Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f_{n}(x) [/mm] := [mm] sin(\bruch{\wurzel[n]{n}x}{n})
[/mm]
a) Punktweise Konvergenz auf [mm] \IR? [/mm] Falls ja, Grenzfunktion?
b) Gleichmäßge Konvergenz auf [mm] \IR?
[/mm]
c) Zeigen, dass auf dem Intervall [0,1] gleichmäßge Konvergenz vorliegt |
Hallo,
so die a) dürfte eigentlich kein Problem sein:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{\wurzel[n]{n}x}{n}) [/mm] = 0 = f(x)
b) Hier bin ich mir nicht so sicher. Ich weiß nicht ob man das so machen kann. Eigentlich gehe ich mal davon aus, dass man den Limes in den Sinus ziehen muss aber dann komme ich auch nicht weiter.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] sin(\bruch{\wurzel[n]{n}x}{n}) [/mm] - 0| = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 = 1 [mm] \not= [/mm] 0
Daraus folgt, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt
c) | [mm] sin(\bruch{\wurzel[n]{n}x}{n}) [/mm] | < [mm] \in [/mm] und damit wäre man schon fertig weil es für jedes [mm] \in [/mm] ein n [mm] \ge [/mm] N gibt mit dieser Eigenschaft. Aber nach diesem Kriterium wäre die Folge doch auch auf [mm] \IR [/mm] konvergent..
ach ich bin verwirrt. Wäre nett wenn mir jemand helfen kann :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Do 04.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm]f_{n}(x)[/mm] := [mm]sin(\bruch{\wurzel[n]{n}x}{n})[/mm]
>
> a) Punktweise Konvergenz auf [mm]\IR?[/mm] Falls ja, Grenzfunktion?
> b) Gleichmäßge Konvergenz auf [mm]\IR?[/mm]
> c) Zeigen, dass auf dem Intervall [0,1] gleichmäßge
> Konvergenz vorliegt
> Hallo,
>
> so die a) dürfte eigentlich kein Problem sein:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{\wurzel[n]{n}x}{n})[/mm]
> = 0 = f(x)
Ja ok. Stetigkeit des Sinus. Und weil [mm] $\frac{\sqrt[n]{n}}{n}$ [/mm] ne Nullfolge ist.
> b) Hier bin ich mir nicht so sicher. Ich weiß nicht ob man
> das so machen kann. Eigentlich gehe ich mal davon aus, dass
> man den Limes in den Sinus ziehen muss aber dann komme ich
> auch nicht weiter.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup x [mm]\in \IR[/mm] |
> [mm]sin(\bruch{\wurzel[n]{n}x}{n})[/mm] - 0| =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1 = 1 [mm]\not=[/mm] 0
>
> Daraus folgt, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt
Jo. Der Witz ist dass man zu jedem $n$ ein $x$ finden kann sodass z.B. [mm] $\frac{\sqrt[n]{n}}{n}x=\pi/2$ [/mm] ist, und damit hat mans.
Edit: Achso. Den Limes kannst du natürlich nicht einfach in das supremum mit reinziehen...
> c) | [mm]sin(\bruch{\wurzel[n]{n}x}{n})[/mm] | < [mm]\in[/mm] und damit wäre
> man schon fertig weil es für jedes [mm]\in[/mm] ein n [mm]\ge[/mm] N gibt mit
> dieser Eigenschaft.
Das ist schon richtig, aber das fällt ja nicht einfach vom Himmel. Es liegt an der Beschränktheit von $x$. Du kannst ja sagen wegen [mm] $x\le [/mm] 1$ folgt [mm] $\sin(\bruch{\wurzel[n]{n}x}{n})\le\sin(\bruch{\wurzel[n]{n}\cdot 1}{n})$, [/mm] da der Sinus für [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] monoton wachsend ist. Und das geht dann offensichtlich gegen $0$.
> Aber nach diesem Kriterium wäre die
> Folge doch auch auf [mm]\IR[/mm] konvergent..
Ja nee... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Do 04.09.2008 | | Autor: | Somebody |
Was ist neuerdings in diesem Forum eigentlich nicht mehr wie auch schon? Ich hatte diese Frage als erster reserviert und war mit meiner Antwort auch fertig. Aber nach dem Senden wurde mir erklärt, dass pelzig die Frage reserviert hätte.
Ich gab daraufin meine Antwort auf (abbrechen), versuchte aber, den bereits geschriebenen Antworttext als neue Antwort zu senden. Was nicht mehr gelang: zwar wurden für mich wiederholte Reservationen notiert, aber ich kam nicht mehr ins Editierfenster.
Es ist ausgesprochen lästig, eine Antwort geschrieben zu haben, und dann auf diese Tour im letzten Moment einfach ausgklinkt zu werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Do 04.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Ist vielleicht dieses Bearbeitungszeit-dingsda abgelaufen? Denke wenn deine Antwort nach 30min nicht fertig ist und du diese Bearbeitungszeit abgelaufen ist, wird deine Reservierung aufgehoben. Mir ist es auch schon mehrere Male passiert dass ich die Zeit überschritten habe, aber zufällig hat dann kein anderer geantwortet...
Dass du danach allerdings keine neue Antwort mehr senden konntest halte ich für einen Bug.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Do 04.09.2008 | | Autor: | Somebody |
> Ist vielleicht dieses Bearbeitungszeit-dingsda abgelaufen?
> Denke wenn deine Antwort nach 30min nicht fertig ist und du
> diese Bearbeitungszeit abgelaufen ist, wird deine
> Reservierung aufgehoben. Mir ist es auch schon mehrere Male
> passiert dass ich die Zeit überschritten habe, aber
> zufällig hat dann kein anderer geantwortet...
Kaum möglich, denn wie die untenstehende Editiergeschichte der Frage zeigt, habe ich die Frage um 18:41 Uhr reserviert und war um 18:48 sicher mit der Antwort fertig, weil ich um diese Zeit offenbar bereits versucht habe, meine Antwort dennoch irgendwie ins Forum reinzujubeln 
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Dass du danach allerdings keine neue Antwort mehr senden
> konntest halte ich für einen Bug.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,,
ich glaube das ist passiert, weil pelzig und Du exakt im selben Moment auf "antworten" geklickt haben. Man sieht das, wenn man das Eingangspost aufruft.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Do 04.09.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo,,
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> ich glaube das ist passiert, weil pelzig und Du exakt im
> selben Moment auf "antworten" geklickt haben. Man sieht
> das, wenn man das Eingangspost aufruft.
>
Ich denke, da ist was dran. Aber ich dachte immer, dass das System dennoch in der Lage ist, dem einen der beiden (ungefähr) "gleichzeitig" dieselbe Frage reservierenden Mitglieder dies unmittelbar mitzuteilen, also die Antwort gar nicht schreiben zu lassen. Diese Sitation habe ich durchaus schon einige Male erlebt. Ist nicht so schlimm. - Aber erst beim Absenden der fertig geschriebenen Antwort rausgeworfen zu werden bedeutet einfach, dass man die ganze Arbeit in den Papierkorb werfen muss.
Gruss - und vielen Dank für Deine Antwort,
Christian
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