Gleichung der Tangente < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Di 17.06.2008 | | Autor: | matze3 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Kurvenschar
y=f(x)=ax²+3
Für welches a hat die Kurve in x=-1 den Anstieg 1,5?
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an diese Kurve an der Stelle x=-1!
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Bei der oben genannten Aufgabe habe ich folgenden Lösungsweg aufgestellt!
y=f(x)=ax²+3
f(-1)=(-1)²=1+3=4
y=4
Bin mir nicht sicher ob ich richtig liege. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.
Vielen Dank im Vorraus.
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> Gegeben sei die Kurvenschar
>
> [mm] y=f_a(x)=ax²+3
[/mm]
>
> Für welches a hat die Kurve in x=-1 den Anstieg 1,5?
> Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an diese Kurve an
> der Stelle x=-1!
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, das , was Du getan hast, war nicht richtig.
Es geht hier um die Steigung der Kurve. Die Kurve soll im Punkt x=-1 die Steigung 1.5 haben.
Steigung der Kurve in einem Punkt=Ableitung der Funktion in einem Punkt.
Du mußt also erstmal [mm] f_a(x)=ax²+3 [/mm] ableiten.
Behandele dabei den Parameter a so, als stünde irgendeine Zahl dort.
(Falls Du damit Probleme hast, leite als Vorübung [mm] f_7(x)=7x^2+3 [/mm] ab.)
Wenn Du [mm] f^{'}_a(x) [/mm] dastehen hast, setze für x die -1 ein und rechne aus, wie Du a wählen mußt, damit [mm] f^{'}_a(-1)=1.5.
[/mm]
Danach geht's dann weiter mit der Gleichung der Tangente, aber vorher brauchst Du das geforderte a.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Di 17.06.2008 | | Autor: | matze3 |
Danke für die schnelle Antwort!
Stehe auf dem Schlauch. Bin ich wenigstens auf dem richtigen Pfad?
fa(x)=ax²-3
fa(-1)=-1x²-3
f'a(x)=-2x
f'(-1)=-2 [mm] \cdot(-0,75)=1,5
[/mm]
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> Danke für die schnelle Antwort!
> Stehe auf dem Schlauch. Bin ich wenigstens auf dem
> richtigen Pfad?
Hallo,
nicht so richtig.
>
> [mm] f_a(x)=ax²-3
[/mm]
>
> [mm] f_a(-1)=-1x²-3
[/mm]
Wenn Du Dich aus irgendwelchen Gründen für den Funktionswert von [mm] f_a [/mm] an der Stelle -1 interessierst, mußt Du doch für x die -1 einsetzen und nicht für a.
Hast Du verstanden, was eine Funktionenschar ist? Eine Funktionenschar besteht aus ganz vielen Funktionen.
Hier z.B.
[mm] f_{-3}(x)=-3*x²-3
[/mm]
[mm] f_{-\wurzel{2}}(x)=-\wurzel{2}x^2-3
[/mm]
[mm] f_{-1.5}(x)=-1.5x^2-3
[/mm]
[mm] f_0(x)=-3
[/mm]
[mm] f_{1.5}(x)=1.5x^2-3
[/mm]
[mm] f_{\wurzel{2}}(x)=\wurzel{2}x^2-3
[/mm]
[mm] f_{3}(x)=3*x²-3
[/mm]
Statt diese unendlich vielen Funktionen (alles Parabeln mit Scheitel (0/-3) zu untersuchen, untersucht man [mm] f_a(x)=ax²-3.
[/mm]
Du sollst nun unter all den Parabeln obiger Bauart die aufspüren, deren Ableitung an der Stelle x=-1 den Wert 1.5 hat.
Was ist denn die Ableitung von [mm] f_a(x)=ax²-3 [/mm] ?
(Wie man hier ableitet, hatte ich Dir zuvor erklärt.)
Wenn Du das hast, berechne die Ableitung an der Stelle x=-1, indem Du bei [mm] f^{'}_a(x) [/mm] für x die -1 einsetzt.
Dieses Ergebnis setze =1.5, denn die Ableitung an der Stelle -1 soll ja 1.5 sein.
Und nun kannst Du Dein a errechnen.
Wenn Du das hast, weißt Du, was Du für a einsetzen mußt, damit [mm] f_a(x) [/mm] bei x=-1 die Ableitung 1.5 hat.
Danach kann es weitergehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 17.06.2008 | | Autor: | matze3 |
Sorry, ich hänge total.
f7(x)=7x²-3
f'7(x)=14x
Was wäre denn die Ableitung von fa(x)=ax²-3?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Di 17.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matze!
Betrachte den Parameter $a_$ wie eine Konstante.
[mm] $7*x^2$ [/mm] ergibt $7*2x_$ als Ableitung.
[mm] $55*x^2$ [/mm] ergibt $55*2x_$ als Ableitung.
[mm] $-4*x^2$ [/mm] ergibt $-4*2x_$ als Ableitung.
[mm] $a*x^2$ [/mm] ergibt also ...
Gruß
Loddar
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Hi,
eigentlich bin ich der Ansicht, dass Loddar und Angela dir das sehr gut erklärt haben aber ich will dazu auch noch was sagen.
Iht habt doch in der Schule die Faktorregel zur Ableitung durch genommen oder?
Die Faktorregel lautet: [mm] \\f(x)=c\cdot\\x^{n} [/mm] Als Ableitung gilt dann [mm] \\f'(x)=c\cdot\\n\cdot\\x^{n-1}
[/mm]
Das was du zu tun hast ist nun für [mm] \\c [/mm] einfach [mm] \\a [/mm] einsetzen und für [mm] \\n [/mm] die [mm] \\2 [/mm] einsetzen.
Jetzt müsste dir ein Licht aufgehen ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mi 18.06.2008 | | Autor: | matze3 |
Hallo!
Wie sieht es jetzt mit meiner Lösung aus?
y=fa(x)=ax²-3
[mm] f'a(x)=a\cdot2x
[/mm]
[mm] f'a(-1)=a\cdot2\cdot(-1)=1,5 [/mm] /:-2
a=-0,75
mfg Matze
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Hallo,
a=-0,75 ist korrekt, du brauchst aber noch die Tangentengleichung, allgemein y=mx+n, du kennst schon den Anstieg m=1,5 und der Punkt (-1; f(-1)) gehört auch zur Tagente, damit ist es dir möglich, n zu berechnen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Sa 28.06.2008 | | Autor: | matze3 |
Hallo allerseits!
> a=-0,75 ist korrekt, du brauchst aber noch die
> Tangentengleichung, allgemein y=mx+n, du kennst schon den
> Anstieg m=1,5 und der Punkt (-1; f(-1)) gehört auch zur
> Tagente, damit ist es dir möglich, n zu berechnen.
y=mx+n
[mm] y=f(-1)=1,5\cdot(-1)+n
[/mm]
[mm] n\Rightarrow-0,5
[/mm]
[mm] y=f(-1)=1,5\cdot(-1)+(-0,5)
[/mm]
Ist bei dieser Lösung etwas verwertbares dabei?
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Guten Morgen,
du hast diese Funktion:
f(x)=ax²+3
Gefragt ist nun nach dem Wert für a, an der Stelle x=-1 und dem Anstieg an dieser Stelle von 1,5.
Weil du hier den Anstieg gegeben hast, musst du die erste Ableitung deiner Funktion bilden. Diese gibt dir nämlich den Anstieg an einer bestimmten Stelle an.
Die erste Ableitung:
f'(x)=2ax
Nun weist du, dass du an der Stelle x=-1 den Anstieg 1,5 hast. Das bedeutet du setzt das nun in die Ableitungsfunktion ein:
1,5=2*a*(-1)
Das ganze musst du nun nach a auflösen:
[mm] a=-\bruch{3}{4}
[/mm]
Damit kennst du schonmal dein a.
Nun sollt du die Tangente an der Kurve [mm] f(x)=-\bruch{3}{4}*x^{2}+3 [/mm] anlegen. Und das an der Stelle x=-1. Damit du weist, an welcher Koordinate du genau die Tangente anlegen musst, setzt du -1 nun in die Funktionsgleichung ein. Damit bekommst du als Koordinate den Punkt P(-1/2,25) heraus.
Nun kennst du die allgemeine Formel für eine Gerade:
y=mx + n
du kennst x, y und m. Das bedeutet du musst nur noch n ausrechnen
2,25=1,5*(-1)+n
n=-1,5
Damit gilt für deine Tangente: y=1,5x-1,5
Viele Grüsse
MatheSckell
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