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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/28075,0.html.]
Hallo,
Ich hab da ein Problem:
Kann mir jemand erklären, wie ich diese Gleichung nach x auflöse:
x³+3/2x²+3/2=-1/2x³-3/2x?
Also ich stehe da: x³+3x²-3x+3=0 und jetzt?
es soll -1 dabeirauskommen, aber ich versteh es einfach nicht...
gruß
m.
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Hallo marrtina,
> Kann mir jemand erklären, wie ich diese Gleichung nach x
> auflöse:
> [mm] $x^3 [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}x$?
[/mm]
> Also ich stehe da: x³+3x²-3x+3=0 und jetzt?
Du hast einen Umformungsfehler gemacht:
[m]x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x \Leftrightarrow \frac{2}{3}x^3 + x^2 + 1 = - \frac{1}{3}x^3 - x \Leftrightarrow x^3 + x^2 + x + 1 = 0[/m]
> es soll -1 dabeirauskommen, aber ich versteh es einfach
> nicht...
Die Exponenten des Polynoms wechseln sich von gerade zu ungerade ab: [mm] $f\left(x\right) [/mm] = [mm] x^{\green{0}} [/mm] + [mm] x^{\red{1}} [/mm] + [mm] x^{\green{2}} [/mm] + [mm] x^{\red{3}}$. [/mm] Wir sehen, daß wir genauso viele gerade wie ungerade Summanden bekommen. Und was wissen wir über das Verhalten von [mm] $\left(-1\right)^{\text{natürlicher Exponent inklusive }0}$? [/mm] Es gilt:
[mm] $\left(-1\right)^0 [/mm] := 1$
[mm] $\left(-1\right)^1 [/mm] = -1$
[mm] $\left(-1\right)^2 [/mm] = 1$
[mm] $\left(-1\right)^3 [/mm] = -1$
[mm] $\vdots$
[/mm]
Wenn wir also -1 in das obere Polynom einsetzen, müssen wir 0 erhalten, da wir genau soviele gerade wie ungerade Summanden haben, die sich dann gegenseitig aufheben. Dieses Prinzip können wir verallgemeinern:
[m]\begin{gathered}
\sum\limits_{i = 0}^{2n + 1} {x^i } = \left( {x^0 + x^1 } \right) + \left( {x^2 + x^3 } \right) + \cdots + \left( {x^{2n} + x^{2n + 1} } \right) \hfill \\
= \left( {x^0 + x^2 + \cdots + x^{2n} } \right) + \left( {x^1 + x^3 + \cdots + x^{2n + 1} } \right) = \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {x^{2i} } } \right) + \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {x^{2i + 1} } } \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Was passiert wenn wir -1 einsetzen? :
[m]\left( {\sum\limits_{i = 0}^n {\left( { - 1} \right)^{2i} } } \right) + \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {\left( { - 1} \right)^{2i + 1} } } \right) = 1 + \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right)^{2i} } } \right) = 1 - \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {\left( { - 1} \right)^{2i} } } \right) = 1 - 1 = 0[/m]
Merke es dir doch so:
Polynom-Summe von gerade nach ungerade mit 1er Koeffizienten:
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Nullstelle -1
Polynom-Summe von ungerade nach gerade mit 1er Koeffizienten:
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Nullstelle -1
Polynom-Summe von (un)gerade nach (un)gerade:
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Obiges Prinzip nicht anwendbar, da es zu genau einem (un)geraden Potenz-Summanden keinen entsprechenden (un)geraden Potenz-Summanden gibt.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Sa 18.06.2005 | | Autor: | marrrtina |
vielen dank für eure Hilfe... jetzt weiss ich wie ich weiter komme
gruß m.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Polynomdivision
weitere Lösungen beinhaltet.
