Gleichung beweisen n!=n^k < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1, k\ge1, [/mm] die die Gleichung [mm] n!=n^k [/mm] erfüllen. Beweisen Sie Ihre Antwort! |
Hallo Leute.
Lösung:
1. n=2, k=1
2. n=1, [mm] k\in [/mm] IN
Sonst vermute ich keine Lösung. Jetzt muss man rechnerisch die n=2 nur noch nachweisen.
[mm] n!=n^k
[/mm]
[mm] (n-1)!=n^{k-1}
[/mm]
(n-1)!=(n-2)!*(n-1)
[mm] n-1=\bruch{(n-1)!}{(n-2)!} [/mm]
Ich "könnte" mir vorstellen dass man jetzt nur noch [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-2)!} [/mm] =1 machen müsste. Dann hätte man ja n=2...Aber [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-2)!} [/mm] sind teilerfremd, da (n-1)! und (n-2)! zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind.
Was mache ich hier falsch?
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass n02, k=1 ne Lösung ist weisest du einfach durch nachrechnen nach:
[mm] 2!=2^1
[/mm]
2*1=2
fertig.
Was du meinst, man muss nachweisen, dass es keine gröseren n gibt?
dann zeig einfach, dass für grössere n entweder [mm] n^k>n! [/mm] ist oder [mm] n^k
übrigens
$ [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-2)!} [/mm] $ sind NICHT TEILERFREMD.
[mm] \bruch{5!}{4!} =\bruch{5*4*3*2}{4*3*2}=5
[/mm]
also [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-2)!} [/mm] =n-1
Aber was dein "Beweis" soll seh ich nicht, sieht irgendwo nach ner Induktionsidee rückwärts aus, die aber nicht sagt, was du zeigen willst.
Aber mit Teilbarkeit kannst du schon was machen
welche Teiler den n! und n! haben, damit [mm] n!/n^k=1 [/mm] gilt?
Gruss leduart
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> Hallo
> dass n02, k=1 ne Lösung ist weisest du einfach durch
> nachrechnen nach:
> [mm]2!=2^1[/mm]
> 2*1=2
> fertig.
> Was du meinst, man muss nachweisen, dass es keine
> gröseren n gibt?
> dann zeig einfach, dass für grössere n entweder [mm]n^k>n![/mm]
> ist oder [mm]n^k
Eine gute Idee. Also zwei vollständige Induktion mit 2 Variablen vollziehen, werde ich noch später probieren.
> übrigens
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(n-2)!}[/mm] sind NICHT TEILERFREMD.
> [mm]\bruch{5!}{4!} =\bruch{5*4*3*2}{4*3*2}=5[/mm]
> also
> [mm]\bruch{(n-1)!}{(n-2)!}[/mm] =n-1
> Aber was dein "Beweis" soll seh ich nicht, sieht irgendwo
> nach ner Induktionsidee rückwärts aus, die aber nicht
> sagt, was du zeigen willst.
> Aber mit Teilbarkeit kannst du schon was machen
> welche Teiler den n! und n! haben, damit [mm]n!/n^k=1[/mm]
> gilt?
> Gruss leduart
Teilerfremd ist doch wenn der ggT(a,b)=1 ist. Okay das ist bei (n-1)! und (n-2)! offensichtlich doch NICHT der Fall. ^^
Hm, also mein Ansatz basiert auf eine Lösung, die ich nicht ganz verstanden habe:
[mm] n!=n^k [/mm] => (n-1)!=n^(k-1)
[mm] n=p_{1}^{\alpha_{1}}*p_{2}^{\alpha_{2}}*....*p_{t}^{\alpha_{2}} \Rightarrow n^k=p_{1}^{k*\alpha_{1}}*p_{2}^{k*\alpha_{2}}*....*p_{t}^{k*\alpha_{t}}
[/mm]
(n-1)!=(n-2)!*(n-1)
Es gilt [mm] (n-2)!=q_{1}^{\beta_{1}}*q_{2}^{\beta_{2}}*....*q_{s}^{\beta_{s}} [/mm] und [mm] (n-1)=r_{1}^{\gamma_{1}}*r_{2}^{\gamma_{2}}*....*r_{v}^{\gamma_{v}} \Rightarrow
[/mm]
[mm] (n-2)!*(n-1)=q_{1}^{\beta_{1}}*q_{2}^{\beta_{2}}*....*q_{s}^{\beta_{s}}*r_{1}^{\gamma_{1}}*r_{2}^{\gamma_{2}}*....*r_{v}^{\gamma_{v}}
[/mm]
Er hat dann noch einen Hilfssatzbewiesen ggT(t,t-1)=1.
Jetzt sagt er:
Da jedoch nach obigem Hilfsatz n und (n-1) teilerfremd sind, kann keiner der Primfaktoren [mm] r_{1}^{\gamma_{1}}*r_{2}^{\gamma_{2}}*....*r_{v}^{\gamma_{v}} [/mm] unter den Primfaktoren [mm] p_{1}^{\alpha_{1}}*p_{2}^{\alpha_{2}}*....*p_{t}^{\alpha_{2}} [/mm] enthalten sein. Daraus folgt n-1=1 => n=2 Was zubeweisen war.
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Ich hab mir das schon zu lange angeschaut..., aber ich versteh es nicht. Wie er von n-1 Bezug auf n nehmen kann. Er hatte doch n rausgekürzt...
n und n-1 ansicht sind teilerfremd ja schön und gut aber wie wird das aufeinmal alles zu n-1=1.Bzw was hat der Fundenmentalsatz damit zutun. Ich glaube, ich versteh den Kern der Sache nicht. Und bin dazu wahrscheinlich noch blind. Bitte versucht mich etwas ins Licht zuführen.
Liebe Grüße Daniel
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Hallo Daniel,
keep cool. Es ist vielleicht nur die Notation, die Dich irritiert.
Eine vollständige Induktion brauchst Du nicht. Es genügt doch völlig die Teilbarkeitsbetrachtung aus Deiner Musterlösung. Ich versuch es mal, ohne formale Notation zu sagen:
n! ist für n>1 immer durch (n-1) teilbar. [mm] n^k [/mm] ist für n>1, k>0 aber nur dann durch (n-1) teilbar, wenn n=2 ist, da ggT(n,n-1)=1.
Das wars schon.
Eine andere Möglichkeit wäre ein Beweis über den Fundamentalsatz der Arithmetik, also die eindeutige Faktorisierung.
Sei p eine Primzahl mit p<n, die n nicht teilt. Dann ist n! durch p teilbar, [mm] n^k [/mm] aber nicht.
Zu 2 gibt es keine solche Primzahl.
Zu 3 gibt es p=2.
Zu 4 und 5 gibt es p=3.
Zu 6 und 7 gibt es p=5.
Zu 8,9,10,11 gibt es p=7.
etc.
Fragt sich halt nur, auf welcher Grundlage Du behaupten kannst, dass es immer ein solches p gibt. Ich nehme an, dass Ihr die dazu möglichen oder nötigen Sätze noch nicht hattet. Du kannst aber trotzdem leicht herleiten, dass es spätestens ab n=6 immer mindestens eine Primzahl gibt, die kleiner als n ist und n nicht teilt. Versuchs mal. (kleiner Tipp: kennst Du Euklids Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen?)
lg
reverend
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Hey.
Die Notationen machen mir kein Problem, glaub ich zumindest. Ich versuch nochmal ausführlicher die Problematik zu beschreiben:
[mm] n!=n^k [/mm] <=> [mm] 1*2*.....(n-1)*n=n^{k-1}*n
[/mm]
Wir teilen beide Seiten durch n und NICHT durch n-1, also bekommen wir
[mm] (n-1)!=n^{k-1}
[/mm]
(n-1)!=$ [mm] (n-2)!\cdot{}(n-1)=q_{1}^{\beta_{1}}\cdot{}q_{2}^{\beta_{2}}\cdot{}....\cdot{}q_{s}^{\beta_{s}}\cdot{}r_{1}^{\gamma_{1}}\cdot{}r_{2}^{\gamma_{2}}\cdot{}....\cdot{}r_{v}^{\gamma_{v}} [/mm] $
Wieso spalten wir (n-1)! überhaupt auf? Das muss ja einen Sinn haben? Welchen? Wieso kann man jetzt Rückschüsse auf den Hilfsatz ggT(n,n-1)=1 machen um zuzeigen das [mm] \cdot{}r_{1}^{\gamma_{1}}\cdot{}r_{2}^{\gamma_{2}}\cdot{}....\cdot{}r_{v}^{\gamma_{v}} [/mm] $ NICHT unter (so versteh ich das) [mm] n^{k-1} [/mm] enthalten. So dass zu n-1=1 Das muss doch auf herleitbar sein?
Ausserdem hatten wir ja $ [mm] n=p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot{}p_{2}^{\alpha_{2}}\cdot{}....\cdot{}p_{t}^{\alpha_{2}} \Rightarrow n^k=p_{1}^{k\cdot{}\alpha_{1}}\cdot{}p_{2}^{k\cdot{}\alpha_{2}}\cdot{}....\cdot{}p_{t}^{k\cdot{}\alpha_{t}} [/mm] $
So nun mal zusammen gefasst die alte/neue Gleichung:
(1) [mm] (n-1)!=n^{k-1}
[/mm]
(2) [mm] (n-2)!\cdot{}(n-1)=n^{k-1}
[/mm]
(3) [mm] q_{1}^{\beta_{1}}\cdot{}q_{2}^{\beta_{2}}\cdot{}....\cdot{}q_{s}^{\beta_{s}}\cdot{}r_{1}^{\gamma_{1}}\cdot{}r_{2}^{\gamma_{2}}\cdot{}....\cdot{}r_{v}^{\gamma_{v}}=p_{1}^{(k-1)\cdot{}\alpha_{1}}\cdot{}p_{2}^{(k-1)\cdot{}\alpha_{2}}\cdot{}....\cdot{}p_{t}^{(k-1)\cdot{}\alpha_{t}}
[/mm]
So jetzt könnte man umformen [mm] (n-2)!*(n-1)=n^{k-1} [/mm] zu
[mm] (n-2)!=\bruch{n^{k-1}}{n-1} [/mm] Ich weiß jetzt garnicht was das hier bringen soll, aber für k=2 wäre der linke Ausdruck nicht Teilbar, da die Primfaktoren unterschiedlich sind. Aber das bringt ja auch nichts. Irgendwie zum verzweifeln..
Liebe Grüße und noch einen schönen Abend, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest doch schon alles:
[mm] n^k=n!
[/mm]
daraus [mm] (n-2)!*(n-1)=n^{k-1}
[/mm]
die linke Seite ist durch n-1 Teilbar, die rechte für alle n>2 nicht durch n teilbar. denn n>2 ist nicht durch n-1 Teilbar, und damit auch nicht [mm] n^k
[/mm]
Damit bist du fertig.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Di 24.11.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
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> Hallo
> du hattest doch schon alles:
> [mm]n^k=n![/mm]
> daraus [mm](n-2)!*(n-1)=n^{k-1}[/mm]
> die linke Seite ist durch n-1 Teilbar, die rechte für
> alle n>2 nicht durch n teilbar. denn n>2 ist nicht durch
> n-1 Teilbar, und damit auch nicht [mm]n^k[/mm]
Ich kann dem nicht ganz folgen obwohl das ziemlich trivial "klingt".
[mm] (n-2)!*(n-1)=n^{k-1} [/mm] <=>
[mm] \bruch{(n-2)!*(n-1)}{(n-1)}=\bruch{n^{k-1}}{(n-1)}
[/mm]
Okay, die Linke Seite ist durch n-1 teilbar. Aber wieso argumentierst du dann auf einmal, dass du anstatt n-1 dann n teilts, durch die Rechte Seite?
Ich möchte ja zeigen, dass nur die beiden Ergebnisse n=2, k=1 und n=1, [mm] k\in [/mm] IN möglich sind, anhand dieser Gleichung.
So konzentrieren wir uns mal auf die rechte Seite [mm] \bruch{n^{k-1}}{(n-1)}
[/mm]
Wir arbeiten nur mit Natürlichen Zahlen. Der Nenner muss größer null sein. Dann kommen wir also endlich auf n-1=1 => n=2 Ok soweit?? (Weil alles durch 1 Teilbar ist trivalerweise ;) ) Okay ich schätze hier "wirkte" auch das Argument der Teilerfremdheit! Aber [mm] ggT(n^{x},n-1)=1 [/mm] Stimmt das immer, weil der Exponent doch stört...?
Setzen wir ein n=2 ein in [mm] (n-2)!=n^{k-1} [/mm] <=> [mm] 0!=2^{k-1} [/mm] Also k=1
Wieso hätte unser Teiler n-1 nicht auch echt größer als 1 sein dürfen? Das is mir noch nicht klar? Hat das was mit dem Argument ggT(n,n-1)=1 zutun?
Liebe Grüße Daniel :)
> Damit bist du fertig.
> Gruss leduart
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 25.11.2009 | | Autor: | dominik88 |
So, von mir eine andere Herangehensweise, die vielleicht etwas übersichtlicher und schneller ist.
Fall n = 1 ist klar.
Sei nun n [mm] \ge [/mm] 2. Du weißt, dass n! = [mm] n^k [/mm] gelten soll. Dies bedeutet das
[mm] n^k [/mm] | n!
So, nun betrachtest du die linke Seite. [mm] n^k [/mm] hat nur die Teiler die n hat. Ist dies klar?
Da ihr den Satz habt ggT(n,n-1) = 1 und für n [mm] \ge [/mm] 2 n! = n [mm] \* [/mm] (n-1)! ist hat die rechte Seite den Teiler (n-1). Der Satz liefert dir nun die Lösung, denn er sagt dir, dass (n-1) und n keine gemeinsamen Teiler haben.
Was bedeutet dies für ein gewisses n.
n=2 [mm] \Rightarrow [/mm] (n-1) = 1. Also hat die rechte Seite keinen anderen Teiler als die Linke.
[mm] n\ge [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] (n-1) [mm] \ge [/mm] 2. Da (n-1) und n Teilerfremd sind, hat die rechte Seite einen anderen Teiler als die Linke.
Sagt die Primfaktorzerlegung was? Wenn ja, liefert dir diese, dass beide Seiten eine unterschiedliche Primfaktorzerlegung besitzen und wegen der Eindeutigkeit dieser Zerlegung gilt [mm] n^k \not= [/mm] n!
Schöne Grüße Dom
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Morgen allerseits :)
Also ich hab zwar an den ein oder anderen Stellen noch Fragen aber ich denke, dass ich jetzt den Kern der Sache verstanden habe:
[mm] n!=n^k [/mm] => [mm] n*(n-1)!=n^{k-1}*n [/mm] => [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)!}{(n-1)}=\bruch{n^{k-1}*n}{(n-1)}
[/mm]
Linke Seite geht klar, Rechte Seite geht auch,da wir wissen ggT(n,n-1)=1
=> n-1 teilt nicht n => 1|n => 1=n-1 => n=2
Außer n=1, n=2 gibt es keine anderen Ergebnisse für n, weil sonst gegen ggT(n,n-1)=1 verstoßen würde, da es keine anderen gemeinsamer Teiler für n,n-1 außer 1 existieren.
So richtig und/oder besser dargestellt?
Liebe Grüße Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mi 25.11.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Also ich hab zwar an den ein oder anderen Stellen noch
> Fragen aber ich denke, dass ich jetzt den Kern der Sache
> verstanden habe:
>
> [mm]n!=n^k[/mm] => [mm]n*(n-1)!=n^{k-1}*n[/mm] =>
> [mm]\bruch{n*(n-1)*(n-2)!}{(n-1)}=\bruch{n^{k-1}*n}{(n-1)}[/mm]
>
> Linke Seite geht klar, Rechte Seite geht auch,da wir wissen
Auf der linken Seite steht eine ganze Zahl, also rechts auch! Wegen
> ggT(n,n-1)=1
und da der Zähler ein Produkt von k Faktoren n ist, kann das nur sein, wenn n - 1 = 1 ist. Für n = 1 ist die Behauptung sowieso klar, dann gehen deine Umformungen auch nicht. Also solltest du vorausschicken: Sei n [mm] $\ge$ [/mm] 2.
> => n-1 teilt nicht n => 1|n => 1=n-1 => n=2
Aus 1|n folgt keineswegs 1 = n-1, weil die Voraussetzung immer erfüllt ist, die Folgerung aber nicht.
> Außer n=1, n=2 gibt es keine anderen Ergebnisse für n,
> weil sonst gegen ggT(n,n-1)=1 verstoßen würde, da es
> keine anderen gemeinsamer Teiler für n,n-1 außer 1
> existieren.
>
> So richtig und/oder besser dargestellt?
Ich habe versucht, es hinzubiegen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Leute.
Ein neuer "Erklärungs"-Versuch:
[mm] n!=n^k [/mm] => [mm] n*(n-1)!=n^{k-1}*n [/mm] => [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)!}{(n-1)}=\bruch{n^{k-1}*n}{(n-1)} [/mm] für [mm] n\ge2
[/mm]
Linke Seite kürzt sich es weg, auf der rechten Seite steht im Zähler n und im Nenner n-1, da ggT(n,n-1)=1 gilt, gilt nur n=2 damit n-1 Teiler von n wird!!!!!!!!!!
In allen anderen Fällen mit [mm] n\ge3 [/mm] wäre n-1 niemals der Teiler n. Also kommt nur die Lösung n=2 in Frage......Wenn das jetzt nicht richtig ausgedrückt ist oder einen logischen Fehler enthält, fress ich nen Besen!...
Liebe Grüße Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mi 25.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du schreibst ist irgendwie schräg.
Warum musst du das erst als Bruch schreiben?
warum nicht einfach [mm] (n-1)!=n^{k-1} [/mm] ist nicht möglich für n-1>1, denn n und damit [mm] n^{k-1} [/mm] ist nicht durch [mm] n-1\ne [/mm] 1 teilbar, (n-1)! aber ist durch n-1 teilbar.
(wenn du den Bruch schreibst, solltest du sagen links steht ne ganze Zahl, rechts ein Bruch, den man nicht kürzen kann
Gruss leduart
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Guten Morgen zusammen!
[mm] n!=n^k [/mm] => [mm] n*(n-1)!=n^{k-1}*n [/mm] => [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)!}{(n-1)}=\bruch{n^{k-1}*n}{(n-1)}
[/mm]
=> [mm] n*(n-2)!=\bruch{n^{k-1}*n}{(n-1)}
[/mm]
Die linke Seite ist nach dem Dividieren von (n-1) immer noch eine Zahl z [mm] \in [/mm] IN, nämlich n*(n-2)!. Da die Gleichung äquivalent ist, muss demzufolge auch der Ausdruck [mm] \bruch{n^{k-1}*n}{(n-1)} [/mm] eine ganze Zahl z aus IN sein.
Erster Fall: n-1=1
Da wir wissen das ggT(n,n-1)=1 gilt, kann (n-1) nur dann Teiler von n und damit [mm] n^k [/mm] sein(aufgrund der selben Primfaktoren von n u. [mm] n^k) [/mm] wenn n-1=1 gilt.
Zweiter Fall: n-1>1
Für ggT(n,n-1)=1 und n>2 wäre [mm] \bruch{n^{k-1}*n}{(n-1)} [/mm] nie eine ganze Zahl und somit keine Lösung der Gleichung, da [mm] \IQ [/mm] nicht als Menge in [mm] \IN [/mm] erhalten ist.
Ist dies richtig und verständlich erklärt?
Liebe Grüße, BeeRe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Do 26.11.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Wir könne den Thread schließen, ich verstehe jetzt alle Antworten. Es gibt halt verschiedene Wege nach Rom. Aber im Nachhinein muss ich gestehen, dass eure Antworten kürzer, prägnanter und "hinterher" leichter zu verstehen sind als vorher.
Trotzdem Danke für die Geduld, LG :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Do 26.11.2009 | | Autor: | reverend |
ok, Thread geschlossen. 
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