Gleichmäßige Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
Hätt mal wieder eine Frage und zwar:
Die Funktionenfolge [mm] f_{n}(x)= \bruch{n²x}{1+ n²x²} [/mm] soll auf glm. Konvergenz in der Nähe von x
(d.h. auf einem hinreichend kleinem Intervall um x) untersucht werden.
Meine dazugehörige Grenzfunktion [mm] f(x)=\begin{cases} 1/x, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Das liefert mir [mm] |f(x)-f_{n}(x)|= \begin{cases} \bruch{1}{|x|(1+n²x²)}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Sei M= {x| [mm] \varepsilon< [/mm] |x|< c, c [mm] \in \IR [/mm] }, dann liefert mir das Kriterium für glm. Konvergenz in M:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] supremum über M [mm] (|f-f_{n}|)= [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{|\varepsilon|(1+n² \varepsilon²)} [/mm] = 0.
Also erst recht glm. konv. für x mit |x|< [mm] \varepsilon.
[/mm]
Die Konvergenz ist also auf alle c [mm] \in\IR [/mm] gleichmäßig auf [-c, c], ist das soweit richtig?
Ich wär für Anregungen sehr dankbar.
Vielen Dank schon mal,
Nilez
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mi 12.01.2005 | | Autor: | SEcki |
> Meine dazugehörige Grenzfunktion [mm]f(x)=\begin{cases} 1/x, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Sieht doch gut aus ... Ich möchte hier mal folgende Hinweise geben: die [mm]f_n[/mm] sind doch alle überall stetig, zB auch in 0, falls die jetzt also in einem kleinen Intevrall um 0 gegen f glm. konv. würde - was würde f dann sein in 0? Kannst du für Stellen ungleich 0 eine Supremumsabschätzung geben?
SEcki
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