Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:08 So 17.08.2008 | | Autor: | jack0 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Auf die punktweise Konvergenz wäre ich auch gekommen. Jetzt frage ich mich aber wie man die gleichmäßige Konvergenz ausrechnet.
Ich weiß das es mit folgender Formel funktioniert, weiß aber nicht wie ich es genau ausrechne.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hat da jemand von euch einen Denkanstoß für mich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Auf die punktweise Konvergenz wäre ich auch gekommen.
> Jetzt frage ich mich aber wie man die gleichmäßige
> Konvergenz ausrechnet.
> Ich weiß das es mit folgender Formel funktioniert, weiß
> aber nicht wie ich es genau ausrechne.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
hierzu muß man sich klarmachen, was [mm] \parallel g_n [/mm] - [mm] g\parallel_\infty [/mm] überhaupt bedeutet.
Es ist [mm] \parallel g_n [/mm] - [mm] g\parallel_\infty=\sup_{x\in (0,\infty)}|g_n(x)-g(x)|, [/mm] also die größte Differenz der beiden Funktionen, die vorkommen kann.
[mm] \parallel g_n [/mm] - [mm] g\parallel_\infty=\sup_{x\in (0,\infty)}|g_n(x)-g(x)|=\sup_{x\in (0,\infty)}|g_n(x)-\bruch{1}{x}|.
[/mm]
Nun ist über [mm] g_n(x)-\bruch{1}{x} [/mm] nachzudenken.
[mm] g_n(x)-\bruch{1}{x}=\begin{cases} ..., & \mbox{für } x< n \mbox{ } \\ ... & \mbox{für } x\ge n \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Den Betrag hiervon kannst Du nach oben abschätzen, damit hast Du dann [mm] \parallel g_n [/mm] - [mm] g\parallel_\infty \le [/mm] ???,
und hierauf läßt Du nun den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] los. Wenn 0 herauskommt, konvergiert die Funktion gleichmäßig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 17.08.2008 | | Autor: | jack0 |
Hi,
danke für deine Antwort Angela.
Ich muss mich aber erst mal entschuldigen, ich habe die Frage aus einem Dokument kopiert und hab dabei leider etwas durcheinander gebracht. Die richtige Gleichung [mm] g_n [/mm] ist folgende
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich würde es jetzt wie folgt lösen
$ [mm] \parallel g_n [/mm] $ - $ [mm] g\parallel_\infty=\sup_{x\in (0,\infty)}|g_n(x)-g(x)|=\sup_{x\in (0,\infty)}|g_n(x)-\bruch{1}{x}|. [/mm] $
Ok, ich habe quasi 2 Möglichkeiten, einmal würde die Gleichung [mm] |\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x}| [/mm] heißen, was wohl null ergeben würde. Also müsste ich wohl n nehmen mit der Vorraussetzung n [mm] \le \bruch{1}{x}. [/mm] Also |n - [mm] \bruch{1}{x}|. [/mm] Für x würde ich hier wohl [mm] \infty [/mm] nehmen und hätte somit die größte Differnz der beiden Funktionen mit n. Wenn ich das mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ausrechne komme ich auf [mm] \infty. [/mm] Dann konvergiert [mm] g_n [/mm] nicht gleichmäßig.
Liege ich da mit meinen Schritten richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hi,
> danke für deine Antwort Angela.
> Ich muss mich aber erst mal entschuldigen, ich habe die
> Frage aus einem Dokument kopiert und hab dabei leider etwas
> durcheinander gebracht. Die richtige Gleichung [mm]g_n[/mm] ist
> folgende
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich würde es jetzt wie folgt lösen
> [mm]\parallel g_n[/mm] - [mm]g\parallel_\infty=\sup_{x\in (0,\infty)}|g_n(x)-g(x)|=\sup_{x\in (0,\infty)}|g_n(x)-\bruch{1}{x}|.[/mm]
>
> Ok, ich habe quasi 2 Möglichkeiten, einmal würde die
> Gleichung [mm]|\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x}|[/mm] heißen, was wohl
> null ergeben würde. Also müsste ich wohl n nehmen mit der
> Vorraussetzung n [mm]\le \bruch{1}{x}.[/mm] Also |n - [mm]\bruch{1}{x}|.[/mm]
> Für x würde ich hier wohl [mm]\infty[/mm] nehmen
Hallo,
verstanden hast Du es jedenfalls, aber einfach [mm] x=\infty [/mm] nehmen darfst Du nicht. (Wenn überhaupt, dann ja sowieso sehr kleine x und nicht sehr große, denn die Funktion wird ja "vorne" "gekappt".
Du weiß ja jetzt, daß Du zeigen mußt, daß das nicht glm konvergiert.
Es ist [mm] (g_n-g)(x)=n-\bruch{1}{x} [/mm] für [mm] x\le \bruch{1}{n}
[/mm]
Also ist [mm] (g_n-g)(\bruch{1}{2n})=n-2n=-n.
[/mm]
Folglich ist [mm] sup|g_n-g|\ge [/mm] n ,
woraus man erhält, daß der Grenzwert gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Gruß v. Angela
P.S.: Diese Aufgabe macht mich fast wirr, wegen min, max und der Kehrwerten.
und hätte somit die
> größte Differnz der beiden Funktionen mit n. Wenn ich das
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ausrechne komme ich auf
> [mm]\infty.[/mm] Dann konvergiert [mm]g_n[/mm] nicht gleichmäßig.
> Liege ich da mit meinen Schritten richtig?
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