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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktionenfolge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
[mm] f_n=\wurzel[n]{n^2x^3}, x\in[0,5] [/mm] |
Mein Ansatz ist es, eine punktweise Konvergenz zu zeigen, doch vorher vereinfache ich den Therm:
[mm] f_n=\wurzel[n]{n^2x^3} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{x^3} [/mm] = [mm] 1*1*\wurzel[n]{x^3} [/mm]
[mm] f_n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{x^3}; x\in[0,5]
[/mm]
Nun lasse ich n [mm] \rightarrow\infty [/mm] laufen und schaue was passiert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{x^3}=0
[/mm]
Reicht dies um zu zeigen, dass [mm] f_n [/mm] punktweise konvergent ist? ...wie kann ich die gleichmäßige konvergenz zeigen?
Gruß Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Fr 25.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die folgende Funktionenfolge auf punktweise
> und gleichmäßige Konvergenz:
>
> [mm]f_n=\wurzel[n]{n^2x^3}, x\in[0,5][/mm]
> Mein Ansatz ist es, eine
> punktweise Konvergenz zu zeigen, doch vorher vereinfache
> ich den Therm:
>
> [mm]f_n=\wurzel[n]{n^2x^3}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{x^3}[/mm] =
> [mm]1*1*\wurzel[n]{x^3}[/mm]
> [mm]f_n[/mm] = [mm]\wurzel[n]{x^3}; x\in[0,5][/mm]
Unsinn ! Es ist [mm] \wurzel[n]{n} \ne [/mm] 1 für n >1 !!!!
>
> Nun lasse ich n [mm]\rightarrow\infty[/mm] laufen und schaue was
> passiert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{x^3}=0[/mm]
Nein , das passiert nicht !
Es gilt: [mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1 und , falls c>0, [mm] \wurzel[n]{c} \to [/mm] 1
Also: [mm] f_n(0) [/mm] = 0 [mm] \to [/mm] 0 und [mm] f_n(x) \to [/mm] 1 für x>0
Die Grenzfunktion ist nicht stetig !!! Was bedeutet das für die Frage nach der gleichmäßigen Konvergenz ?
FRED
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> Reicht dies um zu zeigen, dass [mm]f_n[/mm] punktweise konvergent
> ist? ...wie kann ich die gleichmäßige konvergenz zeigen?
>
> Gruß Julia
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Dann wäre die Funktion punktweise konvergent für x=0 gegen 0 und für x>0 gegen 1.
> Also: [mm]f_n(0)[/mm] = 0 [mm]\to[/mm] 0 und [mm]f_n(x) \to[/mm] 1 für x>0
>
> Die Grenzfunktion ist nicht stetig !!! Was bedeutet das
> für die Frage nach der gleichmäßigen Konvergenz ?
Dies beweist das die Funktion nicht gleichmäßig Konvergent ist.
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo Julia_stud,
> Dann wäre die Funktion punktweise konvergent für x=0
> gegen 0 und für x>0 gegen 1. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Also: [mm]f_n(0)[/mm] = 0 [mm]\to[/mm] 0 und [mm]f_n(x) \to[/mm] 1 für x>0
> >
> > Die Grenzfunktion ist nicht stetig !!! Was bedeutet das
> > für die Frage nach der gleichmäßigen Konvergenz ?
>
> Dies beweist das die Funktion nicht gleichmäßig
> Konvergent ist.
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktionenreihe auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx^2}{n^3+x^3}, x\in[0,1] [/mm] |
Hey liebe Gemeinde,
mit Funktionenfolgen läuft es jetzt...aber wie kann ich mit Funktionenreihen umgehen, ist meine Rechnung richtig?
Für den Fall x=0:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx^2}{n^3+x^3} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n*0^2}{n^3+0^3} [/mm] = 0
Für den Fall c=x>0:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx^2}{n^3+x^3} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nc^2}{n^3+c^3} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{c^2}{n^2+\bruch{c^3}{n}} [/mm] = 1
Nach meinem Verständnis kann ich nun sagen, die Funktionenreihe ist punktweise konvergent (für x=0 und x>1), aber da sich die Werte für x=0 und x>0 unterscheiden, ist die Funktion nicht gleichmäßig konvergent.
Könnt Ihr mir sagen ob ich das richtig gemacht habe?
Gruß Julia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 So 27.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie die folgende Funktionenreihe auf punktweise
> und gleichmäßige Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx^2}{n^3+x^3}, x\in[0,1][/mm]
> Hey
> liebe Gemeinde,
>
> mit Funktionenfolgen läuft es jetzt...aber wie kann ich
> mit Funktionenreihen umgehen, ist meine Rechnung richtig?
>
> Für den Fall x=0:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx^2}{n^3+x^3}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n*0^2}{n^3+0^3}[/mm] = 0
soweit okay.
> Für den Fall c=x>0:
Wozu schreibst Du nun [mm] $x=c\,$? [/mm] Mir entgeht dabei der Sinn, aber wirklich falsch ist es nicht.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx^2}{n^3+x^3}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nc^2}{n^3+c^3}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{c^2}{n^2+\bruch{c^3}{n}} = 1[/mm]
Die letzte Gleichheit ist eine interessante Behauptung. Angeblich gilt also
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{c^2}{n^2+\bruch{c^3}{n}}=c^2\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+\bruch{c^3}{n}}=1$$
[/mm]
für jedes $c [mm] \in [/mm] (0,1]$? Ich glaube das nicht, aber da es Deine Behauptung ist: Beweis mir halt, dass Deine Gleichheit stimmt.
Obwohl: Würde sie stimmen, so wäre die obige Funktionenreihe nicht glm. konvergent, da die Grenzfunktion an der Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] nicht (rechts-) stetig wäre. Wir werden aber gleich sehen, dass die obige Funktionenreihe doch glm. konvergiert.
> Nach meinem Verständnis kann ich nun sagen, die
> Funktionenreihe ist punktweise konvergent (für x=0 und
> x>1), aber da sich die Werte für x=0 und x>0
> unterscheiden, ist die Funktion nicht gleichmäßig
> konvergent.
> Könnt Ihr mir sagen ob ich das richtig gemacht habe?
Leider nicht. Zum einen:
Ungleichheit der Funktionswerte impliziert i.a. nicht die Unstetigkeit der Grenzfunktion. Z.B. ist [mm] $f(x)=x\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] eine stetige (sogar gleichmäßige, ja sogar Lipschitzstetige) Funktion, und: Funktionen sind auch an isolierten Stellen (ihres Definitionsbereich) stetig.
Du musst also schon wirklich mit Unstetigkeit der Grenzfunktion (an wenigstens einer Stelle) argumentieren, wenn Du die glm. Konvergenz einer Funktionenfolge oder Funktionenreihe widerlegen willst.
Zum anderen:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx^2}{n^3+x^3} \le \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n*1^2}{n^3+0^3}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^3}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}$$
[/mm]
gilt für jedes $x [mm] \in [0,1]\,,$ [/mm] und [mm] $\sum 1/n^2$ [/mm] ist konvergent. (Warum?)
Nun nehmen wir den Telefonjoker und befragen Herrn ![[]](/images/popup.gif) Karl Weierstraß [mm] ($\leftarrow$ anklicken zum Wählen!), was er uns somit bzgl. den Daten
$$f_n(x)=\bruch{nx^2}{n^3+x^3},$$
$$M_n=1/n^2$$
und $A=[0,1]\,$ für eine Antwort geben würde.
Beste Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Di 29.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe die selbe Aufgabe und habe bei der Reihe:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx^2}{n^3+x^3} \le \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n\cdot{}1^2}{n^3+0^3}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^3}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] $
gilt für jedes [mm] x\in [/mm] [0,1] und $ [mm] \sum 1/n^2 [/mm] $ ist konvergent, da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)} [/mm] eine Konvergente Majorante (mit dem Reihenwert 1) für die Reihe 1\ [mm] n^2 [/mm] ist.
Somit ist die Reihe insgesamt, mit dem Satz von K.Weierstraß, glm konvergent.
Stimmt das so?
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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>
> ich habe die selbe Aufgabe und habe bei der Reihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx^2}{n^3+x^3} \le \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n\cdot{}1^2}{n^3+0^3}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^3}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
>
> gilt für jedes [mm]x\in[/mm] [0,1] und [mm]\sum 1/n^2[/mm] ist konvergent,
> da [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)}[/mm] eine Konvergente
> Majorante (mit dem Reihenwert 1) für die Reihe 1\ [mm]n^2[/mm]
> ist.
>
> Somit ist die Reihe insgesamt, mit dem Satz von
> K.Weierstraß, glm konvergent.
>
> Stimmt das so?
Ja
FRED
>
> Lg Melisa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Di 29.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
die Aufgabe geht weiter mit c) [mm] g_{n}=sin(\bruch{x}{n}) x\in \IR
[/mm]
muss ich hier das selbe machen wie bei der a), d.h.:
Es gilt [mm] g_{n}(0)=0 [/mm] --> 0 und [mm] g_{n}(x)-->1 [/mm] für x>0
Daraus folgt, dass die Funktion punktweise konvergent ist für x=0 gegen 0 und für x>0 gegen 1. Dies beweist, dass die Funktion nicht glm konvergent ist.
Ist das so korrekt?
Vielen dank im voraus
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> die Aufgabe geht weiter mit c) [mm]g_{n}=sin(\bruch{x}{n}) x\in \IR[/mm]
>
> muss ich hier das selbe machen wie bei der a), d.h.:
>
> Es gilt [mm]g_{n}(0)=0[/mm] --> 0
> und [mm]g_{n}(x)-->1[/mm] für x>0
Wie kommst Du darauf ??
Für festes x [mm] \in \IR [/mm] ist (x/n) eine Nullfolge , also: [mm]g_{n}(x) \to 0[/mm] für jedes x
>
>
> Daraus folgt, dass die Funktion punktweise konvergent ist
> für x=0 gegen 0 und für x>0 gegen 1. Dies beweist, dass
> die Funktion nicht glm konvergent ist.
>
> Ist das so korrekt? Nein , siehe oben
FRED
>
>
> Vielen dank im voraus
>
>
> Lg Melisa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Di 29.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Also ist die Funktion glm stetig? Da für [mm] g_{n}(0) [/mm] und [mm] g_{x}(x) [/mm] gegen 0 strebt.
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also ist die Funktion glm stetig?
Du meinst sicher, das die Folge [mm] (g_n) [/mm] gleichmäßig konvergiert ?
Antwort: ja und nein
Zunächst konvergiert [mm] (g_n) [/mm] auf [mm] \IR [/mm] punktweise gegen die Nullfunktion.
Was wir noch benötigen ist: (*) $|sin(t)| [mm] \le [/mm] |t|$ für jedes t [mm] \in \IR
[/mm]
Sei B eine beschränkte Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] etwa |b| [mm] \le [/mm] c für jedes b [mm] \in [/mm] B.
Für x [mm] \in [/mm] B ist dann (mit (*))
[mm] $|g_n(x)|= [/mm] |sin(x/n)| [mm] \le \bruch{|x|}{n} \le \bruch{c}{n}$
[/mm]
Damit konvergiert [mm] (g_n) [/mm] auf B gleichmäßig.
__________________________________
Wegen [mm] $g_n(n) [/mm] = sin(1)$ für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] (g_n) [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] nicht gleichmäßig konvergent.
FRED
Da für [mm]g_{n}(0)[/mm] und
> [mm]g_{x}(x)[/mm] gegen 0 strebt.
>
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> Lg Melisa
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