Gleichung geometrisch lösen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:37 Mo 11.04.2011 | | Autor: | meso |
| Aufgabe | Man bestimme sämtliche Lösungen der Gleichung:
[mm] cos^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(2*x) [/mm] + [mm] cos^2(3*x) [/mm] = 1 |
hallo
ich soll die Aufgabe geometrisch lösen, weis aber nicht so recht wie. ich habe mal die Gleichung versucht für ein paar Winkel zu lösen, dabei bin ich auf folgendes gekommen: Für Pi/4 Pi/2 Pi/6 stimmt die Gleichung, für Pi/3 nicht. Ich habe mir den cos im Einheitskreis aufgezeichnet und mir überlegt, dass wenn ich [mm] cos^2 [/mm] habe ich ja dann ein quadrat einzeichnen kann. Aber so richtig auf die geometrische lösung bin ich nicht gekommen, es ist so vorrangig sollen wir die aufgabe geometrisch lösen, und wenn wir eine analytische lösung auch noch wissen ist das dann halt besser.
bitte kann mir jemand helfen?
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mo 11.04.2011 | | Autor: | abakus |
> Man bestimme sämtliche Lösungen der Gleichung:
> [mm]cos^2(x)[/mm] + [mm]cos^2(2*x)[/mm] + [mm]cos^2(3*x)[/mm] = 1
> hallo
>
> ich soll die Aufgabe geometrisch lösen, weis aber nicht so
> recht wie. ich habe mal die Gleichung versucht für ein
> paar Winkel zu lösen, dabei bin ich auf folgendes
> gekommen: Für Pi/4 Pi/2 Pi/6 stimmt die Gleichung, für
> Pi/3 nicht. Ich habe mir den cos im Einheitskreis
> aufgezeichnet und mir überlegt, dass wenn ich [mm]cos^2[/mm] habe
> ich ja dann ein quadrat einzeichnen kann. Aber so richtig
> auf die geometrische lösung bin ich nicht gekommen, es ist
> so vorrangig sollen wir die aufgabe geometrisch lösen, und
> wenn wir eine analytische lösung auch noch wissen ist das
> dann halt besser.#
Hallo,
es gilt z.B. die Doppelwinkelformel [mm] cos(2x)=cos^2 x-sin^2 x=2cos^2 [/mm] x -1.
Entsprechende Formeln gibt es mit Anwendung der Additiontheoreme auch für cos(3x) .
Gruß Abakus
>
> bitte kann mir jemand helfen?
> Danke
|
|
|
| |
|
> > Man bestimme sämtliche Lösungen der Gleichung:
> > [mm]cos^2(x)[/mm] + [mm]cos^2(2*x)[/mm] + [mm]cos^2(3*x)[/mm] = 1
> > hallo
> >
> > ich soll die Aufgabe geometrisch lösen, weis aber nicht so
> > recht wie. ich habe mal die Gleichung versucht für ein
> > paar Winkel zu lösen, dabei bin ich auf folgendes
> > gekommen: Für Pi/4 Pi/2 Pi/6 stimmt die Gleichung, für
> > Pi/3 nicht. Ich habe mir den cos im Einheitskreis
> > aufgezeichnet und mir überlegt, dass wenn ich [mm]cos^2[/mm] habe
> > ich ja dann ein quadrat einzeichnen kann. Aber so richtig
> > auf die geometrische lösung bin ich nicht gekommen, es ist
> > so vorrangig sollen wir die aufgabe geometrisch lösen, und
> > wenn wir eine analytische lösung auch noch wissen ist das
> > dann halt besser.
> Hallo,
> es gilt z.B. die Doppelwinkelformel [mm]cos(2x)=cos^2 x-sin^2 x=2cos^2[/mm]
> x -1.
> Entsprechende Formeln gibt es mit Anwendung der
> Additiontheoreme auch für cos(3x) .
> Gruß Abakus
Hallo Abakus,
mit diesem Tipp unterstützt du allerdings eher eine
algebraische als eine geometrische Lösung, wie sie
ja eigentlich in erster Linie gefragt ist ...
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:32 Di 12.04.2011 | | Autor: | meso |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Di 12.04.2011 | | Autor: | meso |
sorry ich habe jetzt nochmals nachgerechnet und gesehen, dass ich mich verrechnet habe ich bekomme jezt als lösung für x heraus:
x= Pi/4 und x=Pi/6 was janaheligender ist als die vorherige lösung. also glaube ich dass, das stimmt.
allerdings habe ich für die geometrische lösung noch keinen ansatz.
glg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Di 12.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sorry ich habe jetzt nochmals nachgerechnet und gesehen,
> dass ich mich verrechnet habe ich bekomme jezt als lösung
> für x heraus:
> x= Pi/4 und x=Pi/6 was janaheligender ist als die
> vorherige lösung. also glaube ich dass, das stimmt.
> allerdings habe ich für die geometrische lösung noch
> keinen ansatz.
> glg
was die geometrische Lösung angeht: Siehe meine Antwort unten. Da ist (mir) unklar, was genau Du/Ihr darunter versteht.
Was sicher geht und wie Du Deine Lösungen selbst testen kannst:
Plotte etwa mal den Graphen von [mm] $f(x)=1-\cos^2(x)-\cos^2(2x)-\cos^2(3x)$ [/mm] und schau' Dir die Nullstellen an.
Beachte übrigens bitte die Periodizität des Kosinus. Alleine daran siehst Du, dass diese Gleichung, wenn sie auch schon nur eine Lösung hat, mindestens abzählbar unendlich viele Lösungen haben wird!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Di 12.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man bestimme sämtliche Lösungen der Gleichung:
> [mm]cos^2(x)[/mm] + [mm]cos^2(2*x)[/mm] + [mm]cos^2(3*x)[/mm] = 1
> hallo
>
> ich soll die Aufgabe geometrisch lösen, weis aber nicht so
> recht wie
da ist die Aufgabenstellung so auch zu schwammig. Geometrisch lösen kann man diese Gleichung auch durch Betrachtung entsprechender Funktionsgraphen (z.B. betrachtet man [mm] $f(x)=\cos^2(2x)+\cos^2(3x)$ [/mm] und [mm] $g(x)=1-\cos^2(x)=\sin^2(x)$ [/mm] und sucht die Schnittpunkte der Graphen, um die Schnittstellen herauszubekommen).
Eine "wirklich geometrische" Lösung wäre für mich aber eher eine Betrachtung am Einheitskreis. Und um da überhaupt sinnvoll vorzugehen, wird die Hilfe von Abakus sicher sinnvoll sein. Auch, wenn die geometrische Lösung dann erst mithilfe algebraischer Umformungen stattfindet...
Gruß,
Marcel
P.S.:
Da auf die Frage schon reagiert wurde und sie teilweise beantwortet wurde, macht es keinen Sinn, denn Status auf unbeantwortet zu stellen (teilweise beantwortet ist okay). Hängst Du weitere Fragen an, so erhalten diese erstmal den Status unbeantwortet und Dein Thread wird dann natürlich auch weiter beachtet!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 12:03 Di 12.04.2011 | | Autor: | meso |
hallo
danke für deine hilfe! ja der Cosinus ist periodisch also kommt als Lösung cos( Pi/6+k*2Pi) und cos( Pi/4 +k*2Pi) heraus
ja die aufgabe ist eher schwammig aber wir haben die so bekommen.
Das mit dem Einheitskreis habe ich mir auch überlegt und habe mir die entsprechenden quadrate im Einheitskreis angeschaut, aber so richtig wie ich das jetzt machen soll? denn der Lehrer will dass wir das mit zirkel und einem lineal konstruieren? weist du wie das dann geht ?
vielen Dank
PS: ich kenne mich im forum nicht so gut aus, danke aber für den hinweis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Di 12.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo
>
> danke für deine hilfe! ja der Cosinus ist periodisch
beachte aber: $x [mm] \mapsto \cos^2(x)$ [/mm] ist als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] sogar [mm] $\pi$-periodisch [/mm] (und $x [mm] \mapsto \cos^2(2x)$ [/mm] wäre sogar [mm] $\pi/2$-periodisch, [/mm] $x [mm] \mapsto \cos^2(3x)$ [/mm] analog dann [mm] $\pi/3$-periodisch..., [/mm] aber bei der "Summenfunktion hier" ist nur die größte Periode (der jeweils kleinsten Perioden der "entsprechenden Bestandteile") entscheidend, wie Du Dir überlegen kannst; übrigens ist auch $x [mm] \mapsto [/mm] 1$ periodisch...). Wenn's Dir nicht klar ist: Plotte die entsprechenden Graphen bzw. zeichne sie Dir mal auf...
> also
> kommt als Lösung cos( Pi/6+k*2Pi) und cos( Pi/4 +k*2Pi)
> heraus
Wie gesagt: Zum einen beachte, dass [mm] $f(x)=1-\cos^2(x)-\cos^2(2x)-\cos^2(3x)$ [/mm] nicht nur [mm] $2\pi\,,$ [/mm] sondern sogar [mm] $\pi$-periodisch [/mm] ist. Zum anderen: Lass' Dir ruhig mal den Graphen plotten und schau' Dir an, ob Du so alle Nullstelln erfasst hast. (Wegen der [mm] $\pi$-Periodizität [/mm] reicht es ja, den Graphen dieser Funktion genauer in einem abgeschlossenen Intervall der Länge [mm] $\pi$ [/mm] zu betrachten).
> ja die aufgabe ist eher schwammig aber wir haben die so
> bekommen.
> Das mit dem Einheitskreis habe ich mir auch überlegt und
> habe mir die entsprechenden quadrate im Einheitskreis
> angeschaut, aber so richtig wie ich das jetzt machen soll?
> denn der Lehrer will dass wir das mit zirkel und einem
> lineal konstruieren? weist du wie das dann geht ?
So ganz ohne die Hinweise von Abakus habe ich nun keine spontane Idee. Verwendet man seine Tipps, so bekommt man sicher was sinnvolles raus, wenn man ein wenig drüber nachdenkt und die Tipps auch richtig angewendet hat...
> vielen Dank
Gerne!
> PS: ich kenne mich im forum nicht so gut aus, danke aber
> für den hinweis
Kein Ding, auch das ist gern geschehen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 12.04.2011 | | Autor: | meso |
hallo
ich habe abakus im google gesucht aber da steht nur was von rechenbrett.. steh ich auf der leitung? was ist abakus?
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Di 12.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo
>
> ich habe abakus im google gesucht aber da steht nur was von
> rechenbrett.. steh ich auf der leitung? was ist abakus?
> danke
ist nicht schlimm, aber jetzt muss ich schmunzeln 
Denn:
Abakus war der erste Antwortgeber hier:
Abakus sagte:
> Hallo,
> es gilt z.B. die Doppelwinkelformel [mm]cos(2x)=cos^2 x-sin^2 x=2cos^2[/mm]
> x -1.
> Entsprechende Formeln gibt es mit Anwendung der
> Additiontheoreme auch für cos(3x) .
> Gruß Abakus
Also: Erst Additionstheoreme anwenden, danach eine geometrische Interpretation am Einheitskreis versuchen und damit dann die Aufgabe lösen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Di 12.04.2011 | | Autor: | meso |
))))
ich bin echt oft auf der leitung
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 14.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Di 12.04.2011 | | Autor: | meso |
hilfe
kann mir jemand einen tipp zum geometrischen lösen geben????
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 12.04.2011 | | Autor: | meso |
hallo
ich glaube ich habe jetzt die richtige geometrische interpretation gefunden:
wenn ich im Enheitskreis cos Pi/4 einzeichne, dann bekomme ich ja ein Quadrat wobei cos und sin gleich sind, somit kann ich mittels dem satz des Pythagoras ja zeigen, dass mein quadrat über der Hypothenuse gleich den quadraten der Katheten ist.
wenn ich die augabe [mm] cos^2(x)+cos^2(2*x)+cos^2(3*x) [/mm] = 1 hernehme dann sehe ich, dass ich einmal das quadrat beim cos Pi bekomme und einmal das quadrat bei cos3*Pi/4. somit gilt dies, bei Pi/6 geht das ja analog, da hier wieder eine Lösung 0 ist und bei den anderen beiden cos zwei gleiche rechtecke herausbekomme, so kann ich wieder mit dem satz des Pythagoras am dreieck die quadrate einzeichnen.
ich habe dann auch versucht zu zeigen, dass die formel für Pi/3 nicht gilt, man bekommt da ja drei rechtecke heraus wobei man sieht dass diese summiert ja größer sind als das quadrat beim radius.
kann mir jemand sagen ob das eichtig ist und ob ich die aufgabe so geometrisch interpretieren bzw. Lösen kann, eine rein geometrische lösung ist mir nicht eingefallen.
glg meso
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 12.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast geometrisch gezeigt, dass die lösungen pi/4 und pi/6 welche sind, du hast diese losungen aber nicht geometrisch gefunden.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 12.04.2011 | | Autor: | meso |
ja und wie kann ich die geometrisch finden?
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Di 12.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
seh ich leider auch nicht, wenn dus je rauskriegst würden wir uns hier über die Lösung freuen.
weiter Lösungen sind aber noch [mm] \pi/2, [/mm] 3/4˜pi, [mm] 5/6\pi
[/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Di 12.04.2011 | | Autor: | meso |
hei
ja falls ich es rausbekomme werde ich es euch sagen
danke nochmals an alle
glg melli
|
|
|
| |
|
> ja und wie kann ich die geometrisch finden?
>
> danke
Hallo meso,
ich bin es gewesen, der hier den Wunsch nach einer
geometrischen Lösung unterstützt hat. Grundsätzlich
finde ich es nämlich richtig, dass in der heutigen Zeit,
wo geometrische Lösungswege vielerorts allzusehr in
den Hintergrund gedrängt worden sind, gerade den geo-
metrischen Zugängen wieder mehr Beachtung geschenkt
werden sollte.
Nach mehrmaligen eigenen Versuchen, dieser Aufgabe
auf wirklich geometrischem Weg näher zu kommen und
nach den vielen anderen Antworten komme ich aber zum
Schluss, dass es wohl wirklich schwierig ist, für diese
Aufgabe einen genuin geometrischen Lösungsweg zu
finden, bei welchem die Lösungen wirklich durch einen
geometrischen Ansatz und eine sich daran anschließende
Konstruktion auffinden lassen.
Was aber gut möglich ist, ist die geometrische Veran-
schaulichung der drei "wesentlichen" Lösungen [mm] x=\frac{\pi}{6} [/mm] ,
[mm] x=\frac{\pi}{4} [/mm] und [mm] x=\frac{\pi}{2} [/mm] , aus welchen man durch die Symmetrien
der trigonometrischen Funktionen die übrigen Lösungen
herleiten kann.
Ob dem Aufgabensteller wirklich ein eigentlich geome-
trischer Lösungsweg vorschwebte, bei welchem man
die Lösungen (oder doch mal wenigstens eine davon)
wirklich auf rein geometrischem Weg findet , scheint
mir jetzt doch sehr zweifelhaft.
Kannst du uns darüber aufklären, sobald du es weißt ?
Und falls ja, sind wir brennend an dem geometrischen
Lösungsweg interessiert !
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > ja und wie kann ich die geometrisch finden?
> >
> > danke
>
>
> Hallo meso,
>
> ich bin es gewesen, der hier den Wunsch nach einer
> geometrischen Lösung unterstützt hat. Grundsätzlich
> finde ich es nämlich richtig, dass in der heutigen Zeit,
> wo geometrische Lösungswege vielerorts allzusehr in
> den Hintergrund gedrängt worden sind, gerade den geo-
> metrischen Zugängen wieder mehr Beachtung geschenkt
> werden sollte.
> Nach mehrmaligen eigenen Versuchen, dieser Aufgabe
> auf wirklich geometrischem Weg näher zu kommen und
> nach den vielen anderen Antworten komme ich aber zum
> Schluss, dass es wohl wirklich schwierig ist, für diese
> Aufgabe einen genuin geometrischen Lösungsweg zu
> finden, bei welchem die Lösungen wirklich durch einen
> geometrischen Ansatz und eine sich daran anschließende
> Konstruktion auffinden lassen.
> Was aber gut möglich ist, ist die geometrische Veran-
> schaulichung der drei "wesentlichen" Lösungen
> [mm]x=\frac{\pi}{6}[/mm] ,
> [mm]x=\frac{\pi}{4}[/mm] und [mm]x=\frac{\pi}{2}[/mm] , aus welchen man
> durch die Symmetrien
> der trigonometrischen Funktionen die übrigen Lösungen
> herleiten kann.
> Ob dem Aufgabensteller wirklich ein eigentlich geome-
> trischer Lösungsweg vorschwebte, bei welchem man
> die Lösungen (oder doch mal wenigstens eine davon)
> wirklich auf rein geometrischem Weg findet , scheint
> mir jetzt doch sehr zweifelhaft.
>
> Kannst du uns darüber aufklären, sobald du es weißt ?
> Und falls ja, sind wir brennend an dem geometrischen
> Lösungsweg interessiert !
>
> LG Al-Chwarizmi
>
ich weiß nicht, ob es hilft, aber:
Mithilfe der Additionstheoreme oder aber wegen [mm] $\cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2$ [/mm] folgt
[mm] $$\cos^2(x)=\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)\,,$$
[/mm]
womit
[mm] $$1=\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \cos(2x)+\cos(4x)+\cos(6x)=-1$$
[/mm]
folgt. Vielleicht kann man das ja besser geometrisch "verarbeiten".
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Mi 13.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, damit geht es geometrisch.
man will den "Pfeil"-1 als Summe dreier Pfeile der Länge 1 erreichen. das gibt lauter Rhomben, dann muss man unter den Rhomben mit den Pfelprojektionen cosa+cosb+cosc=-1 davon muss man nur noch die bestimmen mit b=a+a, c=b+a.
das kann wenigstens als geometrische konstruktion durchgehen, da man die Rhomben ja mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> Ja, damit geht es geometrisch.
> man will den "Pfeil"-1 als Summe dreier Pfeile der Länge
> 1 erreichen. das gibt lauter Rhomben, dann muss man unter
> den Rhomben mit den Pfeilprojektionen cosa+cosb+cosc=-1
> davon muss man nur noch die bestimmen mit b=a+a, c=b+a.
> das kann wenigstens als geometrische Konstruktion
> durchgehen, da man die Rhomben ja mit Zirkel und Lineal
> konstruieren kann.
> gruss leduart
Hallo leduart,
ich verstehe das mit den Rhomben noch nicht so recht.
Ob man diese Lösung, bei der man ja wohl bestimmte
Rhomben oder andere Figuren nur konstruieren kann,
wenn man jeweils von einem vorgegebenen Winkel aus-
geht, als "geometrische Lösung" für die Auffindung eben
gerade dieses Winkels gelten lassen kann, scheint mir
doch zweifelhaft.
Von einer eigentlich geometrischen Lösung einer Gleichung
würde ich in dem Sinne "Stetigkeit" erwarten, dass sie auch
noch dann funktioniert, wenn man die Gleichung ein wenig
verändert, wenn man also im vorgegebenen Beispiel etwa
von der Gleichung
$\ [mm] cos^2(\alpha)\ [/mm] +\ [mm] cos^2(2\,\alpha)\ [/mm] +\ [mm] cos^2(3\,\alpha)\ [/mm] =\ 1$
zur leicht abgeänderten Gleichung
$\ [mm] cos^2(\alpha)\ [/mm] +\ [mm] cos^2(2\,\alpha)\ [/mm] +\ [mm] cos^2(3\,\alpha)\ [/mm] =\ 1.1$
übergeht. Nun hat zwar die erste Gleichung (um die es
in diesem Thread eigentlich geht), Lösungen, die auch
mit Zirkel und Lineal leicht konstruierbar sind. Für die
abgeänderte Gleichung gilt dies aber überhaupt nicht
mehr. Auch wenn man ihre Lösungen allenfalls noch
algebraisch ausdrücken könnte: konstruierbar mit Zirkel
und Lineal sind sie jedenfalls nicht (wenn ich mich nicht
sehr täusche).
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Do 14.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo
> > Ja, damit geht es geometrisch.
> > man will den "Pfeil"-1 als Summe dreier Pfeile der
> Länge
> > 1 erreichen. das gibt lauter Rhomben, dann muss man unter
> > den Rhomben mit den Pfeilprojektionen cosa+cosb+cosc=-1
> > davon muss man nur noch die bestimmen mit b=a+a, c=b+a.
> > das kann wenigstens als geometrische Konstruktion
> > durchgehen, da man die Rhomben ja mit Zirkel und Lineal
> > konstruieren kann.
> > gruss leduart
>
>
> Hallo leduart,
>
> ich verstehe das mit den Rhomben noch nicht so recht.
ich hab's auch noch nicht durchblickt, aber auch noch nicht wirklich drüber nachgedacht.
> Ob man diese Lösung, bei der man ja wohl bestimmte
> Rhomben oder andere Figuren nur konstruieren kann,
> wenn man jeweils von einem vorgegebenen Winkel aus-
> geht, als "geometrische Lösung" für die Auffindung eben
> gerade dieses Winkels gelten lassen kann, scheint mir
> doch zweifelhaft.
> Von einer eigentlich geometrischen Lösung einer
> Gleichung
> würde ich in dem Sinne "Stetigkeit" erwarten, dass sie
> auch
> noch dann funktioniert, wenn man die Gleichung ein wenig
> verändert, wenn man also im vorgegebenen Beispiel etwa
> von der Gleichung
>
> [mm]\ cos^2(\alpha)\ +\ cos^2(2\,\alpha)\ +\ cos^2(3\,\alpha)\ =\ 1[/mm]
>
> zur leicht abgeänderten Gleichung
>
> [mm]\ cos^2(\alpha)\ +\ cos^2(2\,\alpha)\ +\ cos^2(3\,\alpha)\ =\ 1.1[/mm]
>
> übergeht.
Das finde ich nun allerdings übertrieben. (Ich hoffe, dass es beim Lesen nicht "böse" ankommt - es ist nur meine subjektive Meinung. Leider wirkt der Ton hier vielleicht schärfer, als er es sollte: Also bitte nicht übel nehmen!) Es mag ja sein, dass Du das erwartest oder gerne hättest, allerdings wüßte ich nicht, warum das ein Kriterium für eine geometrische Lösung sein kann. Es gibt sicherlich Aufgaben, die geometrisch lösbar sind, aber die Aufgabe nur aufgrund spezieller Vorgaben eine geometrische Lösung hat. Übrigens erwarte ich von einer "geometrischen Lösung" nicht, dass die Lösungen geometrisch gefunden werden, sondern vielmehr, dass man geometrisch zeigen kann, dass die Lösungen Lösungen sind und es keine weiteren gibt. Ob das aufgrund eines Konstruktionsverfahrens oder wie auch immer geschieht, ist mir dann egal. Wichtig ist eigentlich nur, dass "geometrisch argumentiert" wird.
> Nun hat zwar die erste Gleichung (um die es
> in diesem Thread eigentlich geht), Lösungen, die auch
> mit Zirkel und Lineal leicht konstruierbar sind. Für die
> abgeänderte Gleichung gilt dies aber überhaupt nicht
> mehr. Auch wenn man ihre Lösungen allenfalls noch
> algebraisch ausdrücken könnte: konstruierbar mit Zirkel
> und Lineal sind sie jedenfalls nicht (wenn ich mich nicht
> sehr täusche).
Naja: Ein Aufgabensteller muss ja nicht Deine Erwarungen erfüllen. Oder gibt es eine mathematische Definition, was man unter einer "geometrischen Lösung" zu verstehen hat? Ansonsten erwartest Du halt vielleicht einfach zu viel. 
Lieben Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> > Von einer eigentlich geometrischen Lösung einer Gleichung
> > würde ich in dem Sinne "Stetigkeit" erwarten, dass sie auch
> > noch dann funktioniert, wenn man die Gleichung ein wenig
> > verändert, wenn man also im vorgegebenen Beispiel
> > etwa von der Gleichung
> > [mm]\ cos^2(\alpha)\ +\ cos^2(2\,\alpha)\ +\ cos^2(3\,\alpha)\ =\ 1[/mm]
> > zur leicht abgeänderten Gleichung
> > [mm]\ cos^2(\alpha)\ +\ cos^2(2\,\alpha)\ +\ cos^2(3\,\alpha)\ =\ 1.1[/mm]
> > übergeht.
>
> Das finde ich nun allerdings übertrieben. (Ich hoffe, dass
> es beim Lesen nicht "böse" ankommt - es ist nur meine
> subjektive Meinung. Leider wirkt der Ton hier vielleicht
> schärfer, als er es sollte: Also bitte nicht übel
> nehmen!) Es mag ja sein, dass Du das erwartest oder gerne
> hättest, allerdings wüßte ich nicht, warum das ein
> Kriterium für eine geometrische Lösung sein kann. Es gibt
> sicherlich Aufgaben, die geometrisch lösbar sind, aber die
> Aufgabe nur aufgrund spezieller Vorgaben eine geometrische
> Lösung hat. Übrigens erwarte ich von einer "geometrischen
> Lösung" nicht, dass die Lösungen geometrisch gefunden
> werden, sondern vielmehr, dass man geometrisch zeigen kann,
> dass die Lösungen Lösungen sind und es keine weiteren
> gibt. Ob das aufgrund eines Konstruktionsverfahrens oder
> wie auch immer geschieht, ist mir dann egal. Wichtig ist
> eigentlich nur, dass "geometrisch argumentiert" wird.
>
> > Nun hat zwar die erste Gleichung (um die es
> > in diesem Thread eigentlich geht), Lösungen, die auch
> > mit Zirkel und Lineal leicht konstruierbar sind. Für die
> > abgeänderte Gleichung gilt dies aber überhaupt nicht
> > mehr. Auch wenn man ihre Lösungen allenfalls noch
> > algebraisch ausdrücken könnte: konstruierbar mit
> > Zirkel und Lineal sind sie jedenfalls nicht (wenn ich mich
> > nicht sehr täusche).
>
> Naja: Ein Aufgabensteller muss ja nicht Deine Erwarungen
> erfüllen. Oder gibt es eine mathematische Definition, was
> man unter einer "geometrischen Lösung" zu verstehen hat?
> Ansonsten erwartest Du halt vielleicht einfach zu viel.
>
>
> Lieben Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
zuerst mal: keine Bange, dass das bei mir in irgendeiner
Form "böse" angekommen wäre.
Einen Lösungsweg, der ganz zentral auf algebraischen
Umformungen und zusätzlich darauf beruht, dass es
(wie "zufällig") gewisse spezielle Lösungen gibt, kann
ich nicht gut als "geometrischen Lösungsweg" durch-
gehen lassen, auch wenn es dann möglich ist, die Lö-
sungen zum Schluss noch geometrisch zu bestätigen.
In der algebraischen Lösung kommt man ausgehend
von einer zunächst kubischen Gleichung für einen
Cosinus durch Faktorisieren zur Aufspaltung in eine
lineare und eine quadratische Gleichung mit den
"schönen" Lösungen. Falls man diese Zerlegung auch
geometrisch nachvollziehen kann (irgendwie sollte
dies auch möglich sein), hätte man das, was mir
unter "geometrischer Lösung" vorschwebt ...
Deine Umformung von $ [mm] 1=\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x) [/mm] $
zu $ [mm] \cos(2x)+\cos(4x)+\cos(6x)=-1 [/mm] $
fand ich aber wirklich glänzend !
Was der Aufgabensteller sich wirklich unter der
verlangten geometrischen Lösung vorgestellt hat,
würde mich nach wie vor interessieren - ich hoffe,
dass meso uns darüber noch aufklären wird.
LG Al
|
|
|
| |
|
> Mithilfe der Additionstheoreme oder aber wegen
> [mm]\cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2[/mm] folgt
> [mm]\cos^2(x)=\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)\,,[/mm]
> womit
> [mm]1=\cos^2(x)+\cos^2(2x)+\cos^2(3x)[/mm]
> [mm]\gdw \cos(2x)+\cos(4x)+\cos(6x)=-1[/mm]
> folgt. Vielleicht kann
> man das ja besser geometrisch "verarbeiten".
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
mit dieser Umformung hast du mich zu folgender
Veranschaulichung angeregt:
1.) Markiere im Koordinatensystem die Punkte
O(0,0) und N(-1,0) sowie die Gerade g: [mm] x_1=-1
[/mm]
(Parallele zur [mm] x_2 [/mm] - Achse durch N)
2.) Ergänze den Pfeil [mm] \overrightarrow{NO} [/mm] durch Anfügen der
weiteren Pfeile [mm] \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{QR} [/mm] zu einem regelmäßigen
Polygonzug NOPQR. Alle Pfeile sollen Einheitsvektoren
sein und alle "Knickwinkel" des Polygonzuges seien
gleich groß.
3.) Bei Variation des Knickwinkels wandert der Endpunkt
R des Polygonzugs in der Ebene. Nun geht es darum,
solche Werte für den Knickwinkel zu finden, für welche
der Punkt R auf die Gerade g zu liegen kommt.
Man stellt dann fest, dass es z.B. im Intervall von 0° bis
180° nur einzelne bestimmte derartige Winkel geben kann.
Der kleinste mögliche positive Wert ist 60°, für welchen
NOPQR Teil des Umfangs eines regelmäßigen 6-Ecks ist.
Der zugehörige Winkel, der die obige Gleichung löst, ist
60°/2 = 30° = [mm] \frac{\pi}{6}.
[/mm]
Nächster möglicher Wert ist der Knickwinkel 90°, für welchen
ein Quadrat entsteht, und somit x=45°= [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] .
Schließlich geht noch x=90°= [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] . Der Polygonzug sieht dann
wie ein ![[]](/images/popup.gif) zusammengefaltetes Metermaß aus.
Die übrigen möglichen Lösungen der Gleichung ergeben
sich durch Vorzeichenwechsel und durch die Periodizität.
Ob dies nun eine "geometrische Lösung" ist oder nicht,
könnt ihr euch selber aussuchen ...
Man könnte sie z.B. sehr schön in Cabri Géomètre als
dynamisches Arbeitsblatt realisieren.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Hallo zusammen, ich habe nun noch die Idee mit dem
Applet in die Tat umgesetzt, aber nicht mit Cabri,
sondern mit GeoGebra:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Liebe Grüße von Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: html) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 13.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Mo 16.05.2011 | | Autor: | meso |
Hallo
wenn ihr euch noch erinnert, hatte ich damals die aufgabe die Gleichung [mm] cosx^2 [/mm] + [mm] cos2x^2 [/mm] + [mm] cos3x^2 [/mm] = 1 geometrisch zu lösen.
es ist nur eine geometrische veranschaulichung der analytischen lösung möglich, man kann zeigen, dass (z.B. Pi/4) im Einheitskreis das Quadrat über der Hypothenuse 1 ist. nach dem Satz des Pythagoras ist in einem rechwinkligen dreieck das quadrat über der Hypothenuse gleich dem quadrat über die Kathete. wenn man den cos und den sin im einheitskreis einzeichnet dann bekommt man ein rechtwinkliges dreieck. analog für die anderen lösungen.
glg meso
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Di 17.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo
> wenn ihr euch noch erinnert, hatte ich damals die aufgabe
> die Gleichung [mm]cosx^2[/mm] + [mm]cos2x^2[/mm] + [mm]cos3x^2[/mm] = 1 geometrisch zu
> lösen.
Jetzt liest sich das so wie [mm] $\cos(x^2) [/mm] + [mm] \cos(2 \cdot x^2) [/mm] + [mm] \cos(3 \cdot x^2) [/mm] = 1$.
Ich hab das mal in eine Mitteilung umgewandelt und in den richtigen Thread verschoben, denn mit Kontext macht das ganze mehr Sinn :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
> Moin!
>
> > Hallo
> > wenn ihr euch noch erinnert, hatte ich damals die aufgabe
> > die Gleichung [mm]cosx^2[/mm] + [mm]cos2x^2[/mm] + [mm]cos3x^2[/mm] = 1 geometrisch zu
> > lösen.
>
> Jetzt liest sich das so wie [mm]\cos(x^2) + \cos(2 \cdot x^2) + \cos(3 \cdot x^2) = 1[/mm].
... was aber in der früheren Aufgabe keinesfalls gemeint war !
Mit der neuen Gleichung hätten wir wirklich eine ganz neue
Aufgabe, welche mit der ursprünglichen
[mm]\ (cos(x))^2 + (cos(2 \cdot x))^2 + (cos(3 \cdot x))^2 = 1[/mm]
nichts als eine oberflächliche (typografische) Ähnlichkeit
oder besser gesagt Verwechslungsmöglichkeit verbindet.
Bei der "neuen" Gleichung sind außerdem wohl alle Versuche,
ihr mit geometrischen Mitteln beizukommen, hoffnungslos !
Denn wie man die Quadratwurzel x aus einem Winkel [mm] x^2 [/mm] kon-
struieren soll, ist wirklich rätselhaft ...
> Ich hab das mal in eine Mitteilung umgewandelt und in den
> richtigen Thread verschoben, denn mit Kontext macht das
> ganze mehr Sinn :)
>
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
> Hallo
> wenn ihr euch noch erinnert, hatte ich damals die aufgabe
> die Gleichung [mm]cosx^2[/mm] + [mm]cos2x^2[/mm] + [mm]cos3x^2[/mm] = 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> geometrisch zu lösen.
Wir hatten damals die Gleichung [mm] cos^2(x)+cos^2(2\,x)+cos^2(3\,x)=1
[/mm]
> es ist nur eine geometrische veranschaulichung der
> analytischen lösung möglich, man kann zeigen, dass (z.B.
> Pi/4) im Einheitskreis das Quadrat über der Hypothenuse 1
> ist. nach dem Satz des Pythagoras ist in einem
> rechwinkligen dreieck das quadrat über der Hypothenuse
> gleich dem quadrat über die Kathete. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> wenn man den cos und
> den sin im einheitskreis einzeichnet dann bekommt man ein
> rechtwinkliges dreieck. analog für die anderen lösungen.
Dies soll wohl eine Rückmeldung über die "offizielle" Lösung
der damaligen Aufgabe sein. Wie wir schon damals vermuteten,
geht es nicht um eine eigentliche Lösung mit geometrischen
Mitteln, sondern nur um eine "nachträgliche" Veranschaulichung
von Lösungen, die zunächst rechnerisch bestimmt wurden.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
![[]](http://www.antstore.net/shop/images/product_images/popup_images/zollstock-metermass_2m.jpg){kind=small}
zusammengefaltetes Metermaß