Gleichung implizit lokal < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:46 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Seien $I,J \subset \IR$ offene Intervalle, $f_{1}:I\rightarrow |IR, f_{2}:J\rightarrow \IR$ stetig, $x_{0} \in I, y_{0} \in J$ und $f_{2}(y_{0}) \ne 0$. Zeigen Sie: Lokal bei $(x_{0},y_{0})$ lässt sich die Gleichung $\int_{y_{0}}^{y} \frac{1}{f_{2}} = \int_{x_{0}}^{x} f_{1}$ nach y auflösen, y(x) ist eine $C^{1}$ Funktion von x und erfüllt $y'(x)= f_{1}(x)f_{2}(y(x))$. (Hinweis: Satz der impliziten Funktion) |
Hallo,
Der Satz von der impliziten Funktion: Seien $U,V$ offene Intervalle in $\IR$ und $F:U\times V \rightarrow \IR$ eine stetig dfbr. Abbildung. Erfüllt $(x_{0},y_{0}) \in U \times V$ de Gleichung $F(x_{0},y_{0}=0$ und ist
$\frac{\partial F}{\partial y} (x_{0},y_{0}) \ne 0$,
dann existieren offene Intervalle $U_{0},V_{0}$ mit $x_{0} \in U_{0} \subset U$ und $y_{0} \in V_{0} \subset V$, sowie eine eindeutige stetig dfbre. Abbildung $f:U_{0}\rightarrow V_{0}$ mit $f(x_{0})=y_{0}$ so dass
$F(x,f(x))=0$
$F(x,y)\ne 0$ falls $y\ne f(x)$
für alle $x\in U_{0}, y\in V_{0}$ gilt. Ferner ist $\frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) \ne 0 \ \forall x\in U_{0}$ und
$f'(x)=-(\frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)))^{-1}(\frac{\partial F}{\partial x}(x,(f(x)))$
Die Anwendung des Satzes v.d.i.F. auf $F:I\times J \rightarrow \IR, F(x,y)= \int_{y_{0}}^{y} \frac{1}{f_{2}} - \int_{x_{0}}^{x}f_{1}$.
Nach dem Fundamentalsatz der Analysis gilt auch:
$\frac{\partial F}{\partial x} = -f_{1}, \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{1}{f_{2}$
(1): da $f_{2}(y_{0}) \ne 0 $ ist auch $\frac{\partial F(x_{0},y_{0})}{\partial y} \ne 0$
dann stecke ich fest.... wie kommt hier weiter?
Bin für jegliche Hinweise sehr dankbar.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 So 02.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ex. also ein Intervall [mm] U_0 [/mm] mit [mm] x_0 \in U_0 [/mm] und eine stetig db Funktion y: [mm] U_0 \to \IR [/mm] mit
F(x,y(x))= [mm] \int_{y_{0}}^{y(x)} \frac{1}{f_{2}} [/mm] - [mm] \int_{x_{0}}^{x}f_{1} [/mm] =0 für alle x [mm] \in U_0.
[/mm]
Jetzt differenzieren !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> differenziere
dann erhalte ich:
[mm] $\frac{\partial F(x,y(x)) }{\partial y} [/mm] = [mm] \frac{1}{f_{2}(y(x))}$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial x } [/mm] = [mm] -f_{1}(x)$
[/mm]
damit folgt dann für $y'(x) = - [mm] (\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial y})^{-1} (\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial x }) [/mm] = [mm] -f_{1}(x)f_{2}(y(x))$
[/mm]
Ist dadurch die Aufgabe gelöst??
> FRED
Vielen Dank!!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo,
>
>
> > differenziere
>
>
> dann erhalte ich:
>
> [mm]\frac{\partial F(x,y(x)) }{\partial y} = \frac{1}{f_{2}(y(x))}[/mm]
>
>
> [mm]\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial x } = -f_{1}(x)[/mm]
>
>
> damit folgt dann für [mm]y'(x) = - (\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial y})^{-1} (\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial x }) = -f_{1}(x)f_{2}(y(x))[/mm]
>
Du brauchst die Eigenschaft, daß [mm]f_{2}\left(y\left(x_{0}}\right)\right) \not= 0[/mm].
Dann kannst Du nach y' auflösen.
Hier muss doch stehen:
[mm]y'(x) = - (\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial y})^{-1} (\frac{\partial F(x,y(x))}{\partial x }) = \blue{+}f_{1}(x)f_{2}(y(x))[/mm]
>
> Ist dadurch die Aufgabe gelöst??
> > FRED
>
> Vielen Dank!!
>
>
> Gruss
> kushkush
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> hier muss stehen
> Gruss Mathepower
Vielen Dank!!!
Gruss
kushkush
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