Gleichmäßige Konvergenz von f < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:43 Mi 16.05.2007 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Es sei [tex]M \subset \IR [/tex], und für [tex] n = 1,2,... [/tex] sei [tex]f_{n} : M \rightarrow \IR [/tex] durch [tex] x \mapsto \bruch{x}{n} [/tex] definiert. Zeigen Sie:
[tex]f_{n} [/tex] konvergiert genau dann gleichmäßig gegen die Nullfunktion, wenn [tex] M [/tex] beschränkt ist. |
Aloha hé,
bei der Aufgabe habe ich zumindest einen Teil gut lösen können. Bei dem zweiten Teil der Äquivalenz tu ich mich noch schwer. Ich zeig erstmal, was ich schon gemacht habe:
[tex] \Leftarrow [/tex]:
Wenn M beschränkt ist, hat M eine untere und obere Schranke. Insbesondere lässt sich [tex] m \in M [/tex] finden mit [tex] |m| \ge |x| \forall x \in M [/tex] (dieser Wert m ist also entweder die untere oder die obere Schranke). Da [tex] [mm] f_{n} [/mm] := [mm] \bruch{x}{n} [\tex] [/mm] gilt auch [tex] |f(m)| \ge |f(x)| \forall x \in M [/tex]. Somit gilt [tex] | \bruch{m}{n} | \ge | \bruch{x}{n} | [/tex]. Ich nenne [tex] | \bruch{m}{n} | = v [/tex].
Sei nun [tex] \epsilon [/tex], wähle [tex] n_{0} \ge \bruch{v}{\epsilon} [/tex], so dass gilt: [tex] |f_{n}(x)| = | \bruch{x}{n} | \le | \bruch{v}{n_{0}} \le \epsilon [/tex]. Somit habe ich die gleichmäßige Stetigkeit gezeigt.
Für die andere Richtung [tex] \Rightarrow [/tex] fehlt mir irgendwie ein schlagkräftiges Argument. Von der Vorstellung her ist es ja vollkommen einleuchtend, dass eine Funktionenfolge, die gleichmäßig konvergiert, nicht "ausreißen" darf.
Würde mich sehr über einen kleinen Hinweis freuen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiterarbeitet
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Mi 16.05.2007 | | Autor: | wauwau |
unabhängig von x soll also folgendes gelten
[mm]\forall \epsilon >0 \exists N_{0} \in \IN [/mm] [mm]\forall n \ge N_{0} \vmat{\bruch{x}{n}} < \epsilon[/mm]
sei nun [mm] \epsilon_{0} [/mm] und [mm] N_{0} [/mm] nun fix gemäß obigem gewählt
es gilt also also unabhängig von x
[mm] \vmat{\bruch{x}{N_{0}}} [/mm] < [mm] \epsilon_{0}
[/mm]
[mm] sup_{x\in M}(|x|) [/mm] < [mm] \epsilon_{0}*N_{0}
[/mm]
daher ist M beschränkt...
|
|
|
|
