Gleichmäßige konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Do 31.12.2009 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in\IR [/mm] mit a<=b. Seien f,g :[a,b]-> [mm] \IR [/mm] zwei Funktionen, und g sei stetig. Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] definiere
fn: [a,b] -> [mm] \IR [/mm] , fn(x):= f(x)+(1/n)*g(x).
Zeigen Sie die gleichmäßige Konvergenz von (fn) gegen f auf [a,b] |
Hallo, ich bin froh endlich das Prinzip verstanden zu haben, wie man gleichmäßige Konvergenz bei konkreten Funktionsfolgen überprüft, aber in dieser Aufgabe wird das Prinzip dann ja doch wieder etwas offener und ich weiß schon nicht mehr weiter?!
Muss ich hier nach dem gleich Prinzip arbeiten - also Grenzfunktion bestimmen, Def. anwenden, ... Und wenn wie? Oder muss ich hier wirklich wieder irgendwie beweisen? Könnte mir vielleicht jemand ein paar Tipps geben...
Vielen Dank im voraus...
Ich habe dieses Frage auf keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Do 31.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Seien a,b [mm]\in\IR[/mm] mit a<=b. Seien f,g :[a,b]-> [mm]\IR[/mm] zwei
> Funktionen, und g sei stetig. Für jedes n [mm]\in \IN[/mm]
> definiere
> fn: [a,b] -> [mm]\IR[/mm] , fn(x):= f(x)+(1/n)*g(x).
>
> Zeigen Sie die gleichmäßige Konvergenz von (fn) gegen f
> auf [a,b]
> Muss ich hier nach dem gleich Prinzip arbeiten - also
> Grenzfunktion bestimmen, Def. anwenden, ... Und wenn wie?
Ja, wie denn sonst.
> Oder muss ich hier wirklich wieder irgendwie beweisen?
??? Was hast du denn bisher gemacht?
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 31.12.2009 | | Autor: | LariC |
Ok...das muntert mich ja schonmal ein bisschen auf, denn im Beweisen bin ich noch nicht so fit. Da habe ich ja ein Chance die Aufgabe zu lösen.
Aber leider weiß ich trotzdem nicht wie ich nun beginnen kann - also:
Ich muss jetzt wohl zuerst die Grenzfunktion bestimmen, also gucken wogegen die Funktionsfolgen konvergieren - mein Problem ist jetzt aber natürlich, wie soll ich das machen, wenn ich gar kein konkreten Funktionen habe - die können doch jede Grenzfunktion haben!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Do 31.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Grenzfunktion hast du ja schon gegeben (f).
Du musst nun zeigen, dass [mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] eine Nullfolge ist.
Dazu könnte man z.B. den Einschnürungssatz (Sandwichkriterium) verwenden.
Um das zu zeigen, kannst du verwenden, dass g stetig und auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist.
Denn was haben stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen für Eigenschaften?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Do 31.12.2009 | | Autor: | LariC |
Ok...im ersten Moment dachte ich, da muss ich schon wieder passen - was soll mir das bringen, aber ich glaube ich weiß zumindest worauf du hinaus willst - wir hatten da einen satz soweit ich mich erinnere, der genau das gesagt hast, worauf du wahrsheinlich hinaus wolltest - jede stetige Fuktione auf einem abgeschlossenen Intervall ist gleichmäßig konvergent.
Ich hatte über diesen satz noch länger nachgedacht, weil ich gerade gedacht hatte - gut gleichmäß. Konvergenz kann ich mir vorstellen und dann hat dieser satz alles umgeworfen - aber mittlerweile habe ich ihn mir klargemacht :)
Aber was ist denn nun meine Grenzfunktion, etwa fn(x) ?
Und wieso minst du brauch ich das genannte Lemma?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Do 31.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Nein, die Grenzfunktion ist f(x), steht schon in der Aufgabe!
Und ich meine einen anderen, einfacheren Satz.
Jede stetige Funktion besitzt ein Maximum und ein Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall.
Also es gibt Zahlen m und M mit [mm] m\le g(x)\le [/mm] M.
Kannst du damit etwas anfangen? Und niemals das Ziel vergessen: Du musst zeigen, dass [mm] f_n-f [/mm] eine Nullfolge ist.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Do 31.12.2009 | | Autor: | LariC |
Nagut - schade - und ich dachte ich wäre mal auf der richtigen Fährte - egal!
Ok, zur Grenzfunktion - kann ich die dann auch so angeben:
f(x) = fn(x) - (1/n)*g(x)
Wenn dann könnte ich das doch jetzt einfach einsetzten:
Ifn(x)-fn(x) -(1/n)*g(x)I=I-(1/n)*g(x)I
Nur dann hätte ich deinen Tipp mit Min. und Max. ja irgendwoie nicht beachtet und wozu dann Sandwischlemma?!
Aber der Min. und max. satz klingt für sich auf jeden fall ogisch - wobei wir den selber glaube ich ie benutzt haben - aber er ist ja "trivial"^^ - aber beweisen könnte ich ihn betimmt trotzdem nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Do 31.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Zunächst ist g auf [a,b] beschränkt, also ex. ein c >0 mit $|g(x)| [mm] \le [/mm] c$ für jedes x [mm] \in [/mm] [a,b]
Dann:
[mm] $|f_n(x)-f(x)| \le [/mm] ????$ für jedes x [mm] \in [/mm] [a,b]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Do 31.12.2009 | | Autor: | LariC |
Woher weiß man denn, dass g(x) auf [a,b] beschränkt ist? Folgt das etwa aus der Stetigkeit im Intervall?
Muss das erstmal verstehen bevor ich dann weiter über die Rechnung nachdenke...
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Hallo LariC,
> Woher weiß man denn, dass g(x) auf [a,b] beschränkt ist?
> Folgt das etwa aus der Stetigkeit im Intervall?
> Muss das erstmal verstehen bevor ich dann weiter über die
> Rechnung nachdenke...
Schau' dir in diesem Zusammenhang die drei wichtigen Sätze für stetige Funktionen an:
- Zwischenwertsatz
- Satz von der Beschränktheit (hier wichtig!)
- Satz vom Extremum (folgt aus Satz der Beschränktheit)
(Zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier aufgeschrieben).
Hier der kleine Beweis für den Satz der Beschränktheit zum Verständnis:
Die Aussage des Satzes ist ja: Eine auf einer beschränkten, abgeschlossenen Menge [mm] D\subset\IR [/mm] definierte stetige Funktion f ist dort beschränkt, d.h. es existiert ein [mm] $K\in\IR_{+}$ [/mm] mit
[mm] $\sup_{x\in D}|f(x)|\le [/mm] K$.
Beweis:
Angenommen, f ist nicht beschränkt auf D. Dann gibt es zu jedem [mm] n\in\IN [/mm] ein [mm] x_{n}\in [/mm] D mit [mm] |f(x_{n})| [/mm] > n.
(Das heißt: Egal wie groß wir auch eine Schranke "n" wählen würden, es gäbe immer ein x-Wert [mm] x_{n}, [/mm] den wir in die Funktion einsetzen können, sodass der Funktionswert größer als n wäre.)
Nun ist die Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] aber beschränkt, weil sie ja nur aus Elementen von D besteht (welches beschränkt ist). Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] also mindestens einen Häufungspunkt [mm] x\in [/mm] D.
Wir können nun eine gegen diesen Häufungspunkt x konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] aus [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] auswählen. Und das ist schon der Widerspruch.
Denn nun haben wir eine Folge [mm] (x_{n_{k}})_{k\in\IN}\subset [/mm] D bestimmt, für die gilt: [mm] (x_{n_{k}})_{k\in\IN}\to x\quad(k\to\infty).
[/mm]
Aber was ist mit [mm] f(x_{n_{k}}) [/mm] ?
--> Widerspruch zur Stetigkeit von f.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Do 31.12.2009 | | Autor: | LariC |
Gut - ich glaube das habe ich soweit verstanden - danke - werde mich jetzt mal an die Aufgabe ransetzten - mal sehen ob ich es noch dieses jahr schaffe^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Do 31.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Nein, die Grenzfunktion ist f(x), steht schon in der
> Aufgabe!
> Und ich meine einen anderen, einfacheren Satz.
>
> Jede stetige Funktion besitzt ein Maximum und ein Minimum
> auf einem abgeschlossenen Intervall.
Das ist i.a. falsch ! Das Intervall sollte auch noch beschränkt sein !
FRED
>
> Also es gibt Zahlen m und M mit [mm]m\le g(x)\le[/mm] M.
>
> Kannst du damit etwas anfangen? Und niemals das Ziel
> vergessen: Du musst zeigen, dass [mm]f_n-f[/mm] eine Nullfolge ist.
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Do 31.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Abgeschlossene Intervalle sind doch beschränkt, oder?
Teufel
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Hallo Teufel,
ich glaube, fred meint abgeschlossene Intervalle in anderen Räumen als [mm] \IR.
[/mm]
Aufgrund der strengen Definition eines abgeschlossenen Intervalls in [mm] \IR [/mm] ist es meiner Meinung nach auch beschränkt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Do 31.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke, ja das kann das natürlich stimmen.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Do 31.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo Teufel,
>
> ich glaube, fred meint abgeschlossene Intervalle in anderen
> Räumen als [mm]\IR.[/mm]
> Aufgrund der strengen Definition eines abgeschlossenen
> Intervalls in [mm]\IR[/mm] ist es meiner Meinung nach auch
> beschränkt.
[mm] \IR [/mm] selbst ist auch ein Intervall!
LG, Alex
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> [mm]\IR[/mm] selbst ist auch ein Intervall!
Hallo Alex,
aber doch nicht abgeschlossen, oder?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Fr 01.01.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> > [mm]\IR[/mm] selbst ist auch ein Intervall!
>
> Hallo Alex,
>
> aber doch nicht abgeschlossen, oder?
Natürlich ist [mm] \IR [/mm] abgeschlossen !
Weitere abgeschlossene , aber nicht beschränkte Intervalle:
$[a, [mm] \infty)$ [/mm] oder [mm] $(-\infty, [/mm] a]$
FRED
>
> Grüße,
> Stefan
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Danke Fred,
für deine Hinweise.
"Uns" wurde gesagt, ein abgeschlossenes Intervall hätte die Form $[a,b]$ mit [mm] a,b\in\IR. [/mm] Aber es stimmt natürlich; das Komplement von [mm] (-\infty,b] [/mm] ist ja [mm] (b,\infty) [/mm] und offen?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
> "Uns" wurde gesagt, ein abgeschlossenes Intervall hätte
> die Form [mm][a,b][/mm] mit [mm]a,b\in\IR.[/mm]
Ok, dann ist in eurer Vorlesung eben "Intervall" so definiert worden vom Dozenten.
Ist aber gegen die "Konvention". Ein Intervall in [mm] \IR [/mm] ist normalerweise eine zusammenhängende Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] d.h. [mm] \IR [/mm] selbst zählt da dazu.
> Aber es stimmt natürlich;
> das Komplement von [mm](-\infty,b][/mm] ist ja [mm](b,\infty)[/mm] und
> offen?
Jup, (b, [mm] \infty [/mm] ) ist offen.
LG, Alex
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Hallo Merle,
danke für die Hinweise!
Grüße, Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Fr 01.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Teufel,
>
> ich glaube, fred meint abgeschlossene Intervalle in anderen
> Räumen als [mm]\IR.[/mm]
Nein, das meinte fred nicht
Sieh mal : https://matheraum.de/read?i=636089
FRED
> Aufgrund der strengen Definition eines abgeschlossenen
> Intervalls in [mm]\IR[/mm] ist es meiner Meinung nach auch
> beschränkt.
>
> Grüße,
> Stefan
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