ![[]](/images/popup.gif) Cardanischen Formeln auch eine allgemeine Lösungsmethode (auch wenn das Ergebnis möglicherweise nicht sehr ansprechend wird...)
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 25.12.2005 | | Autor: | m66-99 |
| Aufgabe | V = [mm] \bruch{r^2bhl}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r^3bhc}{3s^3}
[/mm]
=> r = ... |
Ach dü grüne Neune! Hilfe!!! Habe die Cardanischen Formeln wie angegeben auf Wikipedia nachgesehen, aber das geht über meine mathematischen Fähigkeiten. <ärger>
Kann mir dabei jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 25.12.2005 | | Autor: | m66-99 |
| Aufgabe | Folgende Volumengleichung eines geometrischen Körpers liegt vor:
V = [mm] \bruch{r^2bhl}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r^3bhc}{3s^3}
[/mm]
r entspricht der Schräge s1 in der weiter oben eingefügten Skizze. Wie muss die Formel umgewandelt werden, damit die Schräge s1 (= r) sich in Abhängigkeit vom Volumen ausdrücken lässt. Alle anderen Größen b, c, h, l und s sind als feststehende Werte gegeben.
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Hallo,
Recht schönen Dank für die Antwort!
Ich habe aber leider keine Ahnung wie man eine solche Polynomberechnung durchführt. Ich weiss auch gar nicht ob das überhaupt zum Ziel führt. Die Frage ist ja gewesen
"Wie lang ist die an der Schräge liegende Strecke s1 bei gegebenem Volumen?"
Die Frage ist ja nicht wie die Kurve von V = [mm] \bruch{r^2bhl}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{r^3bhc}{3s^3} [/mm] aussieht oder wo die Nullpunkte der Kurve liegen, wann also das Volumen 0 ist.
Es soll die Gleichung nach "r = " (entspricht s1) aufgelöst werden, damit sich die Schräge in Abhängigkeit vom Volumen ausdrücken lässt.
Ich habe leider seit 25 Jahren keine Analysis Berechnungen mehr durchgeführt und mein Kenntnisstand reicht nicht so weit, diese komplizierten Formeln umzuwandeln, so daß sie passen. Ich glaube allerdings ich wäre damals an dieser Aufgabe auch verzweifelt.
Kann mir niemand die Formel nach r auflösen?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Arkus |
Hallo!
Also ich weiß zwar nicht, ob meine Lösung die richtige bzw. geeigneteste ist, aber ich habe es mir folgendermaßen überlegt:
Die Formel lautet:
$V = [mm] \frac{r^2 \cdot b \cdot h \cdot l}{s^2} [/mm] - [mm] \frac{r^3 \cdot b \cdot h \cdot c}{3 \cdot s^3}$
[/mm]
Da r in beiden Summanden ein Faktor ist, ersetze ich die übrigen Variablen, wie du auch schon, zu:
$V = [mm] r^2 \cdot \left ( \frac{b \cdot h \cdot l}{s^2} \right [/mm] ) - [mm] r^3 \cdot \left ( \frac{b \cdot h \cdot c}{3 \cdot s^3} \right [/mm] )$ [mm] $\rightarrow$ [/mm] $V = [mm] r^2 \cdot [/mm] p - [mm] r^3 \cdot [/mm] q$
Ich klammere nun [mm] $r^2$ [/mm] aus:
$V = [mm] r^2 \cdot [/mm] (p-r [mm] \cdot [/mm] q)$
Erster Faktor liefet die beiden Lösungen:
[mm] $r_{1/_{2}} [/mm] = [mm] \pm \sqrt{V}$
[/mm]
Zweiter Faktor liefert die Lösung:
$V = p - [mm] r_3 \cdot [/mm] q$
[mm] $r_3 \cdot [/mm] q + V = p$
[mm] $r_3 [/mm] = [mm] \frac{p-V}{q}$
[/mm]
Nun müsste man halt nur noch wieder p und q resubstituieren und abwägen welche der 3 Lösungen richtig ist.
MfG Arktus
Bermerkung. Ich bin allerdings grad am Überlegen, ob meine Idee, in diesem Fall gültig ist, darum bin ich mir nicht ganz sicher. Ist halt bloß ne Idee ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mo 26.12.2005 | | Autor: | m66-99 |
| Aufgabe | [mm]V = r^2 \cdot (p-r \cdot q)[/mm]
Erster Faktor liefet die beiden Lösungen:
[mm]r_{1/_{2}} = \pm \sqrt{V}[/mm] |
Herzlichen Dank für die Antwort. Ich verstehe aber leider den unten mit blauer Bemerkung unterbrochenenen Schritt nicht. Könnte man mir den Schritt erklären? Siehe unten in blau. Danke!!
> Hallo!
>
> Also ich weiß zwar nicht, ob meine Lösung die richtige bzw.
> geeigneteste ist, aber ich habe es mir folgendermaßen
> überlegt:
>
> Die Formel lautet:
>
> [mm]V = \frac{r^2 \cdot b \cdot h \cdot l}{s^2} - \frac{r^3 \cdot b \cdot h \cdot c}{3 \cdot s^3}[/mm]
>
> Da r in beiden Summanden ein Faktor ist, ersetze ich die
> übrigen Variablen, wie du auch schon, zu:
>
> [mm]V = r^2 \cdot \left ( \frac{b \cdot h \cdot l}{s^2} \right ) - r^3 \cdot \left ( \frac{b \cdot h \cdot c}{3 \cdot s^3} \right )[/mm]
> [mm]\rightarrow[/mm] [mm]V = r^2 \cdot p - r^3 \cdot q[/mm]
>
> Ich klammere nun [mm]r^2[/mm] aus:
>
> [mm]V = r^2 \cdot (p-r \cdot q)[/mm]
>
> Erster Faktor liefet die beiden Lösungen:
------------------------------------------------------------------------------
Hier komme ich leider nicht mehr mit; um auf die nächste Zeile zu kommen müsste doch da stehen r²=V, oder?? Wenn ich obige Gleichung auflöse gibt das folgendes: ??
[mm] r^{2}= \bruch{V}{(p-r*q)}
[/mm]
------------------------------------------------------------------------------
> [mm]r_{1/_{2}} = \pm \sqrt{V}[/mm]
>
> Zweiter Faktor liefert die Lösung:
>
> [mm]V = p - r_3 \cdot q[/mm]
> [mm]r_3 \cdot q + V = p[/mm]
> [mm]r_3 = \frac{p-V}{q}[/mm]
>
> Nun müsste man halt nur noch wieder p und q resubstituieren
> und abwägen welche der 3 Lösungen richtig ist.
>
> MfG Arktus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Arkus |
Ganz einfach:
Wenn du die Nullstellen einer Funktion berechnen willst, die aus einem Produkt aus 2 Faktoren besteht, dann kannst du jeden Faktor Null setzen und für sich betrachten.
Bsp.:
[mm] $f(x)=e^x \cdot x^2$
[/mm]
Die Funktion ist ein Produkt aus [mm] $e^x$ [/mm] und [mm] $x^2$.
[/mm]
Um die Nullstellen zu bestimmen, setzt du die gesamte Funktion 0:
[mm] $0=e^x \cdot x^2$
[/mm]
Nun betrachtest du jeden Faktor einzeln:
einmal [mm] $0=e^x$ [/mm] und [mm] $0=x^2$, [/mm] wenn du nun weiterrechnest, erhälst du:
[mm] $x_1=\ln{0}$ [/mm] was, aber nicht definiert ist und deshalb einen falsche Aussage und
[mm] $x_2_{/_3}= \pm \sqrt{0}$, [/mm] was wiederum eine Doppelnullstelle ist.
Wenn du diese Funktion zeichnen würdest oder mit PC zeichnen lässt, jenachdem, erhälst du einen Schnittpunkt mit der x-Achse bei [0;0]
MfG Arktus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mo 26.12.2005 | | Autor: | m66-99 |
| Aufgabe | [mm]r_{1/_{2}} = \pm \sqrt{V}[/mm] und
[mm]r_3 = \frac{p-V}{q}[/mm]
als Lösung für [mm]V = \frac{r^2 \cdot b \cdot h \cdot l}{s^2} - \frac{r^3 \cdot b \cdot h \cdot c}{3 \cdot s^3}[/mm]
funktioniert leider nicht? |
Danke für die Antwort.
Ich habe die Probe gemacht und beide Möglichkeiten ausprobiert, also
> [mm]r_{1/_{2}} = \pm \sqrt{V}[/mm] und
> [mm]r_3 = \frac{p-V}{q}[/mm]
und aus bestimmten r - Werten die Volumina berechnet und dann mit oben genannten Lösungen gecheckt ob dasselbe r wieder rauskommt: Es haut leider absolut nicht hin.
Irgendwas kann nicht stimmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mo 26.12.2005 | | Autor: | Arkus |
Es wäre auch möglich, dass du einen Umstellungsfehler gemacht hast, aber ich dachte mir schon, das das in diesem Fall nicht hinhaut, war auch schon grad ziemlich am Überlegen ... Ich glaube, das ginge nur, wenn dort 0 steht und nicht irgendwas beliebiges, da, wenn ein Faktor 0 ist, auch das Produkt 0 wird.
Musste wohl doch über die Cardanischen Formeln gehen. ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Di 27.12.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo m66-99
Meiner Meinung nach ist deine Volumenformel nicht ganz korrekt.
Dein Körper kann man als Differenz zweier Volumen [mm] $V_1$, $V_2$ [/mm] sehen,
wobei [mm] $V_1$ [/mm] ein Prisma mit dreieckigem Grundriss (Grundseite $2 [mm] b_1$, [/mm] Dreieckshöhe [mm] $h_1$) [/mm] und der Höhe (Länge) [mm] $l-c+c_1$ [/mm] ist. Der zweite Körper ist ein Tetraeder mit gleichem Grundriss, wie das Prisma und der Höhe [mm] $c_1$.
[/mm]
Das Grundrissdreieck des Prismas ist ähnlich zum Dreieck mit Grundseite 2b und Dreieckshöhe h, wobei das Streckenverhältnis gegeben ist durch das Verhältnis [mm] $s_1:s=r:s$. [/mm] Deshalb sind die Volumen gegeben durch
[mm] $V_1=bh(\frac rs)^2(l-c+c_1)$ [/mm] und [mm] $V_2=\frac [/mm] 13 [mm] bh(\frac rs)^2 c_1$.
[/mm]
Ausserdem ist leicht einzusehen, dass [mm] $c_1:c=h_1:h=s_1:s$ [/mm] und daraus
[mm] $c_1=c\frac [/mm] rs$.
Setzt man das ein, so ergibt sich
[mm] $V=V_1-V_2=\frac{bh(l-c)r^2}{s^2}+\frac{2bhcr^3}{3s^3}$.
[/mm]
Nichtsdestotrotz ergibt sich für $r$ eine kubische Gleichung der Form
[mm] $V=\alpha r^2+\beta r^3$, [/mm] wobei [mm] $\alpha=\frac{bh(l-c)}{s^2}$ [/mm] und [mm] $\beta=\frac{2bhc}{3s^3}$.
[/mm]
Um diese zu lösen, substituiere ich [mm] $r=\frac{1}{x}$, [/mm] multipliziere die Gleichung mit [mm] $\frac{x^3}{V}$ [/mm] unb bringe (durch Addition) alles auf die linke Seite um die Gleichung [mm] $x^3-\frac{\alpha}{V}x-\frac{\beta}{V}=0$ [/mm] zu erhalten.
Um diese Gleichung zu lösen setze ich [mm] $p=\frac{\alpha}{3V}=\frac{bh(l-c)}{3s^2V}$ [/mm] und [mm] $q=\frac{\beta}{2V}=\frac{bhc}{3s^3V}$.
[/mm]
Die Gleichung lautet dann [mm] $x^3-3px-2q=0$.
[/mm]
Nun muss man die Diskriminante (in diesem Fall) [mm] $D=q^2-p^3$ [/mm] betrachten. Man erhält dann
[mm] $D=\frac{b^2 h^2}{9V^2 s^6}\left(c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}\right)$.
[/mm]
Ich nehme einmal an, dass die Diskriminante positiv ist, (sonst gibt es drei verschiedene reelle Lösungen, die man nur im Umweg über das komplexe(!) erhält).
Die einzige reelle Lösung ist in diesem Fall gegeben durch
[mm] $x=\sqrt[3]{q+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{D}} =\frac{1}{s}\sqrt[3]{\frac{bh}{3V}} \left(\sqrt[3]{c+\sqrt{c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}}} + \sqrt[3]{c-\sqrt{c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}}}\right)$
[/mm]
Für [mm] $r=\frac{1}{x}$ [/mm] ergibt sich dann
[mm] $r=s\sqrt[3]{\frac{3V}{bh}}\frac{1}{\sqrt[3]{c+\sqrt{c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}}} + \sqrt[3]{c-\sqrt{c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}}}}$.
[/mm]
mfG Moudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Di 27.12.2005 | | Autor: | m66-99 |
Hallo moudi,
Herzlichen Dank für diese hervorragende Arbeit und das Erlösen von tagelangem Kofzerbrechen!
Ich habe etwas gebraucht um die Herleitung zu verstehen; ich wäre wahrscheinlich nicht drauf gekommen; mit kubischen Gleichungen habe und hatte ich null Erfahrung!
Recht vielen Dank auch für das Aufmerksammachen auf den Fehler in meiner Volumenformel. Ich hatte übersehen, daß man ja das Volumen der durch s1 definierten kleinen Pyramide von dem entsprechend schrumpfenden Volumen des Prismas abziehen muss und habe fälschlich beim Prismavolumen die Länge des großen Prismas angestzt!
Ich muss checken ob für die gegebenen Masse die Determinante > 0 ist. Das wird etwas dauern, weil es nicht so schnell geht das in die Tabellenkalulation einzugeben. Wenn nicht D>0 habe ich wohl Pech gehabt. In diesem Fall werde ich versuchen nach den Hinweisen auf http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formel noch eine Lösung zu finden.
Nochmals meinen Dank und meine Hochachtung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Mi 28.12.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo m66-99
Ich habe die Lösung ein bisschen angeschaut und "schlechte" Nachrichten
für dich.
Die Diskriminante [mm] $D=\frac{b^2 h^2}{9V^2 s^6}\left(c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}\right)$ [/mm] wird - wenn V klein ist - mit Sicherheit negativ. Unabhängig wie gross dass V ist, ist $D$ mit Sichderheit negativ, wenn [mm] $l\geq [/mm] 3.1c$ ist.
In diesem Fall hat die Gleichung 3 Lösungen, eine postitive und zwei negative Lösungen. Es ist dann
[mm] $\sqrt{c^2-\frac{bh(l-c)^3}{3V}}=\imath \sqrt{\frac{bh(l-c)^3}{3V}-c^2}$, [/mm] wobei [mm] $\imath=\sqrt{-1}$ [/mm] die imaginäre Einheit ist. Die Lösungsformel ist auch in diesem Fall gültig, wobei du darauf achten musst, dass du diejenige dritte Wurzel der komplexen Zahl
[mm] $\sqrt[3]{c+\imath\sqrt{\frac{bh(l-c)^3}{3V}-c^2}}$ [/mm] berechnest, dessen Realteil positiv ist.
Die Summe der beiden dritten Wurzeln
[mm] $\sqrt[3]{c+\imath\sqrt{\frac{bh(l-c)^3}{3V}-c^2}} [/mm] + [mm] \sqrt[3]{c-\imath\sqrt{\frac{bh(l-c)^3}{3V}-c^2}}$
[/mm]
ist dann einfach der doppelte Realteil der dritten Wurzel, die du oben berechnest hast.
Uebrigens, wenn D negativ ist, gibt es keine Hoffnung, das Resultat nicht über die Berechnung komplexer Zahlen zu erhalten!
Man kann natürlich die komplexen Zahlen umgehen, wenn man die entsprechenden trigonometrischen Relation einsetzt:
Ist [mm] $A+\imath [/mm] B$ eine komplexe Zahl mit $A>0$, dann sei
[mm] $\varphi=\arctan(B/A)$ [/mm] und [mm] $\rho=\sqrt{A^2+B^2}$.
[/mm]
Die Komplexe Zahl [mm] $z=\sqrt[3]{\rho}\cos(\varphi/3)+\imath\sqrt[3]{\rho}\sin(\varphi/3)$ [/mm] ist dann diejenige dritte Wurzel aus [mm] $A+\imath [/mm] B$, dessen Realteil positiv ist.
Es gilt dann [mm] $\sqrt[3]{A+\imath B}+\sqrt[3]{A-\imath B}=2\sqrt[3]{\rho}\cos(\varphi/3)$.
[/mm]
In deinem Fall wäre $A=c$ und [mm] $B=\sqrt{\frac{bh(l-c)^3}{3V}-c^2}$.
[/mm]
mfG Moudi
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