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Forum "Geraden und Ebenen" - Gleichsetzen
Gleichsetzen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Gleichsetzen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Mi 30.09.2009
Autor: LK2010

Aufgabe
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm]

[mm] E_{1}:4*x_{1}+6*x_{2}-11*x_{3}=0 [/mm]
[mm] E_{2}:x_{1}-x_{2}-x_{3}=0 [/mm]

Hallo
Also ich habe zuerst einmal die [mm] E_{2} [/mm] umgeformt :
[mm] x_{1}=x_{2}+x_{3} [/mm]
[mm] x_{2}=x_{1}-x_{3} [/mm]
[mm] x_{3}=x_{1}-x_{2} [/mm]

dann habe ich das in die erste Ebene eingesetzt..aber da kommt nichs vernünfitges raus ich bekomme da nie eine Gerade....ich weiß auch nicht, wie die in dieser Form aussehen muss..

        
Bezug
Gleichsetzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Mi 30.09.2009
Autor: qsxqsx

Hallo,

Wenn die Ebenen nicht in einer speziellen lage sind (=nicht paralell zu der x-y,x-z oder y-z-Ebene) kannst du die gleichungen direkt gleichsetzen, und für zum beispiel x und y eine beliebige zahl einsetzen, und dann nach z auflösen -> ein punkt der in beiden Ebenen liegt.

Um einen Richtungsvektor zu erhalten kannst du das Vektorprodukt von beiden Normalenvektoren machen.

Alles klar?

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Gleichsetzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Mi 30.09.2009
Autor: rabilein1

Es wäre vielleicht sinnvoller, die Ebenen in Parameterform umzuwandeln.

Ansonsten kriegst du so was raus wie [mm] 10x_{2}=7x_{3} [/mm]

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Bezug
Gleichsetzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:48 Mi 30.09.2009
Autor: qsxqsx

muss nicht sein!

[]http://sos-mathe.ch/pdfv/v32_7.pdf

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Gleichsetzen: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:06 Mi 30.09.2009
Autor: LK2010

Hey.. :( also i-wie verstehe ich das gerade nicht.
Ich hab jetzt die Koordinatengleichung der Ebene
[mm] E_{2}=u*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}*s\vektor{0 \\ 1 \\-1} [/mm]
was soll ich den nun damit machen?
Liebe grüße und vielen Dank



Bezug
                        
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Gleichsetzen: siehe unten!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:58 Do 01.10.2009
Autor: Loddar

Hallo LK2010!


> Ich hab jetzt die Koordinatengleichung der Ebene
> [mm]E_{2}=u*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}*s\vektor{0 \\ 1 \\-1}[/mm]

Stimmt fast: hinter den ersten Richtungsvektor gehört ein Pluszeichen (und kein Malpunkt).


> was soll ich den nun damit machen?

Siehe unten: meine andere Antwort.


Gruß
Loddar


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Gleichsetzen: Normalenform
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:55 Do 01.10.2009
Autor: Loddar

Hallo LK2010!


Ich sehe das anders: forme diese beiden Ebenengleichungen in die Normalenform [mm] $\vec{n}*\vec{x} [/mm] \ = \ d$ um.

Anhand der beiden Normalenvektoren kann man dann die jeweilige Lage der Ebenen zueinander ablesen.

Denn nur wenn diese beiden Normalenvektoren kollinear sind, siend die beiden Ebenen parallel oder gar identisch.


Gruß
Loddar


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Gleichsetzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:10 Do 01.10.2009
Autor: MatheOldie

Hallo, jetzt noch ein (zusammenfassender) Vorschlag:

1. Zuerst Parallelität prüfen:
[mm]\vec n_1 = \vektor{4\\ 6\\ -11}, \vec n_2= \vektor{1\\ -1\\ -1\\}[/mm], sind nicht lin. abhängig, also sind die Ebenen nicht parallel (und können auch nicht aufeinander liegen), also müssen sie eine Schnittgerade haben

2. Gleichungssystem direkt lösen! Umformung macht Arbeit und ist fehleranfällig:

a) 4x+ 6y-11z= 0
b) x - y - z = 0

Es ist sofort zusehen, dass die Ebenen durch den Ursprung gehen, also ist P(0/0/0) gemeinsamer Punkt und gehört zur Schnittgeraden.

a)-4b) liefert 10y -7z = 0, also y=0,7z.

Wähle irgendein z, geschickt z.B. z=10 => y=7 => x=17
=> Q(17/7/10) ist zweiter Punkt der Schnittgeraden.

3. Gerade durch P,Q aufstellen - fertig!

Gruß, MatheOldie


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Gleichsetzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:19 Do 01.10.2009
Autor: LK2010

okey vielen dank!.. habs hinbekommen =)

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