Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Do 14.07.2016 | | Autor: | Magehex |
| Aufgabe | | Eine Funktion [mm] $f:(X,d_X) \rightarrow (Y,d_Y)$ [/mm] von metrischen Räumen heißt gleichmäßig stetig, falls für jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $x,x'\in [/mm] X$ mit [mm] $d_X(x,x')<\delta$ [/mm] folgt [mm] $d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon$. [/mm] Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Man zeige, dass die Metrik $d:X [mm] \times [/mm] X [mm] \rightarrow [0,\infty)$ [/mm] gleichmäßig stetig ist. Man betrachte dabei [mm] $[0,\infty)$ [/mm] mit der induzierten Betragsmetrik |
Hallo,
ich sitze schon ewig vor dieser Aufgabe und komm einfach nicht weiter. Es ist doch zu zeigen: Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] sodass gilt: Aus $d(x,x') < [mm] \delta$ [/mm] und $d(y,y') < [mm] \delta$ [/mm] folgt $|d(x,y)-d(x',y')| < [mm] \epsilon$, [/mm] das heißt $d(x,y) [mm] \leq [/mm] d(x',y') + [mm] \varepsilon$ [/mm] und analog $d(x',y') [mm] \leq [/mm] d(x,y) + [mm] \varepsilon$
[/mm]
Und dafür muss ich die Dreiecksungleichung bzw. Symmetrie ausnutzen um d(x,y) nach oben abzuschätzen.
Also
[mm] $2d(x',y')=2|x'-y'|=|(x'-y)+(y-y')+(x-y')+(x'-x)|\le |x-y|+|y-x|+|x'-y'|+|x'-y'|+\epsilon= 2(|x-y|+|x'-y'|)+\epsilon
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] <=>0\le |x-y|+\frac{\epsilon}{2}$
[/mm]
Oder ist das kompletter Unsinn was ich hier mache?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Do 14.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Eine Funktion [mm]f:(X,d_X) \rightarrow (Y,d_Y)[/mm] von metrischen
> Räumen heißt gleichmäßig stetig, falls für jedes
> [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm] gibt, so dass für alle [mm]x,x'\in X[/mm]
> mit [mm]d_X(x,x')<\delta[/mm] folgt [mm]d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon[/mm]. Sei
> [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum. Man zeige, dass die Metrik [mm]d:X \times X \rightarrow [0,\infty)[/mm]
> gleichmäßig stetig ist. Man betrachte dabei [mm][0,\infty)[/mm]
> mit der induzierten Betragsmetrik
> Hallo,
>
> ich sitze schon ewig vor dieser Aufgabe und komm einfach
> nicht weiter. Es ist doch zu zeigen: Für alle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]\delta>0[/mm], sodass gilt: Aus
> [mm]d(x,x') < \delta[/mm] und [mm]d(y,y') < \delta[/mm] folgt
> [mm]|d(x,y)-d(x',y')| < \epsilon[/mm], das heißt [mm]d(x,y) \leq d(x',y') + \varepsilon[/mm]
> und analog [mm]d(x',y') \leq d(x,y) + \varepsilon[/mm]
> Und dafür
> muss ich die Dreiecksungleichung bzw. Symmetrie ausnutzen
> um d(x,y) nach oben abzuschätzen.
>
> Also
> [mm]$2d(x',y')=2|x'-y'|=|(x'-y)+(y-y')+(x-y')+(x'-x)|\le |x-y|+|y-x|+|x'-y'|+|x'-y'|+\epsilon= 2(|x-y|+|x'-y'|)+\epsilon[/mm]
Das ist doch Unsinn ! d ist doch nicht der Betrag !
>
> [mm]\\[/mm]
> [mm]<=>0\le |x-y|+\frac{\epsilon}{2}$[/mm]
>
> Oder ist das kompletter Unsinn was ich hier mache?
Ja.
Tipp:
Vierecksungleichung:
|d(x,y)−d(x',y')|≤d(x,x')+d(y,y')
FRED
>
> Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Do 14.07.2016 | | Autor: | Magehex |
Danke für den Tipp, aber ich verstehs noch immer nicht.
Was muss jetzt mit der Vierecksgleichung getan werden? Ich verstehe das Ziel irgendwie nicht.
Und die Betragsmetrik ist doch d(x,y)=|x-y| oder nicht?
Nur mit diesem d(x,y) kann ich doch nicht ordentlich arbeiten? Ich muss das doch irgendwie zerlegen?
Soll ich diesen Betrag der Vierecksungleichung auflösen?
$
Also für alle d(x',y')>d(x,y) folgt aus der Vierecksungleichung
d(x',y')<= d(x,x')+d(y,y')+d(x,y)
und für d(x,y)>d(x',y')
d(x,y)<=d(x,x')+d(y,y')+d(x',y')
$
Aber da ich nichts mit diesen d(x,x') und d(y,y') machen kann bringt mir das doch nichts?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Do 14.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke für den Tipp, aber ich verstehs noch immer nicht.
>
> Was muss jetzt mit der Vierecksgleichung getan werden? Ich
> verstehe das Ziel irgendwie nicht.
>
> Und die Betragsmetrik ist doch d(x,y)=|x-y| oder nicht?
> Nur mit diesem d(x,y) kann ich doch nicht ordentlich
> arbeiten? Ich muss das doch irgendwie zerlegen?
Du hast die Abbildung
(*) $ d:X [mm] \times [/mm] X [mm] \rightarrow [0,\infty) [/mm] $
Dabei ist der metrische Raum X mit der Metrik d versehen und der metrische Raum [mm] [0,\infty) [/mm] mit dem Betrag.
Zeigen sollst Du , dass die Abbildung in (*) gleichmäßig stetig ist. Zu zeigen ist also:
Für alle $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ gibt es ein $ [mm] \delta>0 [/mm] $, sodass gilt: aus $ d(x,x') < [mm] \delta [/mm] $ und $ d(y,y') < [mm] \delta [/mm] $ folgt $ |d(x,y)-d(x',y')| < [mm] \epsilon [/mm] $
Dabei benutzen wir die Vierecksungl.:
(V) |d(x,y)-d(x',y')|≤d(x,x')+d(y,y') .
Ist [mm] \epsilon [/mm] >0, so folgt aus (V), dass $|d(x,y)-d(x',y')|< [mm] \epsilon$ [/mm] ist, wenn
(**) $ d(x,x') + d(y,y')< [mm] \epsilon$
[/mm]
ist.
Ist also d(x,x')< [mm] \bruch{\epsilon}{2} [/mm] und auch d(y,y')< [mm] \bruch{\epsilon}{2}, [/mm] so gilt (**) und damit auch
$|d(x,y)-d(x',y')|< [mm] \epsilon$.
[/mm]
Wie ist also [mm] \delta [/mm] zu wählen ?
FRED
>
> Soll ich diesen Betrag der Vierecksungleichung auflösen?
>
> $
> Also für alle d(x',y')>d(x,y) folgt aus der
> Vierecksungleichung
>
> d(x',y')<= d(x,x')+d(y,y')+d(x,y)
>
> und für d(x,y)>d(x',y')
>
> d(x,y)<=d(x,x')+d(y,y')+d(x',y')
> $
> Aber da ich nichts mit diesen d(x,x') und d(y,y') machen
> kann bringt mir das doch nichts?
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Do 14.07.2016 | | Autor: | Magehex |
Für [mm] $\delta$ [/mm] ist [mm] $\frac{\epsilon}{2} [/mm] zu wählen.
Warum vertauscht du eigentlich bei [mm] $d(x,x')<\delta$ [/mm] und $d(y,y')$ die [mm] $|d(x,y)-d(x',y')|<\epsilon$
[/mm]
Warum folgt nicht aus [mm] $d(x,x')<\delta$ [/mm] und $d(y,y') dass [mm] $|d(x,x')-d(y,y')|<\epsilon$ [/mm] ?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Do 14.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]$\delta$[/mm] ist [mm]$\frac{\epsilon}{2}[/mm] zu wählen.
Ja
>
> Warum vertauscht du eigentlich bei [mm]d(x,x')<\delta[/mm] und
> [mm]d(y,y')[/mm] die [mm]|d(x,y)-d(x',y')|<\epsilon[/mm]
>
> Warum folgt nicht aus [mm]$d(x,x')<\delta$[/mm] und $d(y,y') dass
> [mm]$|d(x,x')-d(y,y')|<\epsilon$[/mm] ?
Wie oft noch ?
Zu zeigen ist :
Für alle $ [mm] \epsilon>0 [/mm] $ gibt es ein $ [mm] \delta>0 [/mm] $, sodass gilt: aus $ d(x,x') < [mm] \delta [/mm] $ und $ d(y,y') < [mm] \delta [/mm] $ folgt $ |d(x,y)-d(x',y')| < [mm] \epsilon [/mm] $
FRED
>
> Danke
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