Gleichmäßige Stetigkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe  (unbefristet) | | Datum: | 10:11 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Sei [mm] $\alpha \in [/mm] (0, [mm] \bruch{\pi}{2})$, [/mm] sei [mm] $S_{\alpha}:=\{z \in \IC:0<|z| \le 1, |Arg(z)| \le \alpha \}$ [/mm] und [mm] $f(z):=e^{- \bruch{1}{z}}.$
[/mm]
Man zeige, dass f auf [mm] S_{\alpha} [/mm] gleichmäßig stetig ist. |
Wie üblich, bitte ich einen der Mod. um entsprechende kennzeichnung der Aufgabe.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Loddar |
Dummyfrage!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 Do 13.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Schade, dass sich noch niemand an dieser Aufgabe versucht hat.
Sind Hinweise erwünscht ?
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:09 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Helbig |
$f$ läßt sich stetig in 0 fortsetzen. Diese Fortsetzung ist stetig auf dem Kompaktum [mm] $S_\alpha\cup\{0\}$ [/mm] und damit gleichmäßig stetig.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:25 Fr 14.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f[/mm] läßt sich stetig in 0 fortsetzen.
Hallo Wolfgang,
Das ist richtig und nicht richtig.
f ist zunächst auf [mm] \IC \setminus \{0\} [/mm] definiert und hat in 0 eine wesentliche Singularität. Daher hat f keine stetige Fortsetzung auf [mm] \IC.
[/mm]
Aber die Einschränkung von f auf [mm] S_\alpha [/mm] lässt sich stetig auf den Abschluß von [mm] S_\alpha [/mm] fortsetzen. Das mußt Du noch zeigen.
> Diese Fortsetzung ist
> stetig auf dem Kompaktum [mm]S_\alpha\cup\{0\}[/mm] und damit
> gleichmäßig stetig.
Das stimmt dann.
Gruß
FRED
>
> Gruß,
> Wolfgang
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Fred,
tatsächlich dachte ich, die stetige Fortsetzbarkeit von $f$ in $0$ sei trivial. Dem ist aber nicht so! Hier mein zweiter Versuch:
Sei [mm] $f\colon S_\alpha\to \IC,\; z\mapsto e^{-1/z}$. [/mm] Ich zeige, daß $f$ in $0$ stetig fortgesetzt werden kann. Das genügt, denn dann ist die Fortsetzung stetig auf dem Kompaktum [mm] $S_\alpha\cup\{0\}$ [/mm] und damit auch gleichmäßig stetig.
Für $z=x+iy = [mm] |z|*e^{i\varphi} \in S_\alpha$ [/mm] ist $\ x>0$ und [mm] $|\varphi|\le \alpha$.
[/mm]
Es folgt [mm] $\left|e^{-1/z}\right|=e^{-x/|z|^2}*\left|e^{iy/|z|^2}\right|=e^{-x/|z|^2}$
[/mm]
und
[mm] $-\frac [/mm] {x} [mm] {|z|^2} [/mm] = [mm] -\frac [/mm] {x} [mm] {x^2+y^2} [/mm] = [mm] -\frac [/mm] {x} [mm] {x^2(1+\tan^2\varphi)} [/mm] = [mm] -\frac [/mm] 1 [mm] {x(1+\tan^2\varphi)}$ [/mm] ( wegen [mm] $\tan\varphi [/mm] = [mm] \frac [/mm] y x$)
[mm] $\le -\frac 1{x(1+\tan^2\alpha)}$ [/mm] (aus [mm] $|\varphi|\le\alpha$ [/mm] folgt [mm] $\tan^2\varphi \le \tan^2\alpha$). [/mm]
Für [mm] $z\in S_\alpha, z\to [/mm] 0$ strebt $x$ von oben gegen 0 und damit [mm] $-\frac [/mm] 1 [mm] {x(1+\tan^2\varphi)}$ [/mm] gegen [mm] $-\infty$.
[/mm]
Mit der Einschließung
[mm] $0\le \left|e^{-1/z}\right|=e^{-x/|z|^2} \le e^{-1/x(1+\tan^2\varphi)}$ [/mm] und [mm] $\lim_{t\to-\infty} e^t=0$ [/mm] folgt [mm] $\lim_{z\to 0} [/mm] f(z) = 0$.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 So 16.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> tatsächlich dachte ich, die stetige Fortsetzbarkeit von [mm]f[/mm]
> in [mm]0[/mm] sei trivial. Dem ist aber nicht so! Hier mein zweiter
> Versuch:
>
> Sei [mm]f\colon S_\alpha\to \IC,\; z\mapsto e^{-1/z}[/mm]. Ich
> zeige, daß [mm]f[/mm] in [mm]0[/mm] stetig fortgesetzt werden kann. Das
> genügt, denn dann ist die Fortsetzung stetig auf dem
> Kompaktum [mm]S_\alpha\cup\{0\}[/mm] und damit auch gleichmäßig
> stetig.
>
> Für [mm]z=x+iy = |z|*e^{i\varphi} \in S_\alpha[/mm] ist [mm]\ x>0[/mm] und
> [mm]|\varphi|\le \alpha[/mm].
>
> Es folgt
> [mm]\left|e^{-1/z}\right|=e^{-x/|z|^2}*\left|e^{iy/|z|^2}\right|=e^{-x/|z|^2}[/mm]
>
> und
>
> [mm]-\frac {x} {|z|^2} = -\frac {x} {x^2+y^2} = -\frac {x} {x^2(1+\tan^2\varphi)} = -\frac 1 {x(1+\tan^2\varphi)}[/mm]
> ( wegen [mm]\tan\varphi = \frac y x[/mm])
>
> [mm]\le -\frac 1{x(1+\tan^2\alpha)}[/mm] (aus [mm]|\varphi|\le\alpha[/mm]
> folgt [mm]\tan^2\varphi \le \tan^2\alpha[/mm]).
>
> Für [mm]z\in S_\alpha, z\to 0[/mm] strebt [mm]x[/mm] von oben gegen 0 und
> damit [mm]-\frac 1 {x(1+\tan^2\varphi)}[/mm] gegen [mm]-\infty[/mm].
Hallo Wolfgang,
oben meinst Du wohl [mm]-\frac 1 {x(1+\tan^2\alpha)}[/mm]
>
> Mit der Einschließung
>
> [mm]0\le \left|e^{-1/z}\right|=e^{-x/|z|^2} \le e^{-1/x(1+\tan^2\varphi)}[/mm]
> und [mm]\lim_{t\to-\infty} e^t=0[/mm] folgt [mm]\lim_{z\to 0} f(z) = 0[/mm].
prima gemacht
Gruß FRED
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 So 16.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo FRED,
> >
> > Für [mm]z\in S_\alpha, z\to 0[/mm] strebt [mm]x[/mm] von oben gegen 0 und
> > damit [mm]-\frac 1 {x(1+\tan^2\varphi)}[/mm] gegen [mm]-\infty[/mm].
>
>
> oben meinst Du wohl [mm]-\frac 1 {x(1+\tan^2\alpha)}[/mm]
Ja, und unten auch:
> > Mit der Einschließung
> >
> > [mm]0\le \left|e^{-1/z}\right|=e^{-x/|z|^2} \le e^{-1/x(1+\tan^2\varphi)}[/mm]
> > und [mm]\lim_{t\to-\infty} e^t=0[/mm] folgt [mm]\lim_{z\to 0} f(z) = 0[/mm].
Danke für Aufgabe und Korrektur!
Gruß,
Wolfgang
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