Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Do 21.04.2011 | | Autor: | sh4nks |
| Aufgabe | Seien M1 = [0, 1] und M2 = [1, 2] und [mm] g_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{nx}{1 +n^{2} * x^{2}} [/mm] , n Element natürliche Zahlen
. Berechnen Sie die Grenzfunktion
g(x) von gn(x) und entscheiden Sie, ob [mm] g_{n}(x) [/mm] auf M1 bzw. M2 gleichmäßig gegen g(x)
konvergiert. |
Hallo zusammen,
mein Ansatz: die Funktion [mm] g_{n}(x) [/mm] konvergiert punktweise gegen g(x)=0 da lim [mm] g_{n}(x) [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] x.
Gleichmäßige Konvergenz könnte man zB dadurch zeigen, dass der Betrag von [mm] g_{n}(x) [/mm] - 0 kleiner ist als die Folge [mm] a_{n}= \bruch{1}{n}.
[/mm]
Stimmt das so? Die beiden Intervalle in der Angabe irritieren mich...
Im voraus vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Fr 22.04.2011 | | Autor: | fred97 |
1. [mm] (g_n) [/mm] ist auf [mm] M_1 [/mm] nicht glm. konvergent, denn [mm] g_n(1/n)=1/2 [/mm] für jedes n
2. [mm] (g_n) [/mm] ist auf [mm] M_2 [/mm] glm. konvergent. Zeige:
$0 [mm] \le g_n(x) \le [/mm] 1/n$ für jedes n und jedes x [mm] \in M_2.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 22.04.2011 | | Autor: | sh4nks |
Vielen Dank, habe aber gerade sehen müssen dass das Programm annimmt, die ohne die Eingabenhilfen unten erstellt werden.
Die Funktionenfolge hat in Wirklichkeit ein [mm] n^{2} [/mm] im Nenner, gibt es hier immer noch keine gleichmäßige Konvergenz in beiden Intervallen?
Gruß Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Fr 22.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du denn mal [mm] x_n=1/n [/mm] eingesetzt
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Fr 22.04.2011 | | Autor: | sh4nks |
Wenn ich für x 1/n einsetzen würde, bekäme ich 1/2 heraus... wieso muss ich für x diese Folge einsetzen?
Gruß Markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Fr 22.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst nicht! aber so ist am schnellsten zu sehen dass die fkt nicht glm konvergiert in [0,1] denn für jes n findest du ein x, sodass [mm] |f_n(x)-f|=1/2> \epsilon, [/mm] falls [mm] \epsilon<0.5
[/mm]
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Mo 25.04.2011 | | Autor: | sh4nks |
Einleuchtend, danke!!
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