Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Do 12.04.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Untersuche die Funktionen f, g :]0, 1] [mm] \to \IR,
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{cos x}{x}
[/mm]
und f(x) = [mm] \bruch{sin x}{x}
[/mm]
auf gleichmäßige Stetigkeit. |
Also gleichmäßige Stetigkeit heißt laut Vorlesung, dass mein wählbares [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt und nicht von meiner betrachteten stelle x.
Anschaulich (Bild) ist klar f(x) = [mm] \bruch{cos x}{x} [/mm] ist nicht gleichmäßig stetig, da es bei [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] strebt (konvergiert stimmt ja nicht
bei f(x) = [mm] \bruch{sin x}{x} [/mm] kann ich mir gleichmäßige stetigkeit sehr gut vorstellen, aber wie schreibe ich das auf?
Ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestell.
Vielen dank für eure Bemühungen
MfG
Christoph Plonka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Do 12.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du sagst einfach, dass für x gegen 0 die Grenzwerte exestieren bzw. nicht exestieren. Dann kannst du stetig fortsetzten bzw. würde glm. Stetigkeit die Existenz des Grenzwertes wegen dem Cauchy-Kriterium sichern. Das gilt natürlich nur auf beschränkten Intervallen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Sa 14.04.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank für deine Mühe, aber deine Ausführung verstehe ich leider genauso wenig wie die Aufgabe.
Besonders folgende Stellen:
> Hallo,
>
> du sagst einfach, dass für x gegen 0 die Grenzwerte
> exestieren bzw. nicht exestieren.
so einfach find ich das gar nicht.
kann ich zeigen dass er bei [mm] \bruch{cos(x)}{x} [/mm] nicht existiert, wie?
bei [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] geht das sehr schön mit L'Hopital.
>Dann kannst du stetig
> fortsetzten bzw. würde glm. Stetigkeit die Existenz des
> Grenzwertes wegen dem Cauchy-Kriterium sichern.
Was meinst du mit stetig fortsetzen?
Was hat glm. Stetigkeit und das cauchy-Kriterium mit einander zu tun?
> Das gilt
> natürlich nur auf beschränkten Intervallen.
>
> Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Wenn ich das verstehen würde wär es bestimmt hilfreich.
Könntest du auf meine Fragen nochmals präzieser reagieren?
>
> Gruß
> Hund
MfG
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 So 15.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also das erste ist richtig. Die Funktion mit sin konvergiert doch für x gegen 0 gegen 1 nach l´hospital. Also kannst du die Funktion stetig fortsetzten, d.h. in 0 sind deine beiden Funktionen nicht definiert, dann definierst du die Funktion mit sin in 0 als 1, dann hast eine STETIGE Funktion auf einem KOMPAKTEN Intervall, solche Funktionen sind ja glm. stetig. Also ist deine neue Funktion wegen glm. Stetigkeit auf [0,1] auch auf (0,1) glm. stetig. Und das ist wieder deine alte Funktion, die somit glm. stetig ist.
Jetzt probiert man das gleiche mit der Funktion mit cos. Für x gegen 0 geht sos gegen 1 und x gegen 0, also 1/0=unendlich. Für deine Funktion exestiert somit der (rechtsseitige) Grenzwert in 0 nicht. Angenommen sie wäre glm. stetig, dann würde (s. unten) der rechtseitige Grenzwert in 0 exestieren.
Warum?: Es gibt einen Satz der folgendes sagt: Ist f eine glm. stetige Funktion auf einem beschränkten Intervall (a,b), dann exestieren die einseitigen Grenzwerte in den Endpunkten des Intervalles.
Warum ist das so: Am besten schreibst du dir die Bedingung für glm. Stetigkeit auf (a,b) und das Cauchy-Kriterium für die Existenz eines Grenzwertes einer Funktion. Dann siehst du, wenn das erste erfüllt ist, dann ist das zweite für einen Endpunkt auch erfüllt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 So 15.04.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank, das hat mir jetzt geholöfen.
vG
Christoph
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