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Hallo nochmal. Ich wollte fragen, ob mir jmd. einen Ansatz geben könnte, wie ich die restlichen Lösungen der Gleichung [mm] z^4=-7+24i [/mm] berechnen kann.
Eine Lösung ist gegeben mit [mm] z_0=2+i
[/mm]
MFG domenigge135
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Okay. Hatte schon beides ausprobiert.
Moivre ist ein bischen mühsam und ohne Taschenrechner ein bischen schwer.
Ich probier mal:
[mm] z^4=-7+24i
[/mm]
r=25
[mm] \phi=\pi+arctan(\bruch{24}{-7}) [/mm] ohne Taschenrechner kann ich das [mm] \phi [/mm] nicht bestimmen. Vielleicht du. Wäre cool wenn du mir einen Trick verraten könntest ich tu mich da sehr schwer.
Also probier ich lieber mit Polynomdivision. Ich probier auch hier:
mit [mm] z_0=2+i [/mm] ist auch [mm] z_1=2-i [/mm] Lösung der Gleichung
[mm] \Rightarrow (z-(2+i))(z-(2-i))=z^2-4z+5 [/mm] Wenn ich hier jetzt aber Polynomdivision erhalte, wird das auch recht mühsam denke ich
[mm] z^4+7-24i:(z^2-4z+5)=z^2+4z+11+\bruch{24z-48-24i}{z^4+7-24i}
[/mm]
Ich würde es ja ausrechnen. Allerdings bezweifle ich, dass das so richtig ist!!!
MFG domenigge135
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Da du eben erst eine Lösung hast, würde das mit der (komplexen)
Polynomdivision ziemlich mühsam.
Benütze aber, wie Loddar schon angeregt hat, die Formel
[mm] (r*cis(\varphi))^n [/mm] = [mm] r^n*cis(n*\varphi)
[/mm]
Um den Polarwinkel der Zahl -7+24*i herauszufinden, möchte
ich dir empfehlen, eine Skizze in der Gauss-Ebene zu machen.
Den Winkel kannst du mit elementarer Trigonometrie ausrechnen.
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> Mit der gegebenen Lösung kennst Du bereits eine weiter
> Lösung: nämlich die komplex Konjugierte der genannten
> Lösung.
>
hallo Loddar,
dies ist hier nicht der Fall !
diesen Schluss dürfte man dann ziehen, falls es sich um
eine Gleichung mit lauter reellen Koeffizienten handelte
Gruß al-Chw.
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Polynomdivision
