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Gleichung auflösen: frage zur aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:10 Mi 02.02.2005
Autor: fidelio

hi, es ist zwar schon spät aber mich quält noch ein beispiel!


folgende gleichung ist gegeben:

[mm] 81^\bruch{x+2}{x+12}=\bruch{1}{3} [/mm]

mein lösungsansatz wäre gewesen:

[mm] \wurzel[x+12]{81^{x+2}}=\bruch{1}{3} [/mm]

das wiederum ergibt

[mm] 81^{x+2}=(\bruch{1}{3})^{x+12} [/mm]

weiters ergibt das:

[mm] (x+2)lg81=(x+12)lg\bruch{1}{3} [/mm]

so und nun weiß ich nicht mehr weiter........

wie bekomme ich das x isoliert damit man es errechen kann?

danke im voraus für jede hilfe

gruß stephan

        
Bezug
Gleichung auflösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:49 Mi 02.02.2005
Autor: Marcel

Hallo Stephan!

> hi, es ist zwar schon spät aber mich quält noch ein
> beispiel!
>  
>
> folgende gleichung ist gegeben:
>  
> [mm]81^\bruch{x+2}{x+12}=\bruch{1}{3} [/mm]
>  
> mein lösungsansatz wäre gewesen:
>  
> [mm]\wurzel[x+12]{81^{x+2}}=\bruch{1}{3} [/mm]
>  
> das wiederum ergibt
>  
> [mm]81^{x+2}=(\bruch{1}{3})^{x+12} [/mm]
>  
> weiters ergibt das:
>  
> [mm](x+2)lg81=(x+12)lg\bruch{1}{3} [/mm]

[ok]  
> so und nun weiß ich nicht mehr weiter........
>  
> wie bekomme ich das x isoliert damit man es errechen
> kann?

Ausmultiplizieren:
[mm]x \lg(81)+2\lg(81)=x\lg\left(\frac{1}{3}\right)+12\lg\left(\frac{1}{3}\right)[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] (zusammenfassen)
[mm]x\underbrace{\left(\lg(81)-\lg\left(\frac{1}{3}\right)\right)}_{\not=0}=12\lg\left(\frac{1}{3}\right)-2\lg(81)[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm]x=\frac{12\lg\left(\frac{1}{3}\right)-2\lg(81)}{\lg(81)-\lg\left(\frac{1}{3}\right)}[/mm]


Mit den MBLogarithmusgesetzen (und MBPotenzgesetzen) folgt dann (wegen [mm] $81=3^4$): [/mm]
[mm]x=\frac{-12\lg(3)-2\lg(81)}{\lg(81)+\lg(3)}=-2\frac{6\lg(3)+\lg(81)}{\lg(81)+\lg(3)}=-2\frac{\lg\left(3^6*81\right)}{\lg(81*3)}=-2\frac{\lg\left(3^6*3^4\right)}{\lg\left(3^4*3\right)}=-2\frac{\lg\left(3^{10}\right)}{\lg\left(3^5\right)}=-2\frac{10\lg\left(3\right)}{5\lg\left(3\right)}=-\,4[/mm]

PS: Alternativer Weg:
Am Anfang hättest du auch direkt so rechnen können:
[mm]81^\bruch{x+2}{x+12}=\bruch{1}{3}[/mm]
[mm]\gdw[/mm]
[mm]3*\left(3^4\right)^{\bruch{x+2}{x+12}}=1[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm]3^{1+4*\bruch{x+2}{x+12}}=1[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm]3^{\frac{x+12}{x+12}+\bruch{4x+8}{x+12}}=1[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm]3^{\frac{5x+20}{x+12}}=1[/mm]

Daran erkennt man dann auch, dass [mm] $x=-\,4$ [/mm] gelten muss. Naja, nur mal so als alternativer Weg...

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
                
Bezug
Gleichung auflösen: ..merci....
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Mi 02.02.2005
Autor: fidelio

hi marcel,

danke für den/die lösungsansätze! bei der alternativen methode ist glaube ich aber nur für "mathe genies" zu erkennen, daß der wert für x=-4 beträgt! ich habe zwar versucht es auch zu sehen - bin aber wahrscheinlich blind

danke und ciao
stephan
Bezug
                        
Bezug
Gleichung auflösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:42 Mi 02.02.2005
Autor: Max

Ich denke die Umformungen sind das schwerer an dem zweiten Weg.  Dass dann für $x=-4$ der Exponent Null wird und damit [mm] $3^0=1$ [/mm] erfüllt ist finde ich dann wiederum sehr leicht einzusehen - auch für [mm] $\neg$Genies [/mm] ;-)
Bezug
                        
Bezug
Gleichung auflösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Mi 02.02.2005
Autor: Marcel

Hi Stephan!

> hi marcel,
>  
> danke für den/die lösungsansätze! bei der alternativen
> methode ist glaube ich aber nur für "mathe genies" zu
> erkennen,...

Okay, Brackhaus hat's zwar schonmal geschrieben, woran man das erkennen kann, aber du hast Recht: Ich rechne wahrscheinlich etwas zu schnell. Verzeihung, ich hatte nicht bedacht, dass ich im Schülerforum antworte! Sind denn die Umformungen sonst alle soweit klar?

> daß der wert für x=-4 beträgt! ich habe zwar
> versucht es auch zu sehen - bin aber wahrscheinlich blind

Ich rechne es mal Schritt für Schritt weiter (nur, damit du es einmal komplett gesehen hast):
[mm]3^{\frac{5x+20}{x+12}}=1[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $3^{\frac{5x+20}{x+12}}=3^{\,0}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $\frac{5x+20}{x+12}=0$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
$5x+20=0$
[mm] $\gdw$ [/mm]
$5x=-20$
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $x=-\,4$ [/mm]

Ist dir der alternative Weg jetzt auch ganz klar? Frag ruhig nach, wenn dir etwas unklar ist. :-)

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
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