Gleichung mit 2 Unbekannten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:03 Mo 11.03.2013 | | Autor: | Matrix5 |
| Aufgabe | x² = 1 + 10 y²
y [mm] \in \IN
[/mm]
y [mm] \le [/mm] 2000 |
Ich habe folgende Gleichung mit zwei Unbekannten:
x² = 1 + 10 y²
Gesucht sind alle Lösungen, bei denen y Werte bis 2000 annimmt (nur natürliche Zahlen). Für x gibt es keine Vorgaben.
Ich vermute, dass das irgendwie über das pythagoreische Tripel funktioniert. Ich bekomme aber keine vernünftige Lösung, weil auch der Faktor 10 bewirkt, dass es sich nicht um einen "echten" Pythagoras handelt. Und obwohl ich mir 1 auch als Quadratzahl denken kann [mm] (1^1), [/mm] sagen mir verschiedene Online-Rechner, dass es keine pythagoreischen Tripel mit 1 geben kann.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:41 Mo 11.03.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> x² = 1 + 10 y²
>
> y [mm]\in \IN[/mm]
>
> y [mm]\le[/mm] 2000
> Ich habe folgende Gleichung mit zwei Unbekannten:
> x² = 1 + 10 y²
>
> Gesucht sind alle Lösungen, bei denen y Werte bis 2000
> annimmt (nur natürliche Zahlen). Für x gibt es keine
> Vorgaben.
>
> Ich vermute, dass das irgendwie über das pythagoreische
> Tripel funktioniert. Ich bekomme aber keine vernünftige
> Lösung, weil auch der Faktor 10 bewirkt, dass es sich
> nicht um einen "echten" Pythagoras handelt.
Genau.
Forme die Gleichung leicht um, dann hast du eine ![[]](/images/popup.gif) Pellsche Gleichung. Wenn du eine Fundamentalloesung dieser kennst, kannst du schnell alle Loesungen finden.
(Die Fundamentalloesung ist uebrigens (721, 228).)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Mo 11.03.2013 | | Autor: | Matrix5 |
Hallo Felix,
vielen Dank, das hat mich weiter gebracht!
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