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Gleichung finden: wie löst man das GS
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Fr 04.05.2007
Autor: mathmetzsch

Aufgabe
Finden Sie eine Differentialgleichung der Form [mm] y''''+a_{3}y'''+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0 [/mm] , so dass die Funktionen [mm] e^{\pi*x}, e^{-3}x, e^{x}cos(5x), e^{x}sin(5x) [/mm] Lösungen sind.


Hallo an Alle,

also ich weiß, wie man das löst. Man berechnet von all diesen Funktionen die ersten bis vierten Ableitungen und löst das entstehende GS. Mein Problem ist das Gleichungssystem. Das scheint mir zu schwierig zu sein, als das man es per Gaußalgorithmus lösen könnte, oder? Hat jemand ne Idee, wie man das möglichst einfach lösen kann? Hier noch mal mein GS:

[mm] (I)\pi^{4}e^{\pi*x}+\pi^{3}e^{\pi*x}a_{3}+\pi^{2}e^{\pi*x}a_{2}+\pi^{1}e^{\pi*x}a_{1}+e^{\pi*x}a_{0}=0 [/mm]
[mm] (II)a_{1}*e^{-3}+a_{0}e^{-3}*x=0 [/mm]
[mm] (III)e^{x}(476cos(5x)+480sin(5x))+a_{3}e^{x}(-74cos(5x)+110sin(5x))+a_{2}e^{x}(-24cos(5x)-10sin(5x))+a_{1}e^{x}(cos(5x)-5sin(5x))+a_{0}e^{x}cos(5x)=0 [/mm]
[mm] (IV)e^{x}(476sin(5x)-480cos(5x))+a_{3}e^{x}(-74sin(5x)-110cos(5x))+a_{2}e^{x}(-24sin(5x)+10cos(5x))+a_{1}e^{x}(sin(5x)+5cos(5x))+a_{0}e^{x}sin(5x)=0 [/mm]

Bitte um Hilfe!
Schöne Grüße, Daniel

        
Bezug
Gleichung finden: charakteristische Gleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Fr 04.05.2007
Autor: Loddar

Hallo Daniel!


Die angegebenen Lösungen deuten doch auf die Nullstellen der charakteristischen Gleichung hin:

[mm] $k^4+a_3*k^3+a_2*k^2+a_1*k+a_0 [/mm] \ = \ 0$

In seine Linearfaktoren der einzelnen Lösungen zerlegt ergibt sich hier:

[mm] $(k-\pi)*(k+3)*(k-1+5i)*(x-1-5i) [/mm] \ = \ $


Wenn Du diese Klammern nun ausmultiplizierst, führt ein Koeffzientenvergleich zum Ziel.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Gleichung finden: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Fr 04.05.2007
Autor: Loddar

Hallo Daniel!


Soll die eine Lösung wirklich [mm] $e^{-3}*x [/mm] \ = \ [mm] x*\bruch{1}{e^3}$ [/mm] und nicht [mm] $e^{-3*x}$ [/mm] heißen?

Dann stimmt mein o.g. Ansatz nicht ... [kopfkratz3]


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Gleichung finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Fr 04.05.2007
Autor: mathmetzsch

Hallo Loddar,

also es soll tatsächlich [mm] e^{-3}*x [/mm] heißen. Das mit dem GS müsste doch zum Ziel führen oder??? Die Frage ist nur wie ich es löse. Oder hast du noch ne andere Idee?

Grüße, Daniel

Bezug
                        
Bezug
Gleichung finden: Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:35 Fr 04.05.2007
Autor: Loddar

Hallo Daniel!


Da dieses Gleichungssystem für alle $x [mm] \in [/mm] D$ gelten und erfüllt sein soll, könnte es doch ausreichen, sich ein spezielles $x_$ wie z.B. $x \ = \ 0$ auszuwählen, und damit die Koeffizienten zu bestimmen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Gleichung finden: Brett...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:40 Fr 04.05.2007
Autor: mathmetzsch

Ahh...stimmt. [bonk]

Da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf.

Danke!
LG Daniel

Bezug
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