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| Aufgabe | | Sei $b [mm] \in [/mm] ]0,1[$. Zeigen Sie, dass die Funktion $f:[0, b] [mm] \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\ln (x)}, & x \in] 0, b] \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ [/mm] gleichmäßig stetig, aber zu keinem Exponenten [mm] $\alpha$ [/mm] Hölder-stetig ist. |
Hallo,
ich frage mich, ob mit der Aufgabenstellung etwas nicht stimmt. M.E. muss man für die gleichmäßige Stetigkeit zeigen, dass $f'(x) = [mm] -\frac{1}{x \ln^2(x)}$ [/mm] auf $]0,b]$ beschränkt ist, was doch aber gar nicht der Fall ist, denn wegen $x [mm] \ln^2(x) \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to [/mm] 0$ gilt wohl [mm] $\frac{1}{x \ln^2(x)} \to \infty$.
[/mm]
Wie seht ihr das?
Gruß und Danke,
Martin
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Hiho,
> M.E. muss man für die gleichmäßige Stetigkeit zeigen, dass [mm]f'(x) = -\frac{1}{x \ln^2(x)}[/mm] auf [mm]]0,b][/mm]beschränkt ist
Da bringst du Lipschitz-Stetigkeit (resp. Dehnungsbeschränktheit) und gleichmäßige Stetigkeit durcheinander…
Jede stetige Funktion ist auf einem Kompaktum gleichmäßig stetig.
Zeige also: $f$ ist stetig auf $[0,b]$.
Als Tipp für die Hölder-Stetigkeit: Es geht in $x=0$ kaputt. Betrachte also mal die Definition der Hölder-Stetigkeit in $x=0$.
Gruß,
Gono
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Hallo,
mal eine Seitenfrage:
Tatsächlich habe ich gar nicht Lipschiz- und gleichmäßige Stetigkeit verwechselt. Nach der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit war mir nur der Gedanke gekommen, dass man doch verallgemeinern können müsste: Wenn die Ableitung von f auf dem Definitionsbereich beschränkt ist, müsste gleichmäßige Stetigkeit folgen. Als ich dann im Mentoriat danach gefragt hatte, kam die spontane Antwort, dass das "wahrscheinlich" stimmt. Wie siehst du das? In jedem Fall zeigt das Beispiel dann wohl, dass die Umkehrung der Aussage im Allgemeinen nicht simmt. Stimmt sie (die Umkehrung der Aussage) für offene Mengen?
Danke und Gruß,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mo 03.05.2021 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> mal eine Seitenfrage:
> Tatsächlich habe ich gar nicht Lipschiz- und
> gleichmäßige Stetigkeit verwechselt. Nach der Definition
> der gleichmäßigen Stetigkeit war mir nur der Gedanke
> gekommen, dass man doch verallgemeinern können müsste:
> Wenn die Ableitung von f auf dem Definitionsbereich
> beschränkt ist, müsste gleichmäßige Stetigkeit folgen.
> Als ich dann im Mentoriat danach gefragt hatte, kam die
> spontane Antwort, dass das "wahrscheinlich" stimmt.
Was ist denn Dein Mentor von Beruf ?
>Wie
> siehst du das?
Sei I ein Intervall und $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar und die Ableitung $f'$ sei auf I beschränkt, etwa $|f'(x)| [mm] \le [/mm] L$ für alle $x [mm] \in [/mm] I.$
Seien nun $x,y [mm] \in [/mm] I$. Nach dem Mittelwertsatz ex. ein $t$ zwischen x und y mit
$f(x)-f(y) = f'(t) (x-y).$
Es folgt: $|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L |x-y|$.
Damit ist f auf I Lipschitzstetig und damit auch gleichmäßig stetig.
Zeige diese Ausführungen deinem Mentor, dann lernt er/sie etwas, was er/sie schon längst wissen sollte.
> In jedem Fall zeigt das Beispiel dann wohl,
> dass die Umkehrung der Aussage im Allgemeinen nicht simmt.
So ist es.
> Stimmt sie (die Umkehrung der Aussage) für offene Mengen?
Nein. Nimm doch die Funktion aus Deiner Aufgabe und betrachte sie of $]0,b[.$
> Danke und Gruß,
> Martin
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Hi Sancho,
Ich versuche mich mal mit folgender Lösung, keine Garantie auf Korrektheit:
Da f auf der kompakten Menge [0,b] definiert ist, genügt es mit dem Satz über gleichmäßige Stetigkeit (2.5.9 aus unserem Skript) zu zeigen, dass f stetig ist.
f ist auf (0,b) stetig, denn f ist Verkettung der stetigen Funktionen ln(x) und [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Diese Funktionen sind auf (0,1] stetig und somit auch f.
Zu untersuchen ist noch das Verhalten für x [mm] \to [/mm] 0:
Es ist bekannt, dass [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ln(x) = [mm] -\infty [/mm]
Daraus folgt, dass der Kehrwert gegen 0 strebt, d.h. f hat in 0 den Grenzwert 0 und ist somit stetig auf [0,b]
Angenommen f wäre Hölder-stetig zu einem [mm] \alpha \in [/mm] (0, [mm] \infty). [/mm] Dann existiert C mit
|f(x) - f(y)| [mm] \le C|x-y|^\alpha [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] [0,b]
Sei x [mm] \in [/mm] M [mm] \backslash [/mm] {0} und y = 0. Dann muss für alle x gelten:
|f(x)| = [mm] |\bruch{1}{ln x} \le C|x|^\alpha
[/mm]
also
[mm] C^\alpha \ge \bruch{1}{x|ln x|}
[/mm]
Die rechte Seite dieser Gleichung wäre also durch eine Konstante nach oben beschränkt.
Das kann aber nicht sein, denn x ln(x) [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0, ein Widerspruch!
(sorry für die etwas holprige Ausarbeitung, ist mein erster Beitrag mit dem Forensystem hier)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Mo 03.05.2021 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich versuche mich mal mit folgender Lösung, keine Garantie auf Korrektheit:
Dein Beweis ist soweit ok.
Für die "Schönheit":
Versuch mal deinen Widerspruchsbeweis direkt zu formulieren.
Also direkt zeigen, dass die Funktion NICHT Hölder-Stetig zum Parameter [mm] $\alpha$ [/mm] ist.
Der Beweis verläuft analog.
Gruß,
Gono
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