Gleichung mit Fallunter. < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Ich habe da eine Frage zu einer Aufgabe:
Also ich muss folgende Gleichung mit Fallunterscheidung für alle Parameter lösen, dies ist grundsätzlich auch kein Problem ...nur ist mir da was aufgefallen...
kx = 3x /-kx
0 = 3x-kx /x ausklammern
0 = x(3-k) / :(3-k)
x = 0/(3-k)
Falls k = 3 L = R; k <> 3 = L{0}
Nun meine Frage k = 3...würde nach dem Vorgang von oben eine Leere Menge geben (da durch 0 nicht geteilt werden darf), betrachtet man jedoch die Zeile obendran...dann erhält man 0 = 0 was eine Lösungsmenge aller reelen Zahlen zur Folge hat...hmm... das verwirrt mich jetzt, muss ich da eine zusätzliche Fallunterscheidung vornehmen? Vielen Dank für eure Antwort.
Grüsse Nicole
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> Hallo zusammen
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> Ich habe da eine Frage zu einer Aufgabe:
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> Also ich muss folgende Gleichung mit Fallunterscheidung für
> alle Parameter lösen, dies ist grundsätzlich auch kein
> Problem ...nur ist mir da was aufgefallen...
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> kx = 3x /-kx
> 0 = 3x-kx /x ausklammern
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> 0 = x(3-k) / :(3-k)
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> x = 0/(3-k)
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> Falls k = 3 L = R; k <> 3 = L{0}
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> Nun meine Frage k = 3...würde nach dem Vorgang von oben
> eine Leere Menge geben (da durch 0 nicht geteilt werden
> darf),
Nein, so kann man eben nicht schliessen: dass Du bei einer Gleichung vom Typ $ax=b$ [mm] ($a,b\in\IR$) [/mm] die Division durch $a$ nicht ausführen darfst (weil $a=0$ ist) besagt nur, dass einer der beiden bei einer linearen Gleichung möglichen "pathologischen Fälle" vorliegt: keine oder unendlich viele Lösungen.
> betrachtet man jedoch die Zeile obendran...dann
> erhält man 0 = 0 was eine Lösungsmenge aller reelen Zahlen
> zur Folge hat...
Diese zweite Überlegung ist richtig: ist bei einer Gleichung der Form $ax=b$, der Koeffizient $a=0$ so hat die Gleichung ganz [mm] $\IR$ [/mm] als Lösungsmenge (oder jedenfalls die ganze der Gleichung zugrundegelegte Grundmenge), falls $b=0$ ist, andernfalls hat sie keine Lösung.
>hmm... das verwirrt mich jetzt, muss ich da
> eine zusätzliche Fallunterscheidung vornehmen?
Richtig: Du versuchst zunächst einfach $x$ auf einer Seite der Gleichung zu isolieren, wie Du dies auch gemacht hast. Bei jeder der Umformungen, die Du dabei verwendest, musst Du Dir klar machen, unter welchen Bedingungen es sich überhaupt um eine Äquivalenzumformung handelt.
Falls die Möglichkeit besteht, dass es keine Äquivalenzumformung ist (etwa in Abhängigkeit von den unbekannten Werten von Formvariablen, die in einem Term auftreten, durch den Du dividieren oder mit dem Du multiplizieren willst), dann musst Du im Prinzip zwei Fälle unterscheiden: 1. Fall: die Bedingung für das [mm] $\neq [/mm] 0$ Sein des betreffenden Terms ist erfüllt. 2. Fall: die Bedingung für das [mm] $\neq [/mm] 0$ Sein des betreffenden Terms ist nicht erfüllt.
Im 1. Fall darfst Du geradeaus weiterrechnen, wie Du dies auch hier gerne gemacht hättest. Im 2. Fall musst Du überlegen, was daraus folgt, dass die Bedingung für das [mm] $\neq [/mm] 0$ sein des betreffenden Terms nicht gilt (etwa für die Werte der darin auftretenden Formvariablen, hier $k$, und für die zu lösende Gleichung insgesamt).
Zurück zu Deiner konkreten Gleichung: Du hattest die Gleichung soweit umgeformt: $0=x(3-k)$. Nun haben wir also eine Fallunterscheidung zu treffen:
1. Fall [mm] $3-k\neq [/mm] 0$ (das heisst: [mm] $k\neq [/mm] 3$): dann darfst Du die Gleichung beidseitig durch $3-k$ dividieren und erhälst: Falls [mm] $\red{k\neq 3}$ [/mm] ist, ist die Lösungsmenge [mm] $\red{\mathcal{L}=\{0\}}$.
[/mm]
2. Fall ($3-k=0$ (das heist: $k=3$): dann setzt Du diesen Wert $k=3$ in die Gleichung ein und erhältst: $0=x0$. Also eine Gleichung, die für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] erfüllt ist. Also haben wir den Rest der Lösung dieser Aufgabe: Falls [mm] $\red{k=3}$ [/mm] ist, ist die Lösungsmenge [mm] $\red{\mathcal{L}=\IR}$.
[/mm]
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