Gleichung der Kugel bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 01.10.2009 | | Autor: | sunny9 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel K, die durch die Punkte A(7/5/6), B(4/-2/10), C(0/1/9) geht und die Ebene [mm] E:2x_1+2x_2+x_3=31 [/mm] berührt. (Anleitung: Für die Ortsvektoren der Punkte A,B,C muss [mm] (\vec a-\vec m)^2=(\vec b-\vec m)^2=(\vec c-\vec m)^2 [/mm] gelten. Der Abstand von M zu E ist r. Daraus erhält man ein Gleichungssystem, aus dem sich r und die Koordinaten von M ergeben.) |
Hallo,
ich habe die Lösungen zu dieser Aufgabe, aber ich komme auch dem Weg dahin noch nicht zu recht. Ich habe jetzt 4 Gleichungen gebildet, indem ich jeweils die Punkte eingesetzt habe.
Also: [mm] (7-m_1)^2+(5-m_2)^2+(6-m_3)^2=(4-m_1)^2+(-2-m_2)^2+(10-m_3)^2.
[/mm]
Daraus ergibt sich dann: [mm] -3m_1-7m_2+4m_3=5
[/mm]
Auf diese weise habe ich noch die Punkte B und C zusammen eingesetzt: [mm] 4m_1 -3m_2+m_3=19
[/mm]
Dann C alleine: [mm] m_1^2+(1-m_2)^2+(9-m_3)^2=r^2
[/mm]
und die Abstandsformel: r= $ [mm] \left| \bruch{(2m_1+2m_2+m_3-31)}{3} \right| [/mm] $
Im Lösungsbuch stehen alle Gleichungen genau so, außer die zweite, wo die Punkte A und C eingesetzt worden sind und so die Gleichung [mm] 7m_1+4m_2-3m_3=14 [/mm] entstanden ist.
Ich habe es jetzt aber mit meinen Gleichungen versucht und verstehe nicht, warum es damit nicht klappt.
Ich habe jetzt das Gleichungssystem umgebaut, sodass ich [mm] m_1, m_2, [/mm] und [mm] m_3 [/mm] in Abhängigkeit von r ausgedrückt habe.
Aber da ist etwas schief gegangen. Im Lösungsbuch sind diese Werte auch angegeben. Für [mm] m_1 [/mm] habe ich:
[mm] m_1= \bruch{3}{17}r+\bruch{179}{85}, [/mm] im Lösungsbuch steht dagegen: [mm] m_1= \bruch{83}{17}-\bruch{15}{85}r.
[/mm]
Die Zahl vor dem r stimmt, alles andere aber nicht und so ist es auch mit den anderen beiden Werten. Ich habe jeweils eine völlig andere Zahl davor raus und das Vorzeichen vor dem r stimmt nicht. Kann mir vielleicht jemand helfen und mir sagen woran das liegt? Ich wäre sehr dankbar darüber.
Vielen Dank und viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Do 01.10.2009 | | Autor: | weduwe |
wenn ich die 3 punkte einsetze und subtrahiere, erhalte ich letztlich:
[mm] m_2=\frac{38m_1-142}{10}
[/mm]
[mm] m_3=\frac{74m_1-236}{10}
[/mm]
und das in die HNF eingesetzt ergibt zunächst:
[mm] m_1=\frac{83}{17}\pm\frac{3}{17}r
[/mm]
das negative vorzeichen folgt nun daraus, dass die 3 gegebenen punkte auf derselben seite der ebene liegen wie O, daher muß auch der mittelpunkt der kugel dort liegen.
wo dein fehler liegt, weiß nur ein hellseher 
anmerkung: [mm] \frac{15}{85}=\frac{3}{17}
[/mm]
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