Gleichung lösen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Fr 01.11.2013 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | [mm] 2*x_1+2*x_2+1*x_3+3*x_4=10
[/mm]
[mm] 3*x_1+5*x_2+2*x_3-1*x_4=30
[/mm]
[mm] 1*x1+2*x_2+1*x_3-1*x_4=12 [/mm] |
Hallo,
ich habe obiges Gleichungssystem,welches gelöst werden soll.
Zunächst habe ich in "Matrixform" angeschrieben:
[mm] \pmat{ 2 & 2 & 1 & 3\\ 3 & 5 & 2 & -1\\ 1 & 2 & 1 & -1 } \pmat{ 10\\ 30\\ 12}
[/mm]
Durch entsprechendes Umformen erhalte ich:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -2\\ 0 & 2 & 1 & -5 } \pmat{ 12\\ 6\\ 14}
[/mm]
Jetzt habe ich aber in einer Beispiellösung in der letzten Zeile
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -2\\ 0 & 1 & 1 & -2 } \pmat{ 12\\ 6\\ -2}
[/mm]
stehen. Wie komm ich auf das? Theoretisch ja, wenn ich die letzte Zeile durch -7 dividiere, das scheint aber so nicht zu sein?
Was mir auch nicht klar ist, wie ich das dann in die Form (laut Lösung)
[mm] \vektor{x \\ y \\ z \\ u}=\vektor{-2 \\ 8 \\ -2 \\ 0}=+\lambda\vektor{4 \\ 3 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
bekomme. Könnte mir da bitte jemand einen Tipp geben?
Danke…
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Fr 01.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]2*x_1+2*x_2+1*x_3+3*x_4=10[/mm]
> [mm]3*x_1+5*x_2+2*x_3-1*x_4=30[/mm]
> [mm]1*x1+2*x_2+1*x_3-1*x_4=12[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe obiges Gleichungssystem,welches gelöst werden
> soll.
Du scheinst zwei Ebenen gleichgesetzt zu haben, das GLS mit drei Gleichungen aber vier Variablen deutet darauf hin. Dieses Gleichungssystem musst du mit einem Parameter lösen, die Schnittmenge zweier Ebenen ist ja auch eine Gerade.
Dazu setze eine der Variablem mit einem Parameter, welche, ist egal, nehmen wir mal [mm] x_{4}=\lambda.
[/mm]
Dann löse also das parameterabhängige System
[mm] \vmat{2x_{1}+2x_{2}+x_{3}=10-3\lambda\\3x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=30+\lambda\\x_{1}+2x_{2}+x_{3}=12+\lambda}
[/mm]
>
>
> Zunächst habe ich in "Matrixform" angeschrieben:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 2 & 1 & 3\\ 3 & 5 & 2 & -1\\ 1 & 2 & 1 & -1 } \pmat{ 10\\ 30\\ 12}[/mm]
>
> Durch entsprechendes Umformen erhalte ich:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -2\\ 0 & 2 & 1 & -5 } \pmat{ 12\\ 6\\ 14}[/mm]
Zeige mal deine Rechnungen dazu.
>
> Jetzt habe ich aber in einer Beispiellösung in der letzten
> Zeile
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -2\\ 0 & 1 & 1 & -2 } \pmat{ 12\\ 6\\ -2}[/mm]
>
> stehen. Wie komm ich auf das? Theoretisch ja, wenn ich die
> letzte Zeile durch -7 dividiere, das scheint aber so nicht
> zu sein?
>
> Was mir auch nicht klar ist, wie ich das dann in die Form
> (laut Lösung)
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z \\ u}=\vektor{-2 \\ 8 \\ -2 \\ 0}=+\lambda\vektor{4 \\ 3 \\ -1 \\ 1}[/mm]
Durch die Wahl von [mm] x_{4}=\lambda [/mm] bekommst du solch eine Lösung.
>
> bekomme. Könnte mir da bitte jemand einen Tipp geben?
>
> Danke…
Marius
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