Gleichung für Mengen beweisen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Mi 10.06.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Zeigen Sie mittels Aussagenlogik, dass die folgende Gleichung für Mengen allgemeingültig ist:
[mm] $L\setminus [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) = (L [mm] \setminus [/mm] M) [mm] \cap [/mm] (L [mm] \setminus [/mm] N)$ |
Hallo Zusammen,
soweit stimmt die Gleichung, habe es mir als Erstes anhand von Venn-Diagrammen veranschaulicht. Nur habe ich ein Problem dies mittels Aussagenlogik zu zeigen. Ich habe dann noch die Mengendefinition jeweils aufgeschrieben:
M [mm] \cup [/mm] N = {x| x [mm] \in [/mm] M oder x [mm] \in [/mm] N}
[mm] L\setminus [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) = {x| [mm] x\in [/mm] L ohne x [mm] \in [/mm] M oder [mm] x\in [/mm] N}
L [mm] \setminus [/mm] M = {x| x [mm] \in [/mm] L ohne x [mm] \in [/mm] M}
L [mm] \setminus [/mm] N = {x| x [mm] \in [/mm] L ohne x [mm] \in [/mm] N}
(L [mm] \setminus [/mm] M) [mm] \cap [/mm] (L [mm] \setminus [/mm] N) = {x| x [mm] \in [/mm] L ohne x [mm] \in [/mm] M und x [mm] \in [/mm] N}
Nun müsste man doch diese beiden Mengen (L [mm] \setminus [/mm] M) [mm] \cap [/mm] (L [mm] \setminus [/mm] N) = {x| x [mm] \in [/mm] L ohne x [mm] \in [/mm] M und x [mm] \in [/mm] N} und [mm] L\setminus [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) = {x| [mm] x\in [/mm] L ohne x [mm] \in [/mm] M oder [mm] x\in [/mm] N} auf Gleicheit untersuchen?
Bin ich damit auf dem Holzweg?
Wie zeigt man mittels Aussagenlogik, dass diese Gleichung stimmt?
Gruß
itse
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> Zeigen Sie mittels Aussagenlogik, dass die folgende
> Gleichung für Mengen allgemeingültig ist:
>
> [mm]L\setminus (M \cup N) = (L \setminus M) \cap (L \setminus N)[/mm]
>
> Hallo Zusammen,
>
> soweit stimmt die Gleichung, habe es mir als Erstes anhand
> von Venn-Diagrammen veranschaulicht. Nur habe ich ein
> Problem dies mittels Aussagenlogik zu zeigen. Ich habe dann
> noch die Mengendefinition jeweils aufgeschrieben:
>
> M [mm]\cup[/mm] N = [mm] \{x| x\in M \quad oder \quad x \in N\}
[/mm]
Hallo,
richtig.
>
> [mm]L\setminus[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) [mm] =\{x| x\in\quad L\quad ohne\quad x\in M \quad oder \quad x\in N\}
[/mm]
So kannst Du das nicht schreiben, sondern
...= [mm] \{x|x\in \quadL \quad und \quad x\not\in (M\cup N)\}
[/mm]
= [mm] \{x|x\in \quad L \quad und \quad x\not\in \quad M \quad und \quad x\not\in N \}
[/mm]
Bei den anderen Mengen entsprechend.
Die Gleichheit von Mengen bedeutet ja, daß sie dieselben Elemente enthalten, daß jedes Element der einen auch in der anderen liegt und umgekehrt.
Für A=B ist also zu zeigen
i) [mm] A\subseteq [/mm] B
ii) [mm] B\subseteq [/mm] A
bzw.
i) [mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] B
ii) [mm] x\in [/mm] B ==> [mm] x\in [/mm] A.
Im Prinzip ist das auch das, was Du tun wolltest.
Elementweise schreibt es sich besser, weil man nicht mit den Mengenklammern herumwurschteln muß.
Natürlich kann man in vielen Fälle beide Richtungen in einem Abwasch erledigen, ich rate für den Anfang davon ab, weil man zu leicht Fehler macht.
Wenn man sieht, das die beiden Richtungen wirklich haargenauso funktionieren, kann man es für den Zettle, den man abgibt, ja immer noch mit Äquivalenzpfeilen formulieren.
Für i) zu zeigen wäre also
[mm] x\in L\setminus [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) ==> [mm] x\in [/mm] (L [mm] \setminus [/mm] M) [mm] \cap [/mm] (L [mm] \setminus [/mm] N)
Du kannst das etwa so machen.
Wichtig hierbei ist, daß ich jeden Schritt begründe.
Beweis:
Sei [mm] x\in L\setminus [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N)
==>
[mm] x\in [/mm] L und [mm] x\not\in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) (nach Def. der Differenz von Mengen)
==>
[mm] x\in [/mm] L und [mm] x\in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) ^c (nach Def. Komplement)
==>
[mm] x\in [/mm] L und [mm] x\in (A^c \cap B^c) [/mm] (de Morgan)
==>
[mm] x\in [/mm] L und [mm] (x\in A^c [/mm] und [mm] x\in B^c) [/mm] (Def. Durchschnitt)
==>
....
Versuch's jetzt mal zum Ende zu bringen
gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 So 14.06.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Für i) zu zeigen wäre also
>
> [mm]x\in L\setminus[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) ==> [mm]x\in[/mm] (L [mm]\setminus[/mm] M) [mm]\cap[/mm]
> (L [mm]\setminus[/mm] N)
>
> Du kannst das etwa so machen.
> Wichtig hierbei ist, daß ich jeden Schritt begründe.
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]x\in L\setminus[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N)
>
> ==>
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> [mm]x\in[/mm] L und [mm]x\not\in[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) (nach Def. der Differenz
> von Mengen)
>
> ==>
>
> [mm]x\in[/mm] L und [mm]x\in[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) ^c (nach Def. Komplement)
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> [mm]x\in[/mm] L und [mm]x\in (A^c \cap B^c)[/mm] (de Morgan)
>
> ==>
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> [mm]x\in[/mm] L und [mm](x\in A^c[/mm] und [mm]x\in B^c)[/mm] (Def. Durchschnitt)
>
> ==>
>
> ....
>
> Versuch's jetzt mal zum Ende zu bringen
==> [mm] (x\in [/mm] L und [mm] x\in A^c) [/mm] und [mm] (x\in [/mm] L und [mm] x\in B^c) [/mm] Auflösen der Klamern, wie kann man diesen Schritt begründen?
==> [mm] x\in (L\setminus A^c) [/mm] und [mm] (L\setminus B^c) [/mm] nach Def. Differenz
==> [mm] x\in (L\setminus [/mm] M) [mm] \cap (L\setminus [/mm] N)
Kann man dies so schreiben, oder fehlen wichtige Schritte mit Begründung?
Gruß
itse
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Hallo itse,
> Hallo,
>
> > Für i) zu zeigen wäre also
> >
> > [mm]x\in L\setminus[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) ==> [mm]x\in[/mm] (L [mm]\setminus[/mm] M) [mm]\cap[/mm]
> > (L [mm]\setminus[/mm] N)
> >
> > Du kannst das etwa so machen.
> > Wichtig hierbei ist, daß ich jeden Schritt begründe.
> >
> > Beweis:
> >
> > Sei [mm]x\in L\setminus[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N)
> >
> > ==>
> >
> > [mm]x\in[/mm] L und [mm]x\not\in[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) (nach Def. der Differenz
> > von Mengen)
> >
> > ==>
> >
> > [mm]x\in[/mm] L und [mm]x\in[/mm] (M [mm]\cup[/mm] N) ^c (nach Def. Komplement)
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> > ==>
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> > [mm]x\in[/mm] L und [mm]x\in (A^c \cap B^c)[/mm] (de Morgan)
> >
> > ==>
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> > [mm]x\in[/mm] L und [mm](x\in A^c[/mm] und [mm]x\in B^c)[/mm] (Def. Durchschnitt)
> >
> > ==>
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> > ....
> >
> > Versuch's jetzt mal zum Ende zu bringen
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> ==> [mm](x\in[/mm] L und [mm]x\in A^c)[/mm] und [mm](x\in[/mm] L und [mm]x\in B^c)[/mm]
> Auflösen der Klamern, wie kann man diesen Schritt
> begründen?
Mit der Assoziativität des logischen [mm] $\wedge$: $p\wedge(q\wedge r)\equiv (p\wedge q)\wedge [/mm] r$
Aber wo kommen $A$ und $B$ her? Früher hießen diese Mengen noch $M$ und $N$ 
Eigentlich hast du ja auch noch ein "zusätzliches" [mm] $x\in [/mm] L$ dazugeschrieben, das würde ich vllt. noch vermerken.
Dass das geht, ist natürlich klar, denn [mm] $p\equiv p\wedge [/mm] p$
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> ==> [mm]x\in (L\setminus A^c)[/mm] und [mm](L\setminus B^c)[/mm] nach Def.
> Differenz
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> ==> [mm]x\in (L\setminus[/mm] M) [mm]\cap (L\setminus[/mm] N) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aha, hier wieder $M$ und $N$ ...
>
> Kann man dies so schreiben, oder fehlen wichtige Schritte
> mit Begründung?
Das ist so vollkommen in Ordnung
>
> Gruß
> itse
LG
schachuzipus
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